Espace compact et espace séquentiellement compact
Salut.
Il avéré que ces deux notions (espace compact et espace séquentiellement compact) coïncident pour les espaces métriques.
compact $\Leftrightarrow$ séquentiellement compact.
Je sais que cette équivalence n'est pas valide pour un espace topologique, il existe un célèbre contre-exemple pour l'implication au sens direct. Mais quel est le problème avec la méthode de preuve suivante ?
Il avéré que ces deux notions (espace compact et espace séquentiellement compact) coïncident pour les espaces métriques.
compact $\Leftrightarrow$ séquentiellement compact.
Je sais que cette équivalence n'est pas valide pour un espace topologique, il existe un célèbre contre-exemple pour l'implication au sens direct. Mais quel est le problème avec la méthode de preuve suivante ?
Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de $X$. Si la suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs, alors on peut clairement extraire une sous-suite convergente. Dans le cas contraire, supposons, par l'absurde qu'elle ne possède aucune valeur d'adhérence. Alors pour tout $x \in X$, il existe un voisinage de $x$, $ V_x$ tel que $V_x$ ne contient qu'un nombre fini d'éléments de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
L'existence du voisinage implique l'existence d'un ouvert $O_x$ (de la définition du voisinage). tel que $O_x$ ne contient qu'un nombre fini d'éléments de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$
On obtient alors un recouvrement ouvert du compact $X$ $$ X=\bigcup_{x\in X}O_x ,$$ dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $$ X=\bigcup_{i\in I}O_{xi }.$$
Comme chaque ouvert ne contient qu'un nombre fini d'éléments de la suite, alors $X$ également ce qui est absurde.
Alors $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ possède au moins une valeur adhérente.
L'existence du voisinage implique l'existence d'un ouvert $O_x$ (de la définition du voisinage). tel que $O_x$ ne contient qu'un nombre fini d'éléments de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$
On obtient alors un recouvrement ouvert du compact $X$ $$ X=\bigcup_{x\in X}O_x ,$$ dont on peut extraire un sous-recouvrement fini $$ X=\bigcup_{i\in I}O_{xi }.$$
Comme chaque ouvert ne contient qu'un nombre fini d'éléments de la suite, alors $X$ également ce qui est absurde.
Alors $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ possède au moins une valeur adhérente.
L'idée de preuve a été tirée de la preuve d'équivalence dans un cas d'espace métrique.
Cette preuve est-elle vraie pour l'espace métrique et non pour l'espace topologique ?
Une dernière question : ce résultat est-il valable pour un espace b-métrique ?
Un espace séquentiellement compact est un espace qui vérifiée la propriété du Bolzano-Weierstrass.
Cette preuve est-elle vraie pour l'espace métrique et non pour l'espace topologique ?
Une dernière question : ce résultat est-il valable pour un espace b-métrique ?
Un espace séquentiellement compact est un espace qui vérifiée la propriété du Bolzano-Weierstrass.
[Karl Weierstrass (1815-1897) mérite sa majuscule et le respect de son patronyme. AD]
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Réponses
Cependant, il faut être vigilant dans le cadre non-métrique (et plus généralement quand $X$ n'est pas à bases dénombrables de voisinages). Une suite peut avoir une valeur d'adhérence mais ne pas posséder de sous-suite convergente (donc si tu prends comme énoncé de Bolzano-Weierstrass « toute suite possède une sous-suite convergente » l'implication $\Rightarrow$ est fausse en règle générale).
Par exemple, dans l'espace compact $\mathbf 2^{\mathbf 2^\mathbb N}$ où $\mathbf 2 = \{0,1\}$, la suite $(\pi_n)_{n\in\mathbb N}$ des projections $\pi_n : \mathbf 2^\mathbb N \to \mathbf 2 ~;~x\mapsto x_n$ ne possède pas de sous-suite convergente. En effet, pour toute extractrice $\varphi$, on peut définir un élément $x \in \mathbf 2^\mathbb N$ par $x_{\varphi(2k)} = 1$ et $0$ sinon, et alors $\pi_{\varphi(k)}(x)$ alterne entre $0$ et $1$ donc ne converge pas (ainsi la suite des $\pi_{\varphi(k)}$ ne converge pas simplement).
"De tout suite on peut extraire une sous-suite convergente" (propreté de Bolzano-Weirestrass)
et de
"Tout suite admet au moins une valeur adhérente"
Sont-ils équivalents dans l'espace métrique ?
L'implication directe est-elle vraie pour tout espace topologique ?