L’argument diagonal selon Wikipédia

Médiat_Suprème

C'était pas évident et pouvait créer des confusions. Et même dans ce cas, ce n'est pas évident, pensez à un modèle dénombrable de ZFC.

Sneg

Soit $$0, a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 \ldots$$ un certain nombre réel calculable, exprimé sous forme de développement décimal illimité.

À ce que je sache, rien ne m'empêche de penser que ce nombre n'est autre que $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, auquel cas on calculera que $a_1=7$, $a_2=0$, $a_3=7$, $a_4=1$, $a_5=0$, ...

(J'aurais bien sûr pu choisir n'importe quel autre nombre réel calculable, comme par exemple $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, ce qui aurait donné $a_1=5$, $a_2=7$, $a_3=7$, $a_4=3$, $a_5=5$, ...)
Considérons à présent $$0, b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 \ldots$$ c'est-à-dire un certain nombre réel non calculable, exprimé lui aussi sous forme de développement décimal illimité.
Comme ce nombre ne peut être associé à aucun algorithme de calcul, je semble pouvoir donner 
- à $b_1$ une des dix valeurs appartenant à l'ensemble $B_1 = \{0, 1, 2, \ldots, 9 \}$, au choix.
- à $b_2$ une des dix valeurs appartenant à l'ensemble $B_2 = \{0, 1, 2, \ldots, 9 \}$, au choix.
- à $b_3$ une des dix valeurs appartenant à l'ensemble $B_3 = \{0, 1, 2, \ldots, 9 \}$, au choix.
- à $b_4$ une des dix valeurs appartenant à l'ensemble $B_4 = \{0, 1, 2, \ldots, 9 \}$, au choix.
- à $b_5$ une des dix valeurs appartenant à l'ensemble $B_5 = \{0, 1, 2, \ldots, 9 \}$, au choix.
- etc.
Pour construire ainsi l'ensemble infini des décimales de ce nombre réel non calculable, suis-je en train de faire usage de "l'axiome du choix" ?
Merci.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Que veut dire "construire" ?

Sneg

Disons :
« Pour donner une valeur à chacune des décimales de ce nombre réel non calculable, suis-je en train de faire usage de l’axiome du choix ? »

JLapin

Non, tu fais usage de la formule $b_i = \lfloor 10^{i+1} x\rfloor - 10\lfloor 10^i x\rfloor$ pour définir la $i$-ème décimale du réel $x$.

Thierry Poma

@Sneg : bonjour. Que vient faire l'axiome du choix pour déterminer une valeur à chaque décimale d'un réel non calculable ? L'identité rappelée par @JLapin fait très bien l'affaire.

GaBuZoMeu

La question ne fait toujours aucun sens pour moi.

Est-ce : "A-t-on besoin de l'axiome du choix pour démontrer l'existence d'un réel non calculable ?"

Sneg

Bonjour Thierry Poma, JLapin et GaBuZoMeu.
D'abord, j'ai un problème avec l'identité rappelée par JLapin.

Soit le nombre réel non calculable $x = 0, b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 b_9 \ldots$
où $b_1=9$, $b_2=8$, $b_3=7$, $b_4=6$, $b_5=5$, $b_6=4$, $b_7=3$, $b_8=2$, $b_9=1$
D'après l'égalité $b_i = \lfloor 10^{i+1}x \rfloor - 10 \lfloor 10^i x \rfloor$, on a : 
$b_1 = \lfloor 10^{1+1} \times 0,987654321 \ldots \rfloor - 10 \lfloor 10^1 \times 0,987654321 \ldots \rfloor$
$9 = \lfloor 98,7654321 \ldots \rfloor - 10 \lfloor 9,87654321 \ldots \rfloor$
$9 = 98 - 10 \times 9$
$9 = 98 - 90$
$9 = 8$
D'où vient l'erreur ?

Thierry Poma

@Sneg : $b_0 = \lfloor 10^{0+1}x \rfloor - 10 \lfloor 10^0 x \rfloor=\cdots$

$b_1 = \lfloor 10^{1+1}x \rfloor - 10 \lfloor 10^1 x \rfloor=\cdots$

$b_2 = \lfloor 10^{2+1}x \rfloor - 10 \lfloor 10^2 x \rfloor=\cdots$

etc.

