L’argument diagonal selon Wikipédia

Dom

On ne rencontre pas $\sqrt{-3}$ on rencontre un réel $x$ tel que $x^2=-3$.
On travaille donc dans les réels calculables.

Et ?

On rencontre un truc où $c$ réel vérifie une condition telle que $c$ n’est pas calculable.
Ok on s’arrête.
Et ?

gerard0

On n'appelle pas ça "faire des mathématiques". Seulement "avoir un blocage psychologique".

En plus, quand on fait des maths, on utilise des nombres dont on ne sait rien. Alors avoir maladivement peur de rencontrer des réels non calculables (qui sont quasiment tous les réels) n'est pas raisonnable.

Effectivement, Sneg, tu ne comprends plus rien, puisque tu refuses de penser raisonnablement.

Julia Paule

Ou plutôt, je n'ai pas lu toute la discussion, mais j'ai l'impression que Sneg avec son petit bagage mathématique, essaie de trouver quelque chose en maths que personne n'a trouvé avant elle. 
Mais j'enfonce peut-être une porte ouverte ?

Dom

C’est un peu la même angoisse quand on nous parle d’irrationnel en 6e. On a du mal à « attraper » ces nombres. Et quand on nous dit qu’en plus il sont plus présents que les nombres décimaux, on ne comprend pas bien.

Ensuite, on distingue les algébriques et les transcendants. Nouveau petit gouffre.

J’imagine qu’on peut pousser le bouchon et définir des nombres dans les calculables, encore plus restrictifs mais bien plus présents que ceux qu’on va retirer.  

Comme le dit Gérard, c’est psychologique. 

Et surtout : quand on commence à modéliser un problème posé, on part de « soit $x$ un réel » puis on travaille avec, sans trop savoir s’il est de telle ou telle nature.  

scd

Bonjour Sneg
Ton sujet de prédilection (en tout cas tu y consacre du temps) c'est l'ensemble des réels 
C'est-à-dire l'anneau quotient de l'ensemble des suites de Cauchy d'éléments de Q par l'ensemble des suites d'éléments de Q qui convergent vers zéro mais je n'ai pas l'impression que ton tableau ressemble à ça.

raoul.S

Sneg a dit :

La question mathématique que l'allégorie d'Alice pose est la suivante : 
L'ensemble des nombres réels non calculables existe. Peut-on s'en passer et travailler dans un autre ensemble de nombres, à savoir l'ensemble des nombres calculables ?
Par exemple, si au détour d'un travail (raisonnement, calcul, ...), on rencontre un nombre réel non calculable, on ne bronchera pas, on arrêtera simplement le travail.

@Sneg Tu ne te rends pas compte de ce que tu perds en te restreignant aux nombres réel calculables. Mis à part le fait que mathématiquement (pour les mathématiques modernes basées sur l'axiomatique ZFC je veux dire) ça n'a aucun sens, il faut se rendre compte que ta position implique de renoncer à des théories entières qui sont fondamentales.

Par exemple, en décidant de ne travailler qu'avec les nombres réels calculables, tu dois renoncer à la branche des mathématiques qui s'appelle l'Analyse. En renonçant à cette théorie tu renonces également à une bonne partie (toute ?) de la Physique. La théorie de la relativité d'Einstein tu dois y renoncer aussi donc... en Physique on modélise l'espace (ou l'espace-temps) grâce à l'ensemble $\R$ au cas où tu ne l'as pas remarqué...

scd

Rebonjour Sneg 
 (n'y vois pas de condescendance de ma part stp car de toute façon je suis sorti du kaléïdoscope bleu nuit mais je vous connais)
(procure toi le livre d'Algèbre tome 1 avant car évidemment pour l'anneau quotient il le faut)

Médiat_Suprème

On parle des réels non définissables ?

Alesha

Sneg a dit :

L'ensemble des nombres réels non calculables existe. Peut-on s'en passer et travailler dans un autre ensemble de nombres, à savoir l'ensemble des nombres calculables ?

La réponse est : oui.

Ce que tu cherches est ce qu'on appelle "computable analysis" en anglais ("analyse calculable" en français, mais je suppose que la plupart des références que tu trouveras seront en anglais). Voici deux liens : https://ncatlab.org/nlab/show/computable+analysis et https://ncatlab.org/nlab/show/computable+analysis où tu trouveras quelques références.

