Propriété des fonctionnelles caractéristiques

igrec27

Bonjour
Dans ce lien sur les fonctionnelles caractéristiques, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Characteristic_functional

on cite celle d'être définies positives.
Comment établir ce point ?
Merci.

igrec27

Il semble que ceci a été établi par Bochner.

igrec27

Y a-t-il une preuve en francais de ce théorème ?

Thierry Poma

igrec27 : bonsoir. As-tu remarqué les références ? Je t'ai entouré celle que je possède, étant franchement passionné par le fameux théorème de Paul Lévy. Je n'ai pas le temps de m'y pencher, mais j'espère que la démonstration y est enfin complète, i.e. que l'auteur ne fasse pas référence à un théorème qu'il ne démontre pas.

J'espère que quelqu'un pourra mieux te répondre.

igrec27

Merci,
Ce livre ne semble pas accessible en accès libre 
En revanche wikipédia a un article sur le théoreme de Bochner.
https://en.wikipedia.org/wiki/Bochner's_theorem
on y établit la  positivité des fonctionnelles caractéristiques dans la réciproque (on the other hand)
f(g) est la valeur de Ug dans un état v mais pourquoi déduit on la positivité?

Thierry Poma

@igrec27 : voici ce que l'on peut trouver dans le livre de André Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, deuxième édition, aux éditions Hermann :

Serait-ce ce que tu cherches ?

Thierry Poma

Voici le théorème et un extrait de la démo du théorème dont l'auteur se sert dans ledit livre :

igrec27

Merci beaucoup,
Je vais lire ca attentivement.

igrec27

L'exponentielle exp(itx) est elle encore définie positive si on la multiplie par la fonction porte ?

Barjovrille

Bonjour, dans le cas le plus simple des document ci-dessus on parle de fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{C}$. Donc il faut expliciter ce que tu entends par la "fonction $\exp(itx)$" (la fonction ne doit déprendre que d'une seule variable donc il faut fixer au moins une variable ou poser la question autrement).
Si par exemple ta question est : est-ce que la fonction $t \mapsto \int \exp(itx) f(x)dx$ est définie positive, où $f$ est la fonction porte.
Alors la réponse est oui parce que la fonction porte est la densité de la loi uniforme continue $[-1/2,1/2]$ et $t \mapsto \int \exp(itx) f(x) dx$ est la fonction caractéristique de la loi uniforme donc elle est définie positive d'après le théorème de Bochner ci-dessus.

igrec27

Tu as raison. venait de l'ambiguité  entre x et y dans exp(itxy)
Il fallait montrer que si l'on a la transforméede Fourier de g(y) >= o on a nécessairement une fonction définie positve f(x)
cad telle que pour n donné, (z1,....,zn) (z complexes quelconques) et x1,.....,xn) x réels quelconque on a
$$z^*_i z_k f(x_i - x_k) >= 0$$
Cette propriété est vérifiée pour la fonction exp(ixy) pour y fixé quelconque.
Elle reste vraie pour des combinaisons linéaires par des nombres réels non négatifs par exempe pour
3 exp(i7x) + 4 exp(i9x) ou par passage a la limite pour des suite convergentes de telles fonctions définies positives.
On voit ainsi pourquoi en intégrant sur y dans la transformation de Fourier de g(y) non négatif on obtient des fonctions f(x) définies positives.
Avec par exemple des transformation de Fourier de distributions de probabilités.
Chaque loi de probabilité a ainsi une fonction charactéristique complexe associée.