[Utilisateur supprimé]

Non, il y a un effet de bord, c'est : 

$b_i = \lfloor 10^{i}x \rfloor - 10 \lfloor 10^{i-1} x \rfloor$

Exemple :
$b_1 = \lfloor 10*x \rfloor - 10 \lfloor 1 * x \rfloor$
$b_1 = \lfloor 10*x \rfloor - 10 \lfloor x \rfloor$
$b_1 = \lfloor 9{,}\dots \rfloor - 10 \lfloor 0{,}\dots\rfloor$
$b_1 = 9  - 10 * 0$
$b_1 = 9$

$b_2 = \lfloor 100*x \rfloor - 10 \lfloor 10 * x \rfloor$
$b_2 = \lfloor 98{,}\dots \rfloor - 10 \lfloor 10*0{,9}\dots\rfloor$
$b_2 = 98  - 10 * 9$
$b_2 = 8$

$\dots$

Thierry Poma

J'avais utilisé $x = 0, b_0b_1b_2b_3b_4b_5b_6 b_7 b_8 b_9 \ldots$

[Utilisateur supprimé]

$b_i$ est la i-ème décimale.

Dom

Il est vrai que je préfère que $b_1$ soit le premier chiffre derrière la virgule. 

Et $b_0$ un entier naturel (ici zéro mais qui peut être très grand). Tout dépend ce que l’on veut faire. 

Sneg

Bonjour,

Je remarque que mon dernier message sur ce fil a disparu, ainsi que les réactions qu'il a suscitées mais que je n'avais pas eu le temps de lire. Sans doute une des conséquences du piratage dont ce forum a fait l'objet.

Pour remédier à cela, je vais réécrire ci-dessous mon message disparu. Ceci dit, c'est loin d'en être un copier-coller parfait, car je n'avais pas pris soin d'en faire une sauvegarde complète, ne m'attendant pas à ce qu'il disparaisse, mais le contenu reste clairement le même. Voici ce message :

Un peu plus haut dans ce fil, "raoul.S" a écrit ceci : "Sneg, je te signale quand même qu'au début tu remettais en question la rigueur de l'argument diagonal de Cantor. Est-ce que c'est toujours le cas ?"

Voici enfin ma réponse à cette question :

Dans le fameux tableau $T$ de l'argument diagonal, chaque ligne horizontale est censée représenter un seul et unique nombre réel, écrit sous forme de développement décimal illimité et appartenant à l'intervalle des réels $[0, 1 [$.

- Supposons que le n-ième nombre du tableau $T$ soit un nombre réel calculable. Cela signifie qu'il existe un algorithme permettant d'en calculer ne serait-ce que les $n$ premières décimales nécessaires à l'argument diagonal. Quant aux décimales suivantes, elles sont superflues. En effet, la connaissance de l'algorithme de calcul permet de dire que "l'on sait de quel nombre il s'agit, même si l'on n'écrit pas ce nombre en entier dans le tableau".

- Si maintenant un nombre du tableau $T$ est un nombre réel non calculable, cela signifie qu'il n'existe pas d'algorithme de calcul qui permettrait de dire que "l'on sait de quel nombre il s'agit, même si on ne l'écrit pas en entier dans le tableau". Pour savoir de quel nombre il s'agit (et, au passage, en extraire les premières décimales nécessaires à l'argument diagonal), je ne vois pas d'autre moyen que d'imaginer qu'on en connaît toutes les décimales. Autrement dit, je ne vois pas d'autre moyen que de considérer comme une entité achevée l'ensemble infini des décimales de ce nombre. Donc, pour moi, le concept d'infini actuel (c'est-à-dire considérer un ensemble infini comme une entité achevée) fait partie intégrante de l'argument diagonal appliqué à l'intervalle des réels $[0, 1 [$. 

Bref, raoul.S, être ou ne pas être d'accord avec le recours à l'infini actuel, telle est la question :

- Si j'accepte l'infini actuel, alors je dois accepter l'argument diagonal.

- Si je n'accepte pas l'infini actuel, alors je dois refuser l'argument diagonal.

