L’argument diagonal selon Wikipédia
[Soupirs. Et on recommence ? AD]
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2277624/vers-l-infini-et-au-dela
Ma réponse à la remarque de @AD se trouve ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2420471/#Comment_2420471
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2277624/vers-l-infini-et-au-dela
Ma réponse à la remarque de @AD se trouve ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2420471/#Comment_2420471
Bonjour
Sur la page Wikipédia consacrée à l’argument diagonal, au chapitre intitulé « Calculabilité », on peut lire :
« Le raisonnement diagonal donné pour les réels reste bien également constructif. Supposons qu’une suite $(r_i)$ de réels entre $0$ et $1$ nous soit donnée effectivement par des développements décimaux : on dispose d’un algorithme qui peut calculer, étant donné deux entiers $i$ et $n$, la $n$-ième décimale d’un même développement de $r_i$. Etc. »Sur la page Wikipédia consacrée à l’argument diagonal, au chapitre intitulé « Calculabilité », on peut lire :
Mais, à ce que je sache, ce texte est en désaccord avec la notion de « nombre réel non calculable » découlant de la notion de « nombre réel calculable » mise en place par Alan Turing en 1936. (Voir par exemple : Wikipédia, « Nombre réel calculable ».)
En effet, dans le premier texte cité, il semble exister un algorithme qui peut calculer la $n$-ième décimale de tout réel, alors que du second texte on tire qu’il existe des réels pour lesquels il n’existe pas d’algorithme capable d’en calculer la $n$-ième décimale (ce sont les réels non calculables).
Que penser de ce désaccord ?
Merci d’avance.
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Réponses
> dans le premier texte cité, il semble exister un algorithme qui peut calculer la $n-ième$
> décimale de tout réel ...
Faux:
> Supposons qu’une suite $(r_i)$ de réels entre $0$ et $1$ nous soit donnée effectivement
> par des développements décimaux ...
Si la suite est donnée, ce n'est pas n'importe quel réel.
Cordialement,
Rescassol
J'ai bien essayé de penser comme vous, mais le premier texte cité (Wikipédia, L'argument diagonal, Calculabilité) se poursuit comme ceci :
"Alors le procédé diagonal permet bien de calculer un réel n'appartenant pas à cette suite."
A tort ou à raison (?), j'en déduis que cette suite (de réels calculables, selon vous Rescassol et gerard0) n'est pas dénombrable.
Or le second texte cité (Wikipédia, Les nombres réels calculables) dit que les nombres réels calculables sont dénombrables.
Le désaccord subsiste.
Je vois que GaBuZoMeu a aussi répondu. Merci à lui.
Si je comprends bien, l'algorithme à mettre en place consiste à faire appel à un oracle, un devin, quelqu'un qui sait ce que personne ne sait. C'est ça ?
Encore merci d'avance.
Cordialement.
Je reviens sur l'algorithme (?) à utiliser pour énumérer les réels dans l'argument diagonal. Cet "oracle" dont parle GaBuZoMeu aurait-il quelque chose à voir avec le concept d'infini actuel ?
Je comprends évidemment l'idée de GaBuZoMeu : Cantor n'a besoin de connaître que la $n$-ième décimale du $n$-ième nombre de la fameuse liste de l'argument diagonal pour construire un nombre réel n'appartenant pas à cette liste. Il n'est pas question ici de me noyer dans un verre d'eau, Foys.
Dans plusieurs fils consacrés à l'argument diagonal, je n'ai pas arrêté d'employer l'expression "nombres non parfaitement déterminés", sans toutefois parvenir à me faire comprendre. Mais, à force d'insister, j'ai fini par y arriver : Mes "nombres non parfaitement déterminés" ne sont autres que les "nombres réels non calculables" d'Alan Turing. Cette confirmation de mon intuition me force à reprendre tout depuis le début. Alors, pardon d'avance pour les éventuelles redites.
Sinon, pour le lecteur de passage qui serait troublé, il faudrait commencer par "calculer" la liste initiale
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si je ne me trompe pas, pour calculer le nombre non calculable (!) dont tu parles dans ton dernier message, il faut commencer par dresser la liste des nombres calculables (ce que semble bien confirmer @Médiat_Suprème, que je salue également), c’est-à-dire recourir à l’infini en acte, non ? C’est ma méthode. On n’en sort pas.
GaBuZoMeu semble avoir une autre idée...
Telle est la question.
Soit $P$ la phrase « si les poules ont des dents, on met Paris en bouteille ». Tu dis « mais où sont les dents d’une poule qui n’a pas de dents ? ». C’est hors-sujet.
GBZM l’a dit tout au début : l’algorithme de Cantor associe, à toute suite de développements décimaux, un développement décimal pas dans la suite.
EDIT : je précise. Cantor propose une méthode pour transformer une pierre philosophale en lampe d’Aladdin. Et toi tu dis que les pierres philosophales n’existent pas. Tout le monde est d’accord, mais c’est hors sujet.