Dom

Dans ce fil, on en vient à parler de réels non $\delta$-définissables ($\delta$ est une application arbitraire) et aussi de l’argument diagonal.
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/1379528#Comment_1379528

raoul.S

Le lien d'Alesha est très intéressant, je découvre la physique calculable. Il y a même un bouquin librement téléchargeable : Computability in Analysis and Physics.

Il y a même une notion de fonction réelle calculable.

PS. Ceci-dit je ne pense pas qu'Alice puisse accepter de manipuler des fonctions définies sur $\R$ entier...

Médiat_Suprème

Ce qui est sympa, c'est que pour la fonction réelle définie par $y = x$, on ne peut pas calculer son image pour la plus grande part des réels, et pourtant, on sait qu'en ces points, la dérivée vaut 1.

Sneg

Bonjour
Non, Julia Paule, je n'essaie pas de trouver quelque chose en maths que personne n'aurait trouvé avant moi.
Je m'efforce juste de transcrire en vrai langage mathématique les idées qui peuvent me venir toutes seules à l'esprit.
C'est complètement différent.
C'est exactement ce que j'écrivais déjà à Claude Quitté dans ce message-ci : Hocus Pocus - Page 2 — Les-mathematiques.net

Voilà que Alesha dans son dernier message fait le lien entre, d'une part, "mon idée non-mathématique, mon blocage psychologique, etc." et, d'autre part, les vraies mathématiques.
Un million de mercis à toi, Alesha !

Comme quoi, ça avance sans tourner en rond.

Julia Paule

@Sneg, ah j'ai cru, au vu de ce fil : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2333006/deux-entiers-naturels-toujours-distincts.

Sneg

$\bullet$ Non, @Julia Paule, vraiment pas.  Le fait est qu'il m'arrive de soumettre au forum des hypothèses de mon cru (pour les mettre éventuellement en lien avec la théorie officielle), ce qui est loin de susciter l'enthousiasme. Quoique. Parfois, si. Voir, par exemple, ici : Mystère et boule de gomme — Les-mathematiques.net

$\bullet$ Dans ce fil-ci, il s'est agi de mettre en avant un fait mathématique dont j'avais le pressentiment depuis un an sans cependant pouvoir me faire entendre étant donné que je n'utilisais pas le vocabulaire approprié. Ce fait est le suivant : Dans l'ensemble des nombres réels, les nombres qui ne sont pas dénombrables sont ceux-là mêmes qui ne sont pas non plus calculables. Comme par hasard...
(Dans mon langage naïf, ça donnait : "On ne peut pas mettre en bijection avec $\mathbb{N}$ une infinité de pommes ... présentées sous forme de compote.)

Au sujet de ces nombres réels non calculables : Un peu plus haut dans ce fil, @raoul.S a posté des liens vers des ouvrages concernant la notion de calculabilité, et je l'en remercie encore une fois. Si quelqu'un connaît aussi des articles ou des ouvrages concernant spécifiquement les nombres réels non calculables, merci beaucoup de me les renseigner.

gerard0

"les nombres qui ne sont pas dénombrables sont ceux-là mêmes qui ne sont pas non plus calculables."

Ça ne veut rien dire, dénombrable concerne les ensembles, pas leurs éléments. Et une fois cela rectifié, il ne reste rien. Il existe des ensembles dénombrables de nombres non calculables.

Tu es en train de trafiquer l'histoire. Au départ tu n'avais pas une telle intuition, tu refusais simplement le raisonnement "cantorien", sans autre raison que le refus de faire des maths. Puis, pour maintenir ta position, tu as été obligée de raisonner et on a fini par te dire que tu parlais de ce que les mathématiciens appellent la calculabilité (qui ne concerne pas que les nombres !). Tu t'es jetée sur le mot comme un chien sur un os à ronger, et tu as continué à jouer sur les mots, sans accepter les conséquences logiques, mais seulement pour refuser d'accepter ce que sont les réels. Et tu continues à manipuler les mots sans les avoir vraiment compris (comme ici ton "nombres qui ne sont pas dénombrables".

Pas sérieux !

JLapin

Sneg a dit : : Dans l'ensemble des nombres réels, les nombres qui ne sont pas dénombrables sont ceux-là mêmes qui ne sont pas non plus calculables. Comme par hasard...

Que penses-tu du fait suivant : si $x$ est un nombre non calculable, l'ensemble $\{x+n,n\in \N\}$ est dénombrable et constitué de nombres non calculables.