C'est précisément pour ne pas devoir recourir à l'infini actuel que j'ai mis au point "mon système". En voici un rappel présenté sous la forme d'une petite histoire. Cette dernière reposait initialement sur les concepts fragiles de "réels parfaitement déterminés" et de "réels non parfaitement déterminés", mais elle repose aujourd'hui sur la théorie  solide d'Alan Turing selon laquelle l'ensemble des réels compte, d'une part, les nombres réels calculables, d'autre part, les nombres réels non calculables. (Ce ne sont autres , respectivement, que les "réels parfaitement déterminés" et les "réels non parfaitement déterminés" que je viens d'évoquer ... mais en mieux. :-) )

$\bullet$ Une nuit de décembre, Alice fait la découverte d'un monde mathématique où figure en bonne place l'axiome suivant :

"Tout ensemble $E$ (non vide) de réel(s) peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ ou une partie propre de $\mathbb{N}$ si et seulement si tout élément de $E$ est calculable."

(Dans la suite du texte, l'adjectif "dénombrable" équivaudra à l'expression "qui peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ ou une partie propre de $\mathbb{N}$".)

$\bullet$ La curiosité l'emportant sur la peur, Alice pénètre dans ce monde mathématique inconnu, où elle remarque d'emblée qu'il ne faut pas y dire :

$\phantom{....................}$Soit $a$, $\underline{\textit{un}}$ nombre réel non calculable.

mais bien :

$\phantom{....................}$Soit $a$, $\underline{\textit{prétendument un}}$ nombre réel non calculable.

pour bien souligner le fait que l'ensemble contenant $a$ n'est pas dénombrable.

Pareillement :

$\phantom{....................}$Soient $a$ et $b$, $\underline{\textit{prétendument deux}}$ nombres réels non calculables.

$\phantom{....................}$Soient $a$, $b$ et $c$, $\underline{\textit{prétendument trois}}$ nombres réels non calculables.

etc.

$\bullet$ Alice s'attend à ce que ce monde étrange l'entraîne jusqu'à d'inhabituels résultats mathématiques. Etonnamment, non. En voici quelques exemples :

- Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ sont dénombrables (tous leurs éléments sont calculables).

- L'ensemble $\mathbb{R}$ est non dénombrable (ses éléments ne sont pas tous calculables).

- L'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ est non dénombrable (cet ensemble peut être assimilé à un ensemble de réels qui ne sont pas tous calculables).

- On vient de voir que les éléments de $\mathbb{R}$ ne sont pas tous calculables. Or, par nature, tout nombre réel algébrique est calculable. Donc, les éléments de $\mathbb{R}$ ne sont pas tous algébriques.

Ce sont en tous points des résultats auxquels Alice est accoutumée.

En outre, s'il découle immédiatement de l'axiome susmentionné que :

- l'ensemble des nombres réels calculables est dénombrable,

- l'ensemble des nombres réels non calculables est non dénombrable,

ces deux résultats se vérifient facilement dans "notre monde mathématique à nous" au moyen de l'argument diagonal, dans la mesure où le réel construit sur la fameuse diagonale de Cantor est un nombre réel non calculable.

Ceci dit, on ne peut pas cacher bien longtemps le fait que la présentation de ces résultats diffère selon que l'on se place dans le monde mathématique découvert par Alice ou dans notre monde mathématique à nous. Ainsi, en matière de nombres réels, ce qui distingue un ensemble dénombrable d'un ensemble non dénombrable, c'est :

- dans le monde mathématique découvert par Alice, une différence de $\underline{\textit{nature}}$ entre les éléments du premier ensemble (ils sont tous calculables) et les éléments du second (ils ne sont pas tous calculables),

- dans notre monde mathématique à nous, une différence de $\underline{\textit{cardinal}}$ entre le premier ensemble et le second (le cardinal du second est strictement supérieur au cardinal du premier selon le schéma :
$Card(\text{Ensemble dénombrable})$ $\leq$ $Card(\mathbb{N})$ < $Card(\text{Ensemble non dénombrable})$.

$\bullet$ Finalement, au petit matin, Alice revient dans le monde réel et s'empresse d'inviter Bob à explorer plus avant, et ensemble, ce bien mystérieux monde mathématique afin notamment de vérifier si pareil monde peut véritablement exister en restant toujours cohérent avec lui-même, c'est-à-dire en restant exempt de toute contradiction interne.

Voilà, 

Message restauré.

Médiat_Suprème

"Tout ensemble E (non vide) de réel(s) peut être mis en bijection avec N ou une partie propre de N si et seulement si tout élément de E est calculable."
Donc d'après vous, le singleton contenant un réel non calculable (comme $\{\Omega\}$ ne peut pas être mis en bijection avec $1$

Sneg

C'est bien ça.
C'est pourquoi on utilise l'expression "prétendument un".

