Un quaterne harmonique

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
un simple exercice...

1. ABC       un triangle

2. (O)         le cercle circonscrit à ABC

3. P            le pied de la A-symédiane

4. Ta           le tangente à 0 en A

5. Q            le point d'intersection de Ta et (BC).

Question :      le quaterne (B, C, P, Q) est harmonique.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement

Jean-Louis

Rescassol

Bonjour
En coordonnées barycentriques, on a:
 $\text{O}=[a^2(-a^2+b^2+c^2);b^2(a^2-b^2+c^2);c^2(a^2+b^2-c^2)]$, $\text{A=[1;0;0]}$ et $\text{BC=[1,0,0]}$.

La tangente en $\text{A}$ au cercle circonscrit s'obtient par:

$\text{TgteA=SimplifieBary(DroiteOrthogonaleBary(A,Wedge(O,A),a,b,c))}$

On a $\text{TgteA}=[0, c^2, b^2]$ et $\text{Q=Wedge(TgteA,BC)}$ donne $\text{Q}=[0; b^2; -c^2]$.

On connait le point de Lemoine $\text{K}=[a^2; b^2; c^2]$, d'où $\text{P}=[0; b^2; c^2]$

Il est alors clair que $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont conjugués harmoniques par rapport à $\text{B}$ et $\text{C}$.

Cordialement,
Rescassol

Bouzar

Bonjour Jean-Louis,

Il suffit de montrer $\dfrac{PB}{QB}=\dfrac{PC}{QC}$ et $(\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BQ})=\pi +
(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CQ})\quad [2\pi].$

L'identité $(\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BQ})=\pi +(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CQ})\quad [2\pi]$ est immédiate.

Par ailleurs, on a :

$PB = \dfrac{c^2a}{b^2+c^2}$ et $PC = \dfrac{ab^2}{b^2+c^2}$ d'où $\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{c^2}{b^2}.$

De plus, $\dfrac{QB}{QC}=\dfrac{c^2}{b^2}.$

On en déduit : $\dfrac{PB}{QB}=\dfrac{PC}{QC}.$

Ainsi, $(B,C,P,Q) = -1.$

Amicalement.

gipsyc

Bonjour
Une simple extrapolation de ce schéma illustrant les antiparallèles à BC (ASa étant la A-symédiane coupant en deux chaque antiparallèle.

La symédiane y est la médiane des triangles 𝑡 de sommet A, de côtés construits sur AB et AC, et de base les antiparallèles à BC.
L'ajout de la tangente τ en A au cercle ABC donne une parallèle aux antiparallèles (bases des triangles 𝑡  considérés) et donne donc le faisceau harmonique A(B,C;τ,Sa) souhaité interceptant BC de manière harmonique.
 (intersections du faisceau sur BC non figurées sur mon schéma).
Cordialement
Jean-Pol Coulon.

gipsyc

Pour poursuivre mon commentaire, repris de mes notes, un quadrilatère complet particulier associé à ce faisceau harmonique recherché A(B,C;N,Sa)

ASa = A-symédiane du ΔABC
O = centre du cercle circonscrit 𝓒 au ΔABC
Dy = Point A-Dumpty. sur NO, projection de O sur ASa

N est construit à l'intersection de BC et de la tangente en A au cercle circonscrit 𝓒.
C'est le centre du cercle d'A-Apollonius (non figuré sur le schéma).
N permet aussi la construction du cercle AOMaDPN

Jean-Pol Coulon.

gipsyc

Une autre approche : le quadrilatère harmonique, dont les diagonales sont les symédianes des deux triangles correspondants.
Une construction de ce quadrilatère par section d'un cercle avec un faisceau harmonique, et la tangente souhaitée.

AQ est la A-symédiane du ΔAPR et le faisceau harmonique comprend la tangente en A au cercle circonscrit.
Reste à construire les intersections manquantes de ce faisceau avec la base PQ du triangle.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/62. 09. Micellaneous.pdf   Problème 5
Sincèrement
Jean-Louis