Une belle formule de trigo

gai requin

Soit $p$ un premier impair et $\mathcal O=\Z[2\cos(2\pi/p)]$.
Donner la factorisation de $p\mathcal O$ en produit d'idéaux premiers de $\mathcal O$.

Math Coss

sage: def O(p):
....:     K = CyclotomicField(p)
....:     c = K.gens()[0]+1/K.gens()[0]
....:     f = c.minpoly()
....:     L. = NumberField(f)
....:     return L.order(c)
....: 
sage: p = 2
sage: for _ in range(20):
....:     p = next_prime(p)
....:     print p, O(p).ideal(p).factor()
....:     
3 Fractional ideal (3)
5 (Fractional ideal (-2*c - 1))^2
7 (Fractional ideal (c^2 + 2*c - 1))^3
11 (Fractional ideal (c^4 + c^3 - 3*c^2 - c + 1))^5
13 (Fractional ideal (c^5 - 5*c^3 + 4*c))^6
17 (Fractional ideal (17, c - 2))^8
19 (Fractional ideal (19, c - 2))^9
23 (Fractional ideal (23, c - 2))^11
29 (Fractional ideal (29, c - 2))^14
31 (Fractional ideal (31, c - 2))^15
37 (Fractional ideal (37, c - 2))^18
41 (Fractional ideal (41, c - 2))^20
43 (Fractional ideal (43, c - 2))^21
47 (Fractional ideal (47, c - 2))^23
53 (Fractional ideal (53, c - 2))^26
59 (Fractional ideal (59, c - 2))^29
61 (Fractional ideal (61, c - 2))^30
67 (Fractional ideal (67, c - 2))^33
71 (Fractional ideal (71, c - 2))^35
73 (Fractional ideal (73, c - 2))^36

Cela suggère une conjecture.

Poirot

Une observation relativement élémentaire pour voir que la factorisation a la forme voulue : Je note $L = \mathbb Q(\zeta_p)$ où $\zeta_p$ est une racine primitive $p$-ième de l'unité. Il est connu que $L/\mathbb Q$ est de degré $\varphi(p) = p-1$, que $\mathcal O_L = \mathbb Z[\zeta_p]$ et que $K = \mathbb Q(\cos(2\pi /p))$ est son sous-corps totalement réel maximal, de degré $\frac{p-1}{2}$ sur $\mathbb Q$. On a $p = \prod_{j=1}^{p-1} (1 - \zeta_p^j)$ (valeur en $1$ du polynôme cyclotomique $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1$) où $\zeta_p$ est une racine primitive $p$-ième de l'unité, et comme $\frac{1-\zeta_p^j}{1 - \zeta_p}$ est une unité de $\mathbb Z[\zeta_p]$ pour tout $j \in \{1, \dots, p-1\}$ (à l'aide d'une écriture comme somme géométrique pour cet élément ainsi que son inverse), la factorisation de $p$ en produit d'idéaux premiers dans $\mathcal O_L$ est $p \mathcal O_L = ((1-\zeta_p) \mathcal O_L)^{p-1}$, autrement dit, $p$ est totalement ramifié dans $L$. Cela implique que $p$ est également totalement ramifié dans $K$ (à cause des relations évidentes reliant les degrés de ramification et d'inertie dans des extensions intermédiaires) : on a $p\mathcal O_K = \mathfrak p^{\frac{p-1}{2}}$ pour un certain idéal premier $\mathfrak p$ de $\mathcal O_K$.

Pour trouver $\mathfrak p$, on peut invoquer le théorème de Dedekind.

gai requin

Merci @Math Coss.