Médiat_Suprème

En quoi l'application : $\varphi : \{\Omega\} \to 1$ définie par $\varphi(\Omega) = 0$ n'est pas une bijection ?

Sneg

Dans le monde mathématique découvert par Alice, le fait qu'un ensemble contenant "a" (nombre réel non calculable) ne puisse pas être mis en bijection avec le singleton {1} découle de l'axiome précité.

Médiat_Suprème

Et c'est quoi une bijection ?
Est-ce que cet axiome est cohérent avec les autres (lesquels) ?
Vous pouvez décrire un modèle de cette théorie ?
Quel est l'intérêt ?

Sneg

Ne nous égarons pas.
Si l’on en vient à poser des questions, la question numéro un à se poser ici est la suivante :
Dans l’argument diagonal, recourt-on oui ou non à l’infini actuel, comme je l’ai affirmé, arguments à l’appui, trois messages à moi plus haut ?

Médiat_Suprème

Réponse donnée le 18/04 !
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2421045/#Comment_2421045

JLapin

@Sneg

Sneg a dit :

Pour savoir de quel nombre il s'agit (et, au passage, en extraire les premières décimales nécessaires à l'argument diagonal), je ne vois pas d'autre moyen que d'imaginer qu'on en connaît toutes les décimales. Autrement dit, je ne vois pas d'autre moyen que de considérer comme une entité achevée l'ensemble infini des décimales de ce nombre. Donc, pour moi, le concept d'infini actuel (c'est-à-dire considérer un ensemble infini comme une entité achevée) fait partie intégrante de l'argument diagonal appliqué à l'intervalle des réels $[0, 1 [$. 

Voilà,

C'est quoi "une entité achevée" ? Je ne connais pas cet objet mathématique.

gerard0

Une nuit de décembre, Alice fait la découverte d'un monde mathématique où figure en bonne place l'axiome suivant :  ...

Une nuit de décembre, Alice fait la découverte d'un monde mathématique où le Père Noël existe ....

Il ne faut pas croire au Père Noël !

PS : désolé pour les enfants de moins de 6 ans qui n'auraient pas dû lire ça.

Thierry Poma

C'est reparti pour un tour.

gerard0

Normal, Sneg est reparti dans le baratin pour éviter de mathématiser sa pensée (ce qui la mettrait en défaut). Avec des exigences philosophiques dont se moquent les matheux (et les utilisateurs des maths).

raoul.S

Sneg a dit :

... ce bien mystérieux monde mathématique afin notamment de vérifier si pareil monde peut véritablement exister en restant toujours cohérent avec lui-même, c'est-à-dire en restant exempt de toute contradiction interne.

La réponse est que le mystérieux monde d'Alice ne peut pas exister parce que le nouvel axiome qu'elle introduit, que je cite : 

Sneg a dit :

$\bullet$ Une nuit de décembre, Alice fait la découverte d'un monde mathématique où figure en bonne place l'axiome suivant :

"Tout ensemble $E$ (non vide) de réel(s) peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ ou une partie propre de $\mathbb{N}$ si et seulement si tout élément de $E$ est calculable."

est en contradiction avec les autres axiomes de la théorie des ensembles (voir la remarque de Médiat_Suprème ci-dessus). Le gros problème est qu'Alice ne connaît pas ces autres axiomes car elle ne les a jamais étudiés (comme elle n'a jamais vu la définition formelle de fonction ou de bijection d'ailleurs), et par conséquent elle ne peut pas s’apercevoir de la contradiction qu'elle introduit avec son axiome à elle...  

Sneg

Mais, ... raoul.S ?!?
Dans l'histoire racontée dans mon message L’argument diagonal selon Wikipédia - Page 5 — Les-mathematiques.net , il ne s'agit pas d'introduire un nouvel axiome dans la théorie déjà existante !
Si même ça n'est pas compris, alors ...

Je note que, pour vous, l'infini actuel n'intervient en aucune façon dans l'argument diagonal appliqué à l'intervalle des réels $[0, 1[$, les nombres réels calculables et les nombres réels non calculables étant traités sur un pied d'égalité.

raoul.S

Sneg a dit :

Mais, ... raoul.S ?!?
Dans l'histoire racontée dans mon message L’argument diagonal selon Wikipédia - Page 5 — Les-mathematiques.net , il ne s'agit pas d'introduire un nouvel axiome dans la théorie déjà existante !
Si même ça n'est pas compris, alors ...

