Entiers à trouver 25 avril 2023

etanche

Bonjour
1/ Déterminer tous les entiers $a\geq 2,\ b\geq 2$ tels que $a-1 \mid 3ab-1$ et $b-1\mid 3ab-1$.

2/ Même question en remplaçant $3ab-1$ par $5ab-1$.
3/ Même question avec $7ab-1$.

Merci.

Le 1/ c’est 12402 AMM 
Les 2/ et 3/ ne sont pas dans AMM

YvesM

Bonjour,

Avec $(a-1)(b-1)=ab+3+a-1+b-1$ le système est équivalent à $a-1|3(b-1)+2$ et $b-1|3(a-1)+2$ on en déduit qu’il existe $u,v$ tels que $(uv-9)(a-1)=8$, puis on trouve toutes les solutions et on élimine celles qui ne sont pas valables. On aboutit à $(a,b)=(9,27)$ ou $(5,15)$ ou $(3,9)$. Et les couples symétriques. 

etanche

@ YvesM coquille dans le développement de $(a-1)(b-1)$ n’est pas égale à $ab+3+a-1+b-1$ 

Boécien

Il n'y a pas non plus (a,b)=(17,11) ?
3ab-1=560  ==> 560/10=56, 560/16=35...
et (a,b)=(3,5) ...

LOU16

Bonsoir,

Pour tout $k$ dans $\N^*,\:$ je note:$\:\mathcal E_k=\Big\{(a,b)\in \N^2\mid 2\leqslant a\leqslant b,\:\:a-1\text { et } b-1\text { divisent }kab-1\Big\}.\quad $Il m'a semblé que

$$\mathcal E_3=\Big\{(2,2);\: (3,3);\:(2,6); \:(3,5);\:(3,9);\: (5,15);\:(9,27);\:(11,17)\Big\}$$

En notant $x=a-1, y=b-1$, le problème  équivaut à:

 $x\leqslant y,\quad\left\{\begin{array}{l} 3(x+1)(y+1)-1\equiv 0 \mod x.\\3(x+1)(y+1)-1 \equiv 0 \mod y . \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{ll} 3y+2&\equiv 0 \mod x.\\ 3 x+2&\equiv 0 \mod y. \end{array}\right.\:\:$ On déduit $y \not\equiv 0 \mod 3.$

$\bullet\:$ Les cas $y=1$ et $y=2$ conduisent à $(x,y) \in\{(1,1);\:(2,2)\}.$

$\bullet \:$ Si $\:y=3p+1,\:p>0\:,$ alors $x\equiv 2p \mod y.\:$ Donc $\:x=2p\:\: $(à cause de $x\leqslant y$), $\:2p \mid 3y+2 =9p+5,\:\: p\mid 5,\:\: \:p\in\{1,5\}.$

$$(x,y) \in \left\{(2,4);\:(10,16)\right\}.$$

$\bullet \:$ Si $\:y=3p-1,\:p>1,\:$ alors $x\equiv- 2p \mod y.\: $ Donc,  avec $\:x\leqslant y,\:$ on obtient: $\:\:x=y-2p=p-1. $

$p-1 \mid \:\:3y+2=9(p-1)+8, \quad p-1\mid 8, \: p\in \{ 2,3, 5,9\}.$

$$(x,y) \in\left\{(1,5);\:(2,8);\:(4,14);\:(8,26)\right \}.$$

On obtient de manière similaire:

$\mathcal E_5 = \Big\{(2,2);\:(3,3);\:(5,5);\:(2,4);\:(2,10);\:(3,15);\:(5,9);\:(5,13);\:(5,25);\:(7,35);\:(9,45);\:(13,17);\:(13,65);\:(17,29);\:(25,125);\:(29,73)\Big\}$

$\mathcal E_7=\Big\{(2,2);\:(7,7);\:(2,14);\:(3,21);\:(4,28);\:(5,35);\:(7,49);\:(9,63);\:(13,91);\:(17,119);\:(25,175);\:(49,343);\:(3,3);\:(4,10);\:(13,31);\:(31,73);\:(7,13);\:(23,41);\:(4,4);\:(3,11);\:(7,25);\:(19,67);\:(55,193);\:(3,5);\:(13,19);\:(73,103)\Big\}$