Sneg

L’ensemble des nombres réels est non dénombrable. 
D’autre part, l’ensemble des nombres réels calculables est dénombrable. 
Est-ce vraiment une erreur d’en conclure que l’ensemble des nombres réels non calculables n’est pas dénombrable ?
Pinaillant sur les mots, gerard0 s’accroche une fois de plus à l’idée que je raconte n’importe quoi.
C’était d’un prévisible. 
Malheureusement.

Dom

Tu as dit en raccourcissant le propos mais sans en modifier le sens : « les nombres non dénombrables sont les nombres non calculables ». 

Et quand on remet du sens (« l’ensemble des nombres » et non « les nombres »), c’est faux. 

« Un nombre dénombrable » ça n’a aucun sens. 

Gérard intervenait sur les maths même s’il est sévère. 

Sneg

Ok, @Dom, j’ai usé d’un malheureux raccourci. Je suis en session d’examens et voulais quand même répondre en vitesse à @Julia Paule. Puis j’ai rajouté du texte pour résumer tout ce fil.
Es-tu en train de dire que le contenu de mon message précédent est faux ?

JLapin

@Sneg
Comment démontres-tu que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable ?

Dom

Non, il n’y a pas d’erreur dans le message précédent. 

Sauf peut-être que tu puisses penser que Gérard pinaille sur les mots dans ce contexte. En maths, le pinaillage a lieu parfois. Mais là ce n’était pas du pinaillage. 

gerard0

"Est-ce vraiment une erreur d’en conclure que l’ensemble des nombres réels non calculables n’est pas dénombrable ?" Non, mais ce n'est pas ce que tu disais ... Je cite : "Ce fait est le suivant : Dans l'ensemble des nombres réels, les nombres qui ne sont pas dénombrables sont ceux-là mêmes qui ne sont pas non plus calculables."

Sur ce genre de question, sauter un mot dans une expression rend la phrase fausse, ça arrive; mais ici, il n'y a même pas ici le moyen de rajouter quelques mots pour que ça ait un sens.

Tant que tu continueras à prendre des raccourcis qui font douter de ta compréhension, ma réaction sera prévisible. On fait des maths, ici.

Sneg

Ok.
À force d’opiniâtreté, j’ai fini par prendre connaissance d’un fait mathématique que je devinais (voir deux messages à moi plus haut).
Par conséquent, je trouve incongru qu’on dise sans arrêt de moi que je « refuse de faire des mathématiques ». Je pense avoir justement fait preuve du contraire.
 J’aimerais tout de même savoir qui parle de ce fait, que j’ai la faiblesse de considérer comme non négligeable, quand il explique la non dénombrabilité de $\mathbb{R}$ à un étudiant.
Merci à vous.

Alesha

Le théorème : "l'ensemble des réels n'est pas dénombrable" (1) peut être énoncé une fois connues la définition de "l'ensemble des réels" et celle de "dénombrable". La remarque que "l'ensemble des nombre réels calculables est dénombrable" (2) ne peut être énoncée que si on connaît la définition de "nombre réel calculable" et, en pratique, les étudiants auxquels on énonce (1) ne connaissent pas cette définition, laquelle est bien moins élémentaire que la définition de "dénombrable"; (2) (contrairement à (1)) est d'ailleurs trivial une fois qu'on connaît la définition de "nombre réel calculable" et n'a pas grand chose à faire avec les nombres réels : en général, l'ensemble des bidules calculables est dénombrable, quel que soit le bidule qu'on considère.

Historiquement, (1) est apparu près de cinquante ans avant la notion de "fonction calculable".

Pour mettre en relief (1), il me semble plus judicieux de faire remarquer que l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable, ce qui montre que ce n'est pas parce que $\mathbb{R}$ contient strictement $\mathbb{N}$ que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable, plutôt que d'essayer d'introduire la notion de "réel calculable", ce qui exigerait un cours à part entière.

Dom

Plus naïvement, la notion « calculable » n’a rien à voir avec la notion « dénombrable ». C’est autre chose. Comment peut-on le dire sans te froisser ?
DONC quand on débute, ça n’est pas du tout utile d’évoquer ces réels là.
Après chacun a ses petits fantasmes et a envie ou non de les suggérer.  