Ah ok, j'avais mal compris. Donc Alice veut introduire un nouveau système d'axiomes, c'est bien ça ? Mais dans ce cas il reste quand même un problème : on ne connaît absolument rien à ce nouveau système, car Alice ne l'a absolument pas explicité.

Elle parle de "bijection" etc. mais elle n'a donné aucun des axiomes sur lesquels elle se base pour définir le mot "bijection" par exemple...

Tandis qu'avec le système d'axiomes avec lequel les mathématiciens travaillent (voir la référence à un des bouquin mentionnés quelques pages en arrière) le terme "bijection" est parfaitement défini et ne correspond absolument pas au terme "bijection" employé par Alice.

Sneg

@raoul.S , 
Je sais que ce qui compte sur ce forum, ce n’est pas ce que je pense, mais ce que je peux prouver.

Dommage que Claude Quitté ne soit plus là.
Pour m’aider à prouver que j’ai raison.
Ou pour me prouver que j’ai tort.

raoul.S

@Sneg je suis certain que Claude Quitté ne t'aurait pas suivie dans ce cas pour la simple raison que ce que tu dis n'est pas clair du tout.
Autre chose, tu dis : 

Sneg a dit :

C'est précisément pour ne pas devoir recourir à l'infini actuel que j'ai mis au point "mon système". 

puis plus loin : 

Sneg a dit :

$\bullet$ Une nuit de décembre, Alice fait la découverte d'un monde mathématique où figure en bonne place l'axiome suivant :

"Tout ensemble $E$ (non vide) de réel(s) peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$ ou une partie propre de $\mathbb{N}$ si et seulement si tout élément de $E$ est calculable."

Tu as conscience qu'en mentionnant $\mathbb{N}$ dans son axiome, Alice recoure à l'infini actuel ? Si tu refuses l'infini actuel, tu ne peux pas parler de "l'ensemble $\mathbb{N}$".

PS. Je t'assure qu'en lisant l'axiome d'Alice, Claude Quitté aurait réagi comme Médiat_Suprème ICI.

Sneg

Je retombe sur ce fil qui se termine par une intervention de raoul.S, selon qui ce que je dis "n'est pas clair du tout". Je ne peux pas laisser passer ça.

Il se fait que j'envisage un cadre mathématique où : 

1) figure en bonne place le postulat P selon lequel il n'existe pas d'ensemble infini "plus grand" que $\mathbb{N}$ (c'est-à-dire d'ensemble infini qui ne puisse être mis en bijection avec $\mathbb{N}$),

2) la question Q s'est posée de savoir si l'on pouvait traiter sur un pied d'égalité les nombres réels non calculables et les nombres réels calculables, dans la mesure où, contrairement aux nombres réels calculables, d'une part, on ne calcule pas avec les nombres réels non calculables (comment faire des calculs avec des nombres qui eux-mêmes ne se calculent pas) et, d'autre part, on ne verra jamais apparaître de nombre non calculable au détour d'un calcul (sinon ce nombre non calculable serait ... calculable). Et la réponse à cette question Q est ... négative. En effet, si l'on pouvait traiter sur un pied d'égalité les nombres réels non calculables et les nombres réels calculables, on pourrait appliquer l'argument diagonal sur l'ensemble des nombres réels non calculables exactement comme on applique l'argument diagonal sur l'ensemble des nombres réels calculables. Et l'on aboutirait à la conclusion qu'il existe un ensemble infini "plus grand" que $\mathbb{N}$, ce qui est en contradiction avec le postulat P.

@raoul.S, tu m'as écrit un jour que si, moi, je choisissais un réel $r$ et que, toi, tu passais en revue l'ensemble des réels, il se pourrait que tu ne tombes jamais sur $r$, car $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. En fait, deux possibilités sont à considérer :

- soit j'ai choisi un réel $r$ calculable et, dans ce cas, tu finiras par tomber sur $r$, car l'ensemble des nombres réels calculables est dénombrable,

- soit j'ai "choisi" un nombre réel non calculable. Et, là, ton raisonnement tient ... à ceci près que je me pose la question de savoir comment on peut arriver à "choisir" un nombre réel non calculable.

Mais, quelle étourdie je fais ! Cette dernière question n'a pas lieu d'être vu que, dans le monde de Cantor, les nombres réels non calculables et les nombres réels calculables sont traités sur un pied d'égalité.