Dans l'argument diagonal on suppose que l'ensemble des nombres réel est dénombrable et on veut aboutir à une contradiction. En supposant que les réels sont dénombrables, tu supposes que tu as accès "gratuitement" à cette fameuse liste de tous les nombres réels avec leurs décimales. Il n'y a pas besoin d'algorithme ici pour savoir si on peut calculer les décimales des réels.
@raoul.S, cet accès gratuit à tous les réels avec leurs décimales dont tu parles, c’est ce que j’appelle « l’infini en acte », c’est-à-dire ce pouvoir de maîtriser l’infini qui, sans ce pouvoir, n’est pas maîtrisable. Non ?
De même lorsqu'en math on dit : soit $x$ un nombre réel, on a accès à toutes les décimales de $x$ pour mener à bien une démonstration. On ne va pas se demander s'il existe un algorithme qui calcule les décimales de $x$ pour pouvoir s'autoriser à utiliser $x$.
ATTENTION : ceci ne veut pas dire que les questions que tu te poses concernant l'existence d'algorithmes ne sont pas intéressantes, mais dans ce contexte elles n'ont rien à voir.
Afin que ce soit clair dans mon esprit : avoir accès à l’infinité des décimales de l’ensemble infini des réels (calculables ou non) relève-t-il de l’infini actuel ?
Merci d’avance.
Relis aussi les messages des intervenants ci-dessus (on dit tous grosso modo la même chose...)
Voilà.
Quelqu'un peut-il me sauver de la noyade ?
@GaBuZoMeu et @raoul.S, nous ne sommes manifestement pas synchrones. Je résume la situation :
$\bullet$ J'espère que vous me comprenez quand je vous dis que je crée un tableau $T$ s'étendant à l'infini vers la droite (pour les décimales) et vers le bas (pour les réels appartenant à l'intervalle $[0, 1[$).
$\bullet$ Que l'élaboration de ce tableau repose sur un algorithme ou sur une intervention divine importe peu. Tout ce qui importe, c'est que j'aie la conviction de pouvoir embrasser dans ce tableau l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$ (et non pas que je puisse ou pas mettre cet intervalle en bijection avec $\mathbb{N}$ ! Ici, j'ai mis un point d'exclamation parce que cette remarque est d'importance).
$\bullet$ Un raisonnement $\textbf{comparable}$ à l'argument diagonal (ce n'est pas l'argument diagonal sensu stricto, mais j'imagine que vous pourrez reconstituer facilement ce raisonnement) prouve que ce tableau $T$ ne me permet pas d'embrasser l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$. Donc, je me résous sagement à ne plus jamais utiliser ce tableau pour représenter l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$, et cela notamment dans le raisonnement appelé "argument diagonal".
Quant à vous, vous continuez malgré tout à utiliser ce tableau ?
(Vu que GaBuZoMeu traite mes propos de "calembredaines", je crains de deviner la réponse.)
Malgré ton point d'exclamation, créer un tel tableau et poser une bijection de $\N$ dans $[0,1[$, c'est vraiment pareil.
Mais tu ne comprends pas que l'argument avec le tableau c'est l'argument diagonal !!! Il n'est pas comparable, c'est lui.
En base 10 pour les unités:
0; 1
Pour les dixièmes:
0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9
Pour les centièmes:
0.11; 0.12; 0.13; ...; 0.21; 0.22; 0.23; ...; 0.91; 0.92; 0.93; ...
Et ainsi de suite.
Je vois le contre argument venir.
Oui mais tu utilise l’écriture décimale, Cantor lui parle de nombres réels.
Et Cantor que fait-il?
Il met trois petits points derrière une écriture décimale et proclame qu'il s'agit de nombres réels.
PS: Je cherche pas la guerre, j'expose juste mon point de vue.
« Tout ce qui importe, c'est que j'aie la conviction de pouvoir embrasser dans ce tableau l'infinité de l'intervalle des réels [0,1[ ».
C’est tout.
Exactement, Dom, comme on disait autrefois, Y a pas à tortiller du ...
Cordialement,
Rescassol
On peut rédiger la preuve de Cantor sans recours aux pointillés.
On suppose qu'il existe une bijection $\varphi : \mathbb N \to [0, 1[$.
Soit $\displaystyle x = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{\mod(\lfloor \varphi(i) 10^{i+1}\rfloor+1, 10)}{10^{i+1}}$
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si vous le voulez bien, revenons au thème initial de ce fil, dont j’ai eu tendance à m'éloigner.
$\bullet$ Il existe des nombres réels calculables et des nombres réels non calculables.
$\bullet$ L’ensemble des nombres réels calculables est dénombrable, tandis que l’ensemble des nombres réels non calculables est non dénombrable.
Par définition, les nombres réels calculables peuvent être représentés au moyen d’une quantité finie de symboles. Donc, pas besoin de faire intervenir l’infini en acte pour représenter un nombre réel calculable.
En revanche, considérer que l’on connaît l’infinité des décimales d’un nombre réel non calculable relève, pour moi, de l’infini en acte.
- d’une part, l’ensemble des nombres réels non calculables est non dénombrable,
- d’autre part, la construction de chacun des éléments de l’ensemble des nombres réels non calculables demande l’intervention de l’infini en acte.
Validez vous ces propos ?
Merci d’avance.