Médiat_Suprème

Vous voulez-faire des mathématiques, répondez aux questions suivantes :
 On suppose qu'il existe une bijection $\varphi : \mathbb N \to [0, 1[$.
 Soit $\displaystyle x = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{\mod(\lfloor \varphi(i) 10^{i+1}\rfloor+1, 10)}{10^{i+1}}$

1. Est-ce que $x$ existe ?
2. Est-ce que $x$ est un réel ?
3. Est-ce que $x\in [0, 1[$ ?
4. Est-ce que $x \in \operatorname{Im}(\varphi)$

gerard0

"j’ai fini par prendre connaissance d’un fait mathématique que je devinais" Non ! Tu ne devinais rien, tu étais partie sur un refus de l'argument Cantorien qui n'a rien à voir avec la constructivité des nombres, tu cherchais à avoir raison en maths sur les générations de matheux qui ont étudié consciencieusement le sujet. On a fini par te dire que ce genre de réflexion hors maths pouvait se traduire par une notion connue des mathématiciens depuis plus de 80 ans, qui ne pose aucun problème (sauf à toi), et que tu continues à manipuler sans savoir. Depuis, tu utilises le mot comme une arme dialectique, tu fais de la rhétorique, et tu continues, faute de compréhension du mot à écrire des phrases sans signification.

Faire des mathématiques, ce n'est pas baratiner avec les mots des maths. Mais tu vas me démontrer que tu en fais, en rédigeant une réponse mathématique à l'exercice de Médiat, de niveau L1. Au besoin, on pourra décoder les notations.

Dom

Au départ, c’était « les pointillés » qui posaient problème alors que c’était juste un abus d’écriture mais que tout était formel. 

Sneg

$\bullet$ La vérité, pas celle qu'interprète mal gerard0, la voici.
Lorsque j'ai pris connaissance de la non dénombrabilité de $\mathbb{R}$, je n'ai pas pu m'empêcher de me demander comment c'était possible qu'un ensemble d'éléments "parfaitement déterminés" soit non dénombrable (j'utilise entre guillemets mon vocabulaire de l'époque). 
Après réflexion et, en effet, un questionnement sur le raisonnement cantorien, il m'est apparu qu'il y avait dans $\mathbb{R}$ des éléments "non parfaitement déterminés" (toujours selon mon vocabulaire).
Mais mon idée et mon vocabulaire n'ont plu à personne sur ce forum. Je rappelle, si besoin est, qu'un jour j'ai écopé de 24 heures de bannissement pour avoir osé rouvrir un fil à moi que la modération avait décidé de fermer au motif que "tout a été dit et redit. Il est temps d'arrêter de tourner en rond".
Eh bien, non, tout n'avait pas été dit. Au final, que cela plaise ou pas, mes "nombres parfaitement déterminés" coïncident avec les nombres réels calculables et mes "nombres non parfaitement déterminés" coïncident avec les nombres réels non calculables. Ce sont bien ces derniers qui rendent $\mathbb{R}$ non dénombrable.
J'ai donc réussi à mettre mon idée en correspondance avec la théorie , ... ce qui a le don d'agacer souverainement gerard0 qui dépense son énergie à me faire passer pour un troll sur ce forum. Et il continuera, à n'en pas douter... 

$\bullet$ Pour ce qui est des questions que me posent, sans doute pour me mettre à l'épreuve, Médiat_suprème et gérard0 (encore et toujours lui), je répondrai simplement que je n'ai rien à prouver à personne et que, pardonnez mon égoïsme, je ne cherche des réponses qu'aux questions que je me pose moi-même.

$\bullet$ Une fois encore, si quelqu'un peut m'orienter vers des ouvrages ou des articles concernant spécifiquement les nombres réels non calculables, je l'en remercie à l'avance.
Merci à tous.

[Utilisateur supprimé]

Oui à tout ou il y a un piège ?
Edit pour pas faire de bruit. À Math Coss et raoul.S : exact !

raoul.S

La 4 c'est non vu qu'on reconnait l'argument diagonal...

Math Coss

Si c'est aux questions de @Médiat_Suprème que tu réponds, ce serait surprenant que $x$ soit dans l'image de $\varphi$ !

Bibix

Moi je suis d'accord avec turboLanding. S'il existe une bijection $\varphi : \N \to [0,1[$, alors $x \in [0,1[ = {\rm Im}(\varphi)$ .

[Utilisateur supprimé]

Et avec 
$\displaystyle x = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{\mod(\lfloor \varphi(i) 10^{i+1}\rfloor, 10)}{10^{i+1}}$ ?

---

Médiat_Suprème

Je ne vous pose pas ces questions pour vous mettre à l'épreuve, mais pour vous faire comprendre "des choses", en 4 questions simples, voire simplissimes, vous terrassez vos démons.
Je serais intéressé de connaître les raisons de votre rhétorique, pour ne pas y répondre, car ce sont les méthodes habituelles des trolls.