La distinction faite ici entre les deux cadres mathématiques considérés me paraît on ne peut plus claire.

Dom

Même si tu choisis un entier, moi ne sachant pas quel réel tu as choisi, je peux parcourir l’ensemble des réels sans tomber sur ton entier. 

Est-ce encore une tergiversation qui démarre ?

Sneg

Dom, pourquoi peux-tu ne jamais tomber sur l'entier que j'ai choisi ?
Parce que, cantorien que tu es, tu imagines pouvoir chercher aussi bien dans l'ensemble des réels non calculables que dans l'ensemble des réels calculables, les traitant tous sur un pied d'égalité. C'est bien ce que j'ai écrit à l'avant-dernière ligne de mon message précédent.
Il n'y a pas de tergiversations, en tout cas pas de mon côté.

Dom

L’expression « passer en revue l’ensemble des réels » dans ce cadre est une image. Ça illustre qu’ils sont non dénombrables. Un humain peut tenter de « passer en revue l’ensemble des réels », et il loupera peut-être $0$ ou $3$. On peut très bien tomber sur un réel non calculable mais on continue à jouer avec des métaphores et des jeux qui n’existent pas. 

Les théorèmes d’existence en maths, on les accepte car par définition ils ont été démontrés dans un cadre prédéfini (le schéma d’axiome). On peut les rejeter en rejetant un des axiomes, pourquoi pas. 

Mais je n’ai toujours pas compris qu’elle est ta quête. 

J’avais cru que c’était de rejeter l’argument diagonal de Cantor, puis j’ai interprété une filouterie ensuite pour ne pas dire « j’ai tort » en détournant la conversation avec les réels calculables. 

Quel est l’objet de ce fil ? Quel est et le contenu mathématique à défaut d’être philosophique et personnel ?

Foys

L'argument diagonal date d'avant l'invention de la calculabilité et est essentiellement plus simple que ses sophistications employées par la calculabilité pour montrer des résultat d'indécidabilité logique ou informatique.

L'argument diagonal ne fait AUCUNE référence à la calculabilité, au fini, à l'infini, aux réels, aux anges ou autre. Au lieu de ça il s'agit d'une  évidence grammaticale pure et dure, indépendante du sens des objets et même de la relation considérée.

Soit $R$ une relation binaire ($R (x,y):=$ "$x$ est en relation avec $y$ selon $R$").
Il n'existe aucun $x$ tel que pour tout $y$, $R(x,y)$ si et seulement si $\neg R(y,y)$.
En effet soit $y$ un tel objet. Alors si $R(y,y)$, on a $\neg R(y,y)$ (contradition). Donc $\neg R(y,y)$. Donc $R(y,y)$ par hypothèse sur $y$.  Mais ceci entraîne à nouveau une contradiction. Ainsi, il ne peut exister de tel $y$.

$R$ peut vouloir dire "$x$ est plus âgé que $y$", $x = y$, "$x$ coupe les cheveux de $y$", $x$ appartient à $y$ etc.

Cette idée de vouloir charger à tout prix les symboles généraux avec du sens (forcément spécifique donc affaiblissant la portée des résultats)/des problématiques émotionnelles là où il n'y en avait aucune a priori n'aide personne. Ce sujet - l'argument diagonal - utile en soi ne méritait pas 5 pages de drame...

raoul.S

Sneg a dit : 
Il se fait que j'envisage un cadre mathématique où : 
1) figure en bonne place le postulat P selon lequel il n'existe pas d'ensemble infini "plus grand" que $\mathbb{N}$ (c'est-à-dire d'ensemble infini qui ne puisse être mis en bijection avec $\mathbb{N}$),

Généralement il est raisonnable de considérer que "l'ensemble des parties" d'un ensemble est également un ensemble. Toi dans ton éventuel système axiomatique tu ne pourrais pas considérer l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ à cause de ton axiome $P$.

Math Coss

Si on accepte les parties de $\N$, on n'est pas loin d'accepter tous les réels – hérésie d'après la Réforme !

Sneg

@Foys, merci d'intervenir, mais plus personne ici ne conteste l'argument diagonal.

