Formule de récurrence pour le n-ième nombre premier

Boécien

Soit $p_n$ le nième nombre premier. Je recherche les formules de récurrence véritables de la forme $p_{n+1}=f(n)$ où le calcul de $f$ nécessite la connaissance de $p_1,p_2,...,p_n$ et de choses connues où accessibles aussi par récurrence et avec au maximum $n$ termes dans les sommes ou produits apparaissant dans $f$. Les trucs avec $2^n$ termes dans une somme dans $f$ sont donc exclus.

Par exemple il y a la formule de Bernard Montaron qui me semble assez méconnue

$$p_{n+1}=\bigg\lceil \Big(-1+\zeta\big(p_{n}+1\big)\prod_{k=1}^{n}\big(1-p_{k}^{-1-p_{n}}\big)\Big)^{-\frac{1}{p_{n}+1}}\bigg\rceil$$
En connaissez vous d'autres ? Je ne parle pas des tautologies à base de constantes ou séries impliquant la connaissance de l'infinité des premiers. Ici la valeur $\zeta\left(p_{n}+1\right)$ est donnée par les nombres de Bernoulli et $\pi $ et donc n'est pas tautologique au sens où je l'entends.

Alain24

Bonjour, tel que tu sembles l'écrire tu cherches une fonction $f~:~\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par une formule close telle que    $p_{n+1}=f(p_n)$, est-ce bien ça? Eh bien si tu en as trouvé une et que tu as moins de 40 ans cela te vaudra probablement une médaille et un engagement dans des laboratoires de recherche de très haut niveau scientifique. Alors avant toute chose : est-ce que tu maitrise la mathématique écrite en anglo-américain?

Boécien

Non je ne cherche rien du tout. Juste savoir si d'autres formules que celle de B. Montaron existent.  Sinon je serai aller en shtam direct

Alain24

Je ne connais pas Bernard Montaron et je ne sais pas s'il publie, mais s'il a réussi à trouver une formule de ce genre, c'est sûrement le mieux placé pour te donner une réponse. Cela dit sa dite formule n'est pas $p_{n+1}=f(p_n)$!

Boécien

Je n'ai pas dit que la formule devait dépendre uniquement du précédent. Quant à la preuve de la formule de Montaron elle n'est pas trop dure.

gerard0

Alain24,
tu devrais apprendre à lire ce qui est écrit. En l’occurrence "$p_{n+1}=f(n)$ où le calcul de $f$ nécessite la connaissance de ...". Ce" qui n'a rien à voir avec ce dont tu parles.
Cordialement.

Médiat_Suprème

Voir : 
Formule de Wilson
formule de Mills
formule de Friedman
Algorithme Fractran (bluffant !)
Suite de Rowland

Boécien

Merci mais ces formules que je connaissais ne répondent pas au cahier des charges de la formule de Montaron. Pour rendre plus explicite le fait que c'est une formule de récurrence donnant le $(n+1)$-ème nombre premier en fonction des $n$ premiers premiers la voici avec les nombres de Bernoulli et Pi.

Pour $n\geq1$ on a la formule de récurrence suivante donnant chaque nombre premier en fonction de ceux qui le précèdent
$$p_{n+1}=\bigg\lceil\Big(-1+(-1)^{\frac{p_{n}-1}{2}}2^{p_{n}}B_{p_{n}+1}\frac{\pi^{p_{n}+1}}{(p_{n}+1)!}\prod_{k=1}^{n}\big(1-p_{k}^{-1-p_{n}}\big)\Big)^{-\frac{1}{p_{n}+1}}\bigg\rceil,$$ où $B(n)$ est le nième nombre de Bernoulli. Pour ma part je trouve cette formule très jolie bien qu'inutile pour les calculs.
Un test pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreur avec pari-gp (j'ai mis 100 digits de précision pour Pi)

f(n)=(-1+(-1)^((prime(n)-1)/2)*2^prime(n)*bernfrac(prime(n)+1)*Pi^(prime(n)+1)/(prime(n)+1)!*prod(k=1,n,1-prime(k)^(-1-prime(n))))^(-1/(prime(n)+1))

for(n=2,10,print1(ceil(f(n)),","))

5,7,11,13,17,19,23,29,31,