[Utilisateur supprimé]

Annulé.

raoul.S

@Sneg à toutes fins utiles, voici l'article fondateur de Turing en personne (daté 1936)

PS. ceci dit il semble compliqué de trouver des documents qui ne parlent que des nombres réels calculables sans traiter la notion générale de calculabilité.

Math Coss

Tu ne fournis pas le papier et les ciseaux ?

Alesha

Bonjour Sneg,

Sneg a dit :
$\bullet$ Une fois encore, si quelqu'un peut m'orienter vers des ouvrages ou des articles concernant spécifiquement les nombres réels non calculables, je l'en remercie à l'avance.

Voici un article susceptible de t'intéresser : https://www.cs.auckland.ac.nz/~cristian/delahaye.pdf

gerard0

Encore une fois, il y a détournement de sens. Les nombres "parfaitement déterminés" de Sneg ne sont pas les calculables. Ce sont (c'était ?) des nombres dont on connait parfaitement toutes les décimales. Plus quelques nombres classiques ($e, \pi$) dont elle admettait l'usage parce que ce sont des nombres "habituels" en maths; même si on n'en connaît pas "parfaitement toutes les décimales".

Effectivement, Sneg "n'a[i] rien à prouver à personne", d'ailleurs, elle en serait bien incapable ; et puisqu'elle dit "je ne cherche des réponses qu'aux questions que je me pose moi-même", on va continuer à lui dire que ses questions sont idiotes. Pour ma part, quand je veux poser des questions sur le football, je parle football ; quand je veux des réponses en maths, je parle maths. Sneg s'obstine à ne pas apprendre à parler maths (ce qui nécessite d'apprendre, et de traiter des questions de maths).

Rappel : Sneg n'est pas un troll, seulement quelqu'un qui veut des réponses à des questions personnelles qui disparaissent quand on fait des maths raisonnablement.

Dom

Je suis assez d’accord que le « parfaitement déterminé » ne désigne pas a priori les calculables. 

Je rappelle encore cette histoire de pointillés qui n’était qu’une manière commode d’écrire les choses mais pas du tout ambigu (pour une fois, les pointillés n’en étaient pas, si l’on peut dire).

Ce n’est aucunement une honte d’ailleurs. Pourquoi se raccrocher aux branches.

Je n’attaque pas, je m’interroge. 

Sneg

$\bullet$ Non, @Dom , je n'essaie pas de me raccrocher aux branches. Qu'est-ce que j'aurais de plus ? Je ne connais personne sur ce forum. Ce serait de l'orgueil mal placé. Il y a seulement que je n'apprécie pas que l'on déforme les faits pour me discréditer.
Justement, parlons de faits.
Dans ma petite nouvelle intitulée "Quelque chose de vieux, de neuf, d'emprunté et de bleu", j'ai fait dire à Alice à propos du nombre suivant, agrémenté effectivement des pointillés à la fin
$$0,120525022608850526108755271091141903920510119457150128 \cdots$$
ceci : 
" Peut-être ce nombre est-il l'expression, sous forme d'un commencement de développement décimal illimité, d'un nombre que je pourrais considérer comme parfaitement déterminé, comme par exemple "la racine septième d'une certaine fraction". Mais sans information complémentaire, comment puis-je le deviner ? "

L'air de rien, tout est dit dans ce petit passage : 
- S'il y a un algorithme (dans l'exemple donné : la racine septième d'une fraction), il y a un "nombre parfaitement déterminé".
- S'il n'y a pas d'algorithme, il n'y a pas de "nombre parfaitement déterminé". Autrement dit, il y a un "nombre non parfaitement déterminé".
D'où, la correspondance : 
"Nombre parfaitement déterminé" = Nombre réel calculable (présence d'un algorithme).
"Nombre non parfaitement déterminé" = Nombre réel non calculable (absence d'algorithme).
(Les termes entre guillemets appartiennent à mon vocabulaire.)