@Dom, ton interprétation des fait t'appartient, mais sache que je ne suis pas du tout d'accord avec toi.
Quand j'ai découvert le caractère non dénombrable de $\mathbb{R}$, et l'argument diagonal qui va avec (bien que ce ne soit pas la seule démonstration), je n'ai pas pu m'empêcher de me demander comment pareil résultat était possible.
Neuman aurait dit : "On ne comprend pas les mathématiques, on s'y habitue". Ce n'est pas comme ça que je fonctionne. Il faut que je comprenne.
Et pour comprendre, j'ai d'abord porté mon attention sur l'argument diagonal. Mais, fausse piste, cela n'a pas éclairé ma lanterne.
C'est alors que j'ai remarqué l'existence dans $\mathbb{R}$ de nombres "bizarres" que j'avais appelés, faute de mieux, "les nombres réels non parfaitement déterminés". Il s'avère que ce ne sont autres que les nombres réels non calculables.
Et là, j'ai découvert ce que je cherchais : Ce sont ces nombres bizarres - et rien d'autre - qui rendent $\mathbb{R}$ non dénombrable.
Cette découverte, j'ai dû la faire par moi-même, car personne ici ne me l'aurait soufflée à l'oreille. C'est normal, puisque - je le répète - dans le monde de Cantor on traite les nombres réels non calculables sur un pied d'égalité avec les nombres réels calculables, au point qu'on ne pense même pas à faire de différence entre eux. D'où l'idée que j'ai eue de construire un cadre mathématique différent (voir deux messages à moi au-dessus).

@raoul.S, , le "théorème de Cantor" a été démontré au moyen de ... l'argument diagonal. Et dans cette démonstration, on joue une nouvelle fois avec des "nombres" (des suites de 1 et de 0) qui s'apparentent à des nombres réels non calculables. On en revient toujours à cela.

Foys

Questions pour @Sneg

Soit $f: \N \to \R$ une fonction. Pour tout entier $n$ on pose $e_n:= 1$ si le $n$-ième chiffre après la virgule de $f(n)$ est égal à $0$. Dans tous les autres cas on pose $e_n := 0$ (le zéro-ième chiffre après la virgule d'un réel désigne ici par convention sa partie entière).

1°) Est-ce que $\sum_{k=0}^{+\infty} 10^{-k} e_k$ est un nombre réel ?

2°) Est-ce qu'il existe un entier $m$ tel que $f(m) = \sum_{k=0}^{+\infty} 10^{-k} e_k$ ?

3°) Que veut-dire "$\R$ est dénombrable" ? Est-ce que ça veut dire qu'il existe une fonction comme ci-dessus telle que pour tout $x\in  \R$, il existe $m\in \N$ tel que $f(m) = x$ ? Est-ce que ça veut dire autre chose ?

4°) Les questions précédente sont-telles compréhensibles ?

Dom

« Ce sont ces nombres bizarres - et rien d'autre - qui rendent R non dénombrable »
C’est un avis, ou une vérité universelle ?

Les irrationnels sont déjà indénombrables. « Point ! ». Tu peux choisir d’en enlever en nombre dénombrable, oui. On peut même enlever tous les non calculables qui contiennent des zéros. Etc.

Sneg

@Foys, autorise-moi à répondre à tes questions par une autre question qui pourrait tout simplifier.
Soit S une suite infinie de chiffres 1 et 0 que tu serais incapable de faire connaître à qui que ce soit au moyen d’une quantité finie de symboles (symboles dont la signification serait connue de ton ou ta destinataire).
considères-tu S comme un nombre réel ?

@Dom,
l’ensemble des réels, ensemble constitué des nombres réels calculables et des nombres réels non calculables, est non dénombrable.
Or, l’ensemble des nombres réels calculables est dénombrable.
Donc, c’est l’ensemble des nombres réels non calculables qui est non dénombrable.
J’ai peine à croire que je doive expliquer cela sur un forum de mathématiques.

Foys

@Sneg oui, une suite infinie de 0 et de 1 et un nombre réel c'est aux notations près la même chose.
Le fait de pouvoir connaître ces chiffres ou non est une question indépendante de ça.

Dom

Avec tant d’arrogance, crois-tu que c’est mieux ?

« l’ensemble des réels, ensemble constitué des nombres réels décimaux et des nombres réels non décimaux, est non dénombrable.
Or, l’ensemble des nombres réels décimaux est dénombrable.
Donc, c’est l’ensemble des nombres réels non décimaux qui est non dénombrable.
J’ai peine à croire que je doive expliquer cela sur un forum de mathématiques. »

Vois-tu que tes discours ne disent rien. Tu es fasciné par les réels calculables et non calculables. Grand bien t’en fasse. Mais tu vois bien qu’en remplaçant par la simple notion de « décimaux », ton discours reste vrai donc ne caractérise rien. 

