Sommes de deux carrés

kolotoko

Bonjour,
soient six nombres entiers a, b, c, d, e, f.

On voudrait qu'ils vérifient les trois relations suivantes : 
a^2 + e^2 = d^2 + b^2
b^2 + f^2 = e^2 + c^2
c^2 + d^2 = f^2 + a^2

Un exemple : 
a = 17, b = 29, c = 97, d = 137, e = 139, f = 167
On a successivement :
289 + 19321 = 18769 + 841 = 19610
841 + 27889 = 19321 + 9409 = 28730
9409 + 18769 = 27889 + 289 = 28178

Comment trouver les solutions de ce petit problème ?
Bien cordialement.
kolotoko

bisam

Déjà, la 3ème équation ne sert à rien : elle est conséquence des deux autres.
Ensuite, il y a BEAUCOUP de solutions, même en exigeant que $(a,b,c,d,e,f)$ soient tous différents.

En prenant $(a,b,c,d,e,f)$ tous différents et $(a,b,c,d)$ inférieurs strictement à $100$, je trouve $432$ solutions ($311$ seulement à permutation près).

YvesM

Bonjour,

La troisième équation est redondante.

On a $b^2-e^2=a^2-d^2=(a-d)(a+d)=c^2-f^2=(c-f)(c+f).$

On se donne donc $b^2-e^2$ que l’on décompose en facteurs premiers. Pour chaque combinaison de tels facteurs, on assigne $a-d$ et $a+d$ et $c-t$ et $c+f.$

kolotoko

Bonsoir,
je pousse le bouchon un peu plus loin.

Considérons les 12 nombres ai et les 12 nombres bi suivants, pour i allant de 1 à 12 : 
ai = 7, 12, 21, 33, 44, 51, 84, 103, 131, 177, 268, 539
bi = 47, 48, 51, 57, 64, 69, 96, 103, 139, 183, 272, 541
alors ai^2 + bj^2 = aj^2 +bi^2 quelques soient les couples (i,j).

Bien cordialement.
kolotoko

depasse

bonsoir
une coquille au 103 bas: c'est 113
cordialement
Paul

kolotoko

Bonjour,
oui : 113, merci.
Bien cordialement.
kolotoko

J.Faizant

Bonjours,

$x,y,z$ étant des naturels, posons $A=yz+x,\ a=yz-x,\ B=xz+y,\ b=xz-y,\ C=xy+z,\ c=xy-z$.

On aura alors $a^2 + B^2 = A^2 + b^2,\  b^2 + C^2 = B^2 + c^2,\  c^2 + A^2 = C^2 + a^2$.
Excusez la présentation. Merci.

[Pour quelques $\$$ de plus AD]

J.Faizant

Merci à AD.
Il faut lire $C^2+a^2$ dans la dernière égalité. Les gens instruits rectifieront d'eux-même.

[J'ai corrigé, mais tu aurais pu le faire toi-même. AD]

Par ailleurs on obtient une série de formules plus générale avec 4 paramètres entiers naturels $ x,y,z,t$ puis en posant $A=yz+xt$, $\ a=yz-xt$, $\ B=zx+yt$, $\ b=zx-yt$, $\ C=xy+zt$, $\ c=xy-zt$ .

On obtient encore plus d'égalités en posant $A=yzt+x$, $\ a=yzt-x$, $\ B=xzt+y$, $\ b=xzt-y$, $\ C=xyt+z$, $\ c=xyt-z$, $\ E=xyz+t$, $\ e=xyz-t$.

Etc.

Par exemple pour $x=11$ , $y=9$ , $z=8$ , $t=4$ , on obtient :$796^2+343^2 = 788^2+361^2$ , $796^2 + 388^2=788^2+404^2$ , $796^2+277^2=788^2+299^2$ , $361^2+388^2=343^2+404^2$ , $361^2+277^2=343^2+299^2$ , $404^2+277^2=388^2+299^2$ .

avec 6 paramètre $x,y,z,t,u,v$ on pourra obtenir ainsi, 15 égalités de sommes de deux carrés .

Avec n paramètres on pourra obtenir ainsi $n(n-1)/2$ égalités de sommes de deux carrés .


Bonne journée.

kolotoko

Bonjour,
l'exemple donné ci-dessus par J.Faizant peut être complété par d'autre couples de nombres entiers.
Par exemple : $18^2 + 796^2 = 114^2 + 788^2,\ 3167^2 + 361^2 = 3169^2 + 343^2$, etc.
En tout, en restant dans l'ensemble des entiers naturels, on obtient 153 égalités de sommes de deux carrés.
Si on se place dans l'ensemble des entiers relatifs on obtient en tout 2556 égalités de sommes de deux carrés.
Bien cordialement.
kolotoko

depasse

Bonjour,
Pour tout $n \in \mathbb N^*$  
 le cardinal de $E_n:=\{(x,y)\in\mathbb N^2\mid y^2-x^2=n     \}$ est $e_n:=\Big\lfloor {\dfrac {d(n)+1}{2}}\Big\rfloor,\quad 0,\quad  \Big\lfloor {\dfrac {d(\tfrac{n}{4})+1}{2}}\Big\rfloor$ selon que $v_2(n)$ est $0,\quad 1,\quad \geq 2$,
 le cardinal de $F_n:=\{(a,b,c,d) \in\mathbb N^4\mid  a >b\geq c >d,\ a^2+d^2=b^2+c^2, \ a^2-b^2=n    \}$ est $f_n:=\dfrac{e_n(e_n-1)     }{2}$.
Sauf erreur, évidemment.
Cordialement
Paul