Cela dit, je sais à l'avance que ceux qui me critiquent continuellement sur ce forum continueront de le faire, car il y a tout simplement incommunicabilité entre les mathématiciens (surtout ceux qui ne veulent pas m'écouter) et moi. J'en ai parlé ici : Hocus Pocus - Page 2 — Les-mathematiques.net
Heureusement, certains des sujets que j'ai abordés avec mon vocabulaire à moi étaient bien connus de Claude Quitté (qu'on ne doit plus présenter), lequel a tout de suite compris de quoi je parlais, allant même parfois jusqu'à me féliciter 
par exemple ici : Mystère et boule de gomme — Les-mathematiques.net
ou ici : Hocus Pocus — Les-mathematiques.net
d'avoir deviné ou redécouvert, toute seule dans mon coin, tel ou tel élément de théorie connu des seuls spécialistes en la matière (en l'occurrence, Rosales & Garcia-Sanchez à propos des semigroupes numériques minimalement 3-engendrés).
En outre, avant son départ du forum, Claude Quitté avait émis le souhait de me faire découvrir quelques points de théorie censés m'intéresser.
Tout ce dernier paragraphe pour dire que : 
- d'une part, je ne vois pas là, @Médiat_Suprème , l'attitude d'un mathématicien professionnel face à un troll. Il y a juste que Claude Quitté était en mesure de "terrasser mes démons" (selon votre expression) en m'aidant à traduire mes idées en vrai langage mathématique. On en revient toujours là.
- d'autre part, si les idées que j'ai et les questions que je me pose ne sont pas d'ordre mathématique comme le prétend sans arrêt gerard0, Claude Quitté ne s'y serait certainement pas intéressé au point d'aller jusqu'à y répondre (voir le fil "Mystère et boule de gomme" et voir aussi Rosales & Garcia-Sanchez — Les-mathematiques.net ).

Bref, Dom, ce sont d'autres que moi ici qui essayent désespérément de se raccrocher aux branches. C'est sûrement plus rassurant pour eux de penser qu'il est totalement inconcevable que cette nullité de Sneg ait pu subodorer l'existence des nombres réels calculables d'Alan Turing.

$\bullet$ Merci à tous ceux qui m'ont posté des liens vers des articles susceptibles de m'intéresser. C'est très gentil. Si vous en trouvez encore d'autres, n'hésitez pas à les poster aussi.
Attention, @raoul.S ! Ce qui m'intéresse au plus haut point maintenant, ce sont les nombres réels $\underline{\text{non}}$ calculables. Je ne suis pas Alice

Médiat_Suprème

Que vous me déniez le titre de mathématicien professionnel est un honneur, l'invective venant de quelqu'un qui refuse de répondre à des questions purement mathématiques, certaines de niveau terminal, les autres de niveau L1 ; vous refusez d'essayer de comprendre les questions que vous posez, après tout c'est triste, mais c'est votre problème !

JLapin

@Sneg
Tu passais quand même une bonne partie de tes messages à dénigrer l'argument diagonal qui permet de démontrer que l'ensemble des réels n'est pas en bijection avec $\N$. Qu'en penses-tu actuellement ?

raoul.S

@Sneg je te signale quand même qu'au début tu remettais en question la rigueur de l'argument diagonal de Cantor, est-ce que c'est toujours le cas ? Car si oui alors on n'a pas beaucoup avancé.

Une remarque importante : ce n'est pas parce qu'un réel n'est pas calculable qu'un mathématicien va s'interdire de parler des décimales de ce réel dans une démonstration mathématique. Les réels, calculables ou non, sont parfaitement définis mathématiquement.

PS. concernant la calculabilité, un message que j'avais posté il y a plus d'un an...

Médiat_Suprème

@raoul.S : il y a beaucoup plus (non dénombrables) de réels non définissables que de réels définissables (dénombrables)

Bibix

Une autre remarque importante : il existe des nombres réels non calculable qu'on peut approcher aussi près que l'on veut avec un algorithme. Par contre, on ne peut pas connaitre en un temps fini l'étape à partir de laquelle on peut s'arrêter pour obtenir $n$ décimales justes (ce temps d'arrêt est fini mais non borné). C'est vérifié par les limites de suites de Specker.

Dom

OUI !
et c’était déjà du hors sujet. 

L’écriture en pointillés était mal interprétée de ta part. 

Elle était « parfaitement déterminée », elle n’utilisait pas de chiffes mais des lettres indicées.
0,$x_1x_2x_3\dots$

Cela n’a RIEN À VOIR. 

raoul.S

@Médiat_Suprème, je n'utilise pas le terme "défini" dans ce sens. Je sous-entendais que l'on peut définir l'ensemble des réel via les suites de Cauchy ou les coupures de Dedekind, bref dans le cadre de ZFC l'ensemble des réels est parfaitement défini...