Tu peux aussi essayer avec « rationnels ».

Je fais mienne ta conclusion surtout quand on voit avec quel prétention elle est déclarée. C’est presque drôle. « J’ai peine à croire que je doive expliquer cela sur un forum de mathématiques. »

gerard0

"J’ai peine à croire que je doive expliquer cela sur un forum de mathématiques. "

Je suis peiné de lire que tu n'as pas compris ce que disais Dom. Qui critiquait ta phrase « Ce sont ces nombres bizarres - et rien d'autre - qui rendent R non dénombrable » qui n'a pas de sens. Encore une fois, tu remplaces une réflexion sérieuse sur les mathématiques par des phrases creuses. Inutile de prendre les autres pour des idiots (ce que tu viens de faire), tu n'as pas compris ce qu'il écrit. Car ce ne sont pas des nombres particuliers qui "rendent R non dénombrable", il est non dénombrable. Enlever les calculables va donner un autre ensemble non dénombrable. Mais on aurait pu enlever d'autres sous-ensembles dénombrables, y compris des ensembles qui contiennent strictement l'ensemble des calculables, qui sont beaucoup plus "gros". Ce qui ne change rien à l'affaire, ce n'est plus $\mathbb R$.

Ta question à Foys montre que tu n'as toujours pas compris la démarche mathématique, que tu es encore resté sur la description individuelle des nombres, qui est un tout petit chapitre des mathématiques élémentaires (vu qu'on n'en décrira jamais qu'un nombre fini).

Lirone93

C'est le mot calculable qui te pose problème.
Imagine un algorithme qui génère autant d'entiers entre $\displaystyle 0$ et $9$ que l'on veut. On appelle $d_k$ le kième nombre généré ainsi (aléatoirement).
Pour toi, le nombre $a$, vers lequel tend $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\ 10^{-(k-1)}\ d_{k-1}$ quand $n$ tend vers l'infini, est-il un nombre calculable ou un nombre non-calculable ?

Sneg

@gerard0. La réponse de Foys me satisfait complètement. Je suis entièrement d'accord avec lui, preuve que, comme toujours, tu te trompes sur mon compte.

@Dom et @gerard0, pour l'instant, j'aimerais juste que vous clarifiez votre pensée.
Soient (pardon d'insister) : 
- A, l'ensemble des nombres réels calculables. Il est dénombrable.
- B, l'ensemble des nombres réels non calculables. Il est non dénombrable.
En unissant A et B, on obtient $\mathbb{R}$, qui est non dénombrable.
Et, pour vous, B ne serait pas le seul et unique responsable du caractère non dénombrable de $\mathbb{R}$ ?
C'est ça que vous dites ?

Rescassol

Bonsoir,

On te l'a déjà dit, tu peux remplacer dans ton dernier message le mot "calculable" par le mot "décimal" ou "rationnel" ou encore une foultitude d'autres mots, ça reste vrai. Ce n'est donc pas une particularité de "calculable".

Cordialement,
Rescassol

Dom

Pour ma part, je ne sais pas ce que signifie « un ensemble est responsable du caractère non dénombrable de $\mathbb R$ ».
As-tu lu qu’il n’y a pas que ces ensembles A et B qui conviennent dans les conditions que tu énonces ? J’ai donné des exemples. 

Tu énonces :  

A un ensemble dénombrable 
B un ensemble non dénombrable. 

A union B = $\mathbb R$. 

J’ajoute un exemple en prenant $A=\mathbb N$.

AlainLyon

@Sneg : sauf à en donner une définition par un énoncé de logique, l'infini en acte n'est pas du domaine des mathématiques. Par quel énoncé avec $\forall~\exists~\in~et~ou$ utilises-tu pour définir cette notion?

gerard0

"pour vous, B ne serait pas le seul et unique responsable du caractère non dénombrable de R ?"

Bizarre phrase ! Faut-il un "responsable" ?
S'il te plaît, Sneg, évite de faire intervenir en maths du vocabulaire psycho-juridique. La notion de non-dénombrable est déjà assez compliquée pour qu'on n'en rajoute pas.

NB : Tu peux laisser de côté le message de AlainLyon, qui est coutumier des affirmations fausses.