Est-ce que O(p) retourne bien l’anneau des entiers de L ? (Je ne connais pas sage)

gai requin

Ok @Poirot, donc il suffit de trouver un idéal premier contenant $p\mathcal O$ avec mes notations.

gai requin

@Poirot : On peut aller plus vite pour voir que $p$ est totalement ramifié dans ton $\mathcal O_L$.
En effet, $\Phi_p(x)=(X-1)^{p-1}$ dans $\mathbb F_p[X]$.
C'est plus compliqué dans $\mathcal O$ parce qu'on ne connaît pas bien le polynôme minimal de $2\cos(2\pi/p)$, mais on en saura un peu plus quand on aura déterminé ton $\mathfrak p$.
Pour cela, je propose d'utiliser une belle formule de trigo !

Math Coss

J'apprends avec délectation que « $\frac{1-\zeta_p^j}{1 - \zeta_p}$ est une unité de $\Z[\zeta_p]$ pour tout $j\in\{1,\dots,p−1\}$ (à l'aide d'une écriture comme somme géométrique pour cet élément ainsi que son inverse) » ! Cela suggère, pour comprendre d'où peut provenir le $(c-2)^{(p-1)/2}$ indiqué par Sage, d'introduire, modulo erreurs diverses, \[\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(\zeta^k+\zeta^{-k}-2)=\prod_{k=1}^{(p-1)/2}2\bigl(\cos\frac{2k\pi}p-1\bigr)=2^{(p-1)/2}\prod_{k=1}^{(p-1)/2}2\sin^2\frac{k\pi}{p}=(-1)^{(p-1)/2}2^{p-1}\prod_{k=1}^{p-1}\sin \frac{k\pi}{p}.\] Je suppose que c'est le membre de gauche de la belle formule de trigo.

gai requin

@Math Coss : Moi, j’ai fait du Poirot en factorisant $\Phi_p$ dans ce que tu appelles $\Z[c]$.

Math Coss

Poirot et toi, vous êtes forts !

gai requin

$$\prod_{k=1}^{\frac{p-1}2}\left(2-2\cos\frac{2k\pi}p\right)=p$$

noix de totos

Notons que l'on peut obtenir le polynôme minimal de $\cos \frac{2 \pi}{n}$, $n \geqslant 3$, via le polynôme cyclotomique $\Phi_n$ de la manière suivante : on écrit d'abord $\Phi_n$ sous la forme
$$\Phi_n = a_{\varphi(n)} \left( X^{\varphi(n)} + 1 \right) + a_{\varphi(n)-1} \left( X^{\varphi(n)-1} + X \right) + \dotsb + a_{\varphi(n)/2} X^{\varphi(n)/2}$$
le polynôme minimal $\phi_n$ de $\cos \frac{2 \pi}{n}$ étant alors donné par
$$\phi_n = 2^{-\varphi(n)/2} \Big( a_{\varphi(n)/2} + 2 \sum_{j=1}^{\frac{1}{2} \varphi(n)} a_{\varphi(n)/2 + j} \, T_j(X) \Big),$$

où $T_j$ est le $j$-ème polynôme de Chebyshev.

Par exemple avec $n=9$, on a $\Phi_9 = \left( X^6 + 1 \right) + X^3$, ce qui donne sauf erreur $\phi_9 = X^3 - \frac{3}{4} X + \frac{1}{8}$.

gai requin

Merci @noix de totos .
Cette formule de trigo montre que $N(2-2\cos(2\pi/p))=p$ donc $(2-2\cos(2\pi/p))\mathcal O$ est un idéal premier contenant $p$.
D'où $p\mathcal O=\big((2-2\cos(2\pi/p))\mathcal O\big)^{\frac{p-1}2}$.
En particulier, si $C_p$ (hommage @Math Coss qui est très très fort) désigne le polynôme minimal de $2\cos(2\pi/p)$ sur $\mathbb Q$, on a $C_p=(X-2)^{\frac{p-1}2}$ dans $\mathbb F_p[X]$ (une règle de $p$) !
Exemple : $C_7=X^3+X^2-2X-1=(X-2)^3$ dans $\mathbb F_7[X]$.

Area 51

Ce qui est marrant, c'est que cette formule $\displaystyle 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = n$ s'étend à tout $n \in \mathbb{N}^*$.