Divisible par 2 et non par 4
Bonjour ou bonsoir (voir l'heure).
Soit $n$ un entier naturel positif, monter que $3^{2^{n}} + 1 $ est divisible par 2 et non par 4.
Merci d'avance.
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Réponses
En faisant quelques simulations, j'ai remarqué que $3^{2^n}+1$ ne contient pas de nombre premier $p\equiv3\pmod{4}$ dans sa décomposition en produit de nombres premiers. Est-ce que c'est vrai et démontrable ?
Soit p>3 avec $p\equiv 3\mod 4$ on sait que $3^{p-1}=1 \mod p $ donc l'ordre de 3 divise p-1. Ta question suggere que cet ordre s’écrit de façon unique en fonction de p mais j'ai deux exemples
Pour p=7=3+1x4, je trouve l'ordre de 3 $\mod 7$ est 6 ici c'est p-1
Pour p=11=3+2x4, je trouve l'ordre de 3 $\mod 11$ est 5, ici c'est $\frac{p-1}2$.
@ Math Coss Heureux de vous voir.
Je vais faire beaucoup de débat dans cette l'arithmétique.
Le but initial de ce fil est de prouver que le nombre premier 2 divise $N=3^{{2^n}}+1$ mais son carrée ne le divise pas
Question 1. Si $p\equiv 1\mod 4$ est un nombre premier qui divise N , montrer que son carré p² ne divise pas N
Question 2. Montrer sauf erreur Si, $p$ premier impair divise $3^{2^n}+1\Rightarrow$ montrer que $p=1+k 2^{n+1}$. avec k pair.
edit mea culpa. Si c'est pour la question 2, je viens de constater que dans mon brouillon j' ai mis 2 à la place de 3, mais la question2 reste d’actualité dans ce sens.
edit j'ai oublié de préciser que $n\geq 2$ sinon faux pour n=0 ou 1.
Les deux arguments que j'ai utilisé sont : Loi de réciprocité quadratique et le Critère d'Euler.
Il reste la question 1 la plus difficile et si vous n'avez pas la foi donner un contre exemple
Dans l'autre sens, $f(n)=2^n [\text{mod}\space 5]$ par exemple.
Cordialement,
Rescassol
Je vous remercie pour ces magnifique idées.
il y a une classe d’équivalence que je ne comprends pas, la voici $\Z/p(p−1)\Z$ ??
Ce n'est ni difficile, ni une évidence !
Tu démontres d'abord cette subtilité $m$ divise nécessairement $2^{n+1}$, puis conclure !
Je connais $Z/nZ$ , un tout petit peu bien sûr.
J'ai déjà conseillé Nicoleprof de passer à autre chose. (Je sais de quoi je parle).
Mais si cette question te captive, poursuis tes recherches, sinon, tu peux passer à autre chose.
Gebrane, cela serait bien de gagner un peu en modestie...
il faut montrer que 3^(2^n) congru à 1 modulo 4
pour n=1, cela vaut 9 donc ok
si vrai pour n, alors: 3^(2^(n + 1)) = 3^(2^n) * 9 congru à 1 * 1 modulo 4 cqfd ?
Arrêtons de parler inutilement. Je sais que tu as développé de l'animosité envers moi, mais ne t'inquiète pas, je connais ma modeste valeur. Ton niveau en arithmétique dépasse largement le mien. Si la question t'intéresse, attaque-la.