Approximation de $\sqrt{2}$

Maxomega

Bonjour,

C'est la première fois que je poste sur ce forum, et je viens solliciter votre aide à propos d'un exercice ENS PSI extrait de la RMS $2023$ (mais qui n'est pas marqué d'une étoile, donc je vous joins la photographie de l'énoncé à ce message) parmi deux exercices sur lesquels je bloque sur la dernière question (l'autre étant le numéro $170$ de la RMS $2023$ [ENS PSI]). Celui que je présente ici est le numéro $167$ qui traite du nombre $\sqrt{2}$.
Voici ce que j'ai fait pour les questions a) à e), et les pistes sur lesquelles j'étais parti pour la dernière question : 

1. Question classique
2. J'ai exploité le caractère libre de la famille ($x \longmapsto \cos(2\pi x)$, $x \longmapsto \sin(2\pi x)$, $x \longmapsto \cos(2\pi \sqrt{2} x)$, $x \longmapsto \sin(2\pi \sqrt{2}x)$) en supposant par l'absurde que la fonction était périodique.
3. J'ai pris la partie entière de $\sqrt{2} q +1$, et on n'a pas égalité parce que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
4. Le principe des tiroirs avec n couples différents (pour la question précédente), et comme tiroirs les $[{k \over n}, {k+1 \over n}]$.
5. Récurrence sur l'existence de N couples distincts. La partie $A=\left\{ |p_i - \sqrt{2} q_i |, i \in [\![1,N]\!] \right\}$ est finie, donc admet un minimum $m$ puis j'ai utilisé la question précédente avec $n = 1 + \lfloor {1 \over m} \rfloor$ ($m$ est non nul, car $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel).

Question f) :
Pour celle-ci, j'avais plusieurs idées, mais qui n'aboutissaient pas. Je trouve le résultat à démontrer assez joli, mais je ne saurai expliquer intuitivement pourquoi cela se produit, i.e. la répartition périodique des couples approchant $\sqrt{2}$. En ce sens, j'aurai bien voulu utiliser la question b), sachant que c'est la seule que je n'ai pas exploitée pour l'instant.

Sinon, j'avais essayé de faire un raisonnement graphique, avec lequel je "jouerai" pour me rapprocher de plus en plus de $0$ (je joins l'image après l'énoncé de l'exercice). L'idée aurait été de créer trois suites : celle des $q_k$ qui s'incrémente toujours de $1$ (qui commence à $n$ et qui ne dépasse pas $n+l$ avec $l$ l'entier recherché) ; celle des $p_k$ qui démarre à $\lfloor \sqrt{2} n \rfloor $ et pour créer les termes suivants, j'ajoute $1$, $\sqrt{2}-1$ ou $2\sqrt{2}-1$ en fonction de ce qui rapproche les $\delta_k$ le plus de $0$ ; celle des $\delta_k=|p_k - \sqrt{2} q_k|$ que j'essaye de faire rentrer dans l'intervalle $[-\epsilon, \epsilon]$. Le problème de cette construction est que je ne vois pas pourquoi un $\delta_k$ pourrait toujours être assez proche de $0$ en moins de $l$ étapes, et de plus il me semble impossible de savoir pour quel indice j'atteint cet intervalle. Surtout que je pourrai l'atteindre pour un certain indice, et la prochaine itération l'éloignerait alors complétement.

Enfin, un doctorant en Mathématiques, rencontrée de manière fortuite, m'a parlé de l'approximation de Dirichlet, mais ce résultat m'a l'air assez "éloigné" de l'exercice. D'autant plus qu'elle ne donne pas l'espacement entre les dénominateurs, et qu'on cherche à minimiser l'erreur donc à avoir un dénominateur qui "explose".

Merci d'avance pour votre aide !