La relation $2n=p+q^{2}$

Sylvain

Bonjour
Y a-t-il moyen, via le symbole de Kronecker, de detecter les entiers $n$ tels que $2n=p+q^2$ avec $p$ et $q$ premiers impairs ? Par ailleurs on a sauf erreur $p\equiv (-1)^{1_{3\nmid n}}q\pmod 3$.

Sylvain

Je pensais à quelque chose du style $\left(\frac{-1}{2n}\right)=-1$ si cette relation est vérifiée.

Alain24

Sylvain
Bonjour, $ (-1)^{1_{3\nmid n}}$ est une notation que je ne connais pas, quelle en est la définition ? À par ça prouver qu'un nombre pair est la somme d'un nombre premier différent de $2$ et du carré d'un nombre premier différent de $2$ ne me paraît pas coton !

Sylvain

Pour une proposition $P$,  $1_{P}$ vaut $1$ si $P$ est vraie et $0$ sinon.

Sylvain

Après lecture de Wikipedia et réflexion, la relation $2n=p+q^{2}$ implique $\left(\frac{2n}{p}\right)=1$ mais ce ne doit pas être une condition suffisante.

NicoLeProf

Sylvain a dit :

Je pensais à quelque chose du style $\left(\frac{-1}{2n}\right)=-1$ si cette relation est vérifiée.

Cela me semble compliqué à déterminer. Je ne sais pas trop. Tout ce que je peux te dire est que tu parles ici du symbole de Legendre et non de celui de Kronecker (ce dernier étant surtout vu en algèbre linéaire : je ne voyais donc pas le rapport ici). Mais le symbole de Legendre est défini pour les nombres premiers et $2n$ n'est pas premier sauf si $n=1$. Il faudrait donc aller voir du côté du symbole de Jacobi du coup !

Je ne peux pas en dire davantage pour le moment, désolé. Si j'ai le temps, je vais réfléchir à ton exo !

Sylvain

Ce n'est pas un exo. 

lourrran

On n'est pas dans le domaine 'exercices' mais dans le domaine 'conjectures'.
Est-ce que tous les entiers pairs peuvent s'écrire sous la forme $p+q^2$ ? Clairement non, on a quelques contre-exemples parmi les petits entiers pairs (2, 4, 6, 8, 10, 18, 24 et peut-être d'autres)
Est-ce que tous les entiers pairs plus grand qu'un certain seuil $n_0$ peuvent s'écrire sous la forme $p+q^2$ ? Je pense que oui, mais évidemment la démonstration me paraît totalement hors de portée.
Du coup, une autre conjecture, qui pourrait régler le problème de ces petits entier : 
Tous les entiers pairs peuvent ils s'écrire sous la forme $q^2-p$, avec $p$ et $q$ premiers ?
Et même : pour un entier pair $2n$, y a-t-il toujours une infinité de couples de nombres premiers $(p,q)$ tels que $2n=q^2-p$ ?

Sylvain

Mon but en fait est de généraliser le théorème de Chen pour aboutir quitte à supposer vraie l'hypothèse de Riemann généralisée à "tout entier suffisamment grand est la somme de deux nombres premiers ou d'un nombre premier et du carré d'un nombre premier".

lourrran

J'imagine qu'il manque l'adjectif 'pair' dans ton dernier énoncé.

Sylvain

Oui, bien vu !

Sylvain

En fait une piste serait de montrer que parmi les semi-premiers $q'q''$ intervenant dans une décomposition de $2n$ il y en a au moins un (voire une certaine proportion $\delta>0$) tel que $(q',q'')$ est (sont) invariant(s) sous la permutation échangeant $q'$ et $q''$. Et on peut peut-être relier ça à la proportion de fonctions $L$ auto-duales.

Sylvain

lourrran a dit :

On n'est pas dans le domaine 'exercices' mais dans le domaine 'conjectures'.
Est-ce que tous les entiers pairs peuvent s'écrire sous la forme $p+q^2$ ? Clairement non, on a quelques contre-exemples parmi les petits entiers pairs (2, 4, 6, 8, 10, 18, 24 et peut-être d'autres)
Est-ce que tous les entiers pairs plus grand qu'un certain seuil $n_0$ peuvent s'écrire sous la forme $p+q^2$ ? Je pense que oui, mais évidemment la démonstration me paraît totalement hors de portée.
Du coup, une autre conjecture, qui pourrait régler le problème de ces petits entier : 
Tous les entiers pairs peuvent ils s'écrire sous la forme $q^2-p$, avec $p$ et $q$ premiers ?
Et même : pour un entier pair $2n$, y a-t-il toujours une infinité de couples de nombres premiers $(p,q)$ tels que $2n=q^2-p$ ?

Ta reformulation n'est pas sans lien avec cette question : https://math.stackexchange.com/questions/4681590/difference-of-prime-powers-as-linear-combination-of-jumping-champions