Appel à l'aide sur un exercice de géométrie différentielle

P_L

Bonjour
J'apprends la géométrie différentielle avec le livre "Introduction à la géométrie différentielle" de Vincent Guedj (Dunod). Je ne comprends absolument pas la correction de l'exercice 90 à partir du moment où l'on munit la sphère de ce que je crois être le plan projectif.

C'est-à-dire que je ne comprends pas pourquoi on y recourt, pourquoi le changement de carte est ce Φ, et pourquoi le fait que η soit stable par ce changement de carte nous accommode pour monter que η s'étend en une forme volume...

J'essaie de trouver un peu d'aide sur ce forum car autrement je n'ai personne avec qui discuter de cela (je ne suis pas de cours et mes amis ne font pas de mathématiques)
Merci pour toute réponse.

Area 51

Non, on ne munit pas la sphère $\mathbb{S}^2$ du plan projectif. On invoque juste l'isomorphisme de variétés entre $\mathbb{S}^2$ et $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$. Posons la sphère de Riemann sur le plan complexe $\mathbb{C}$ avec son pôle sud $S$ coïncidant avec l'origine $O$. Si on mène une droite du pôle nord $N$ par tout point $M \in \mathbb{S}^2$, elle coupe le plan complexe en un point unique. Zéro ambiguité dans la construction, sauf pour le point $N$ qui est envoyé vers l'$\infty$ de $\mathbb{C}$.

Il faut donc une 2ème carte qui contienne le point $N$ (et peut-être pas $S$) pour recouvrir entièrement $\mathbb{S}^2$, soit un atlas à (au moins) 2 cartes. L'application $\phi$ est l'application de changement de cartes. Et la notation $\phi^*\alpha = \alpha \circ \phi$ indique le pull-back de l'application $\alpha$ (définie sur l'une des cartes).

P_L

Oui pardon on ne munit pas la sphère du plan projectif mais on utilise cet isomorphisme que je comprends. Mais pour moi ce n'est déjà pas vraiment un isomorphisme parce qu'il conviendrait d'enlever un point à la sphère (ou de rajouter un point (l'infini) à C).

En passant par cette construction je crois mieux comprendre pourquoi Φ=1/z, car ça permet d'avoir la carte avec "tous les points sauf celui qui posait problème" c'est à dire le point à l'infini, suis je juste?

Néanmoins je ne comprends toujours pas trop le lien entre la stabilité de η par Φ et le fait que η s'étende en une forme volume...

Merci pour ton message

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Area 51 a dit :

Non, on ne munit pas la sphère $\mathbb{S}^2$ du plan projectif. On invoque juste l'isomorphisme de variétés entre $\mathbb{S}^2$ et $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$.

Non la sphère $S^2$ n'est pas isomorphe au plan projectif réel $\mathbb P^2(\mathbb R)$ (qui n'est pas orientable, d'ailleurs) !

La sphère $S^2$ est isomorphe à la variété réelle sous-jacente à la droite projective complexe $\mathbb P^1(\mathbb R)$ (la sphère de Riemann).

Area 51

J'avais clairement ce problème d'orientabilité à l'esprit en écrivant mon message. Mais je ne voyais pas vraiment comment m'en sortir, surtout avec le texte $\mathbb{S}^2 \sim \mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ de la photo (et non $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ by the way). La cohomologie de $\mathbb{S}^2$ étant triviale, tandis que celle de $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ l'étant un peu moins.

GaBuZoMeu

Oui, j'avais bien écrit complexe et, fait une coquille ensuite. La cohomologie de $S^2$ est bien sûr exactement la même que celle de $\mathbb P^1(\mathbb C)$.

Area 51

Pour $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, c'est très court (vu la faiblardise de la dimension). Correction : c'est celle de $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ qui est un peu moins triviale.