La conjecture de Collatz

PMF · May 2023

@Collag3n

Merci pour cette info. On peut donc dire que

Les nombres impairs qui sont de la forme 4n+3 ou 8n+1. Ces nombres sont appelés i_source car ils servent de "sources" pour les suites de Collatz. En d'autres termes, ils sont les premiers nombres impairs dans une séquence spécifique de la suite de Collatz. Ce sont aussi ceux qui génèrent des suites avec un nombre d'étapes impaires supérieur à 2.
Les nombres impairs qui sont de la forme 8n+5. Ces nombres sont tous les autres éléments de la suite de Collatz. Ils peuvent être obtenus en multipliant un nombre impair précédent par 4 et en ajoutant 1.

Cela montre que les suites de Collatz sont structurées de manière très spécifique. Les i_source sont en quelque sorte les "bâtisseurs" de la suite, car ils déterminent le nombre d'étapes impaires dans la séquence. Les autres nombres impairs sont construits à partir de ces i_source en multipliant par 4 et en ajoutant 1.

Dom · May 2023

En maths, non.

PMF · May 2023

3 | 11 | 5 | 101 | 1 | 16 | 10000

13 | 1101 | 5 | 101 | 3 | 16 | 10000

113 | 1110001 | 85 | 1010101 | 2 | 256 | 100000000

453 | 111001101| 85 | 1010101 | 5 | 256 | 100000000

227 | 11100011 | 341 | 1010101101 | 2 | 1024 | 10000000000

909 | 1110010101| 341 | 1010101101 | 5 | 1024 | 10000000000

7281| 1110010001001| 5461 | 101010100110101 | 2 | 16384 | 100000000000000

29125|111001000110101| 5461 | 101010100110101 | 5 | 16384 | 100000000000000

14563|11100100011011 | 21845 | 1010101010110101 | 2 | 65536 | 1000000000000000000

58253|1110010001110101| 21845 | 1010101010110101 | 5 | 65536 | 1000000000000000000

Pour les suites de Collatz où le nombre d'étapes impaires e=2, avec i l'impair de départ et i_last le dernier impair avant 1, on a :
3*i_last + 1 = 3*((3*i+1)/2^n)+1.

Dans le tableau ci-dessus, n est la valeur qui permet de calculer 3*i_last+1 directement depuis i. Les valeurs binaires de i, i_last et 3*i_last +1 sont indiquées à droite de chacune des variables.

La règle est la suivante :

Pour chaque nombre impair 'i' et son successeur 'i_last' dans la suite de Collatz où e=2, l'opération 3*((3*i+1)/2^n)+1 égale toujours une puissance de 2. En binaire, ce résultat est toujours 1 suivi de zéros.
La représentation binaire de 'i' est la même que celle de 'i_last', avec l'ajout du motif "10" au début.

Wilfrid · May 2023

Collag3n a écrit :
Donc en gros si l'impair i ≢ 5 mod 8, c'est un isource

Je pense que c'est l'inverse : tout $n \equiv 5 \bmod 8$ n'est pas un i_source (bon, c'est la même chose).

Pour le tester en Python (je remplace i_source, qui ne veut rien dire, par $p_{min}$) :

def isPmin(n):
    return not n % 8 == 5

# Test
# Renvoie False si n est de la forme 8x - 3.

print(isPmin(5))  # False : 5 = 8*1 - 3
print(isPmin(13)) # False : 13 = 8*2 - 3
print(isPmin(21)) # False : 21 = 8*3 - 3
print(isPmin(23)) # True : 23 n'est pas de la forme 8x - 3, donc c'est un pmin

Disclaimer : l'entité nommée $p_{min}$ (ou ... i_source) n'a aucun intérêt particulier, c'est juste une nouvelle lubie de PMF, qui en tant que telle n'aboutira à rien. Les seules valeurs minimales qui présentent un intérêt – et même beaucoup – sont celles que je nomme $n_{0\,min}$, plus petit terme impair dont la suite est de longueur donnée.

gerard0 · May 2023

"bon, c'est la même chose"???
Grossière erreur de logique.

Cordialement.

PMF · May 2023

@Wilfrid

L'ensemble des impairs qui ne sont pas en 4n+3 ou 8n+1 retourne bien $5$ et seulement $5$ pour mod8(i)

PMF · May 2023

Je vais faire un break de 3 semaines. Alors pour conclure avant la pause :

Pour une congruence de 1 (mod 8), tous les nombres ont une représentation binaire se terminant par 1 suivie de zéros (exemple : 10001).

Pour une congruence de 3 (mod 8), tous les nombres ont une représentation binaire se terminant par 11 (exemple : 1011).

Pour une congruence de 5 (mod 8), tous les nombres ont une représentation binaire se terminant par 101 (exemple : 10101).

Enfin, pour une congruence de 7 (mod 8), tous les nombres ont une représentation binaire se terminant par 111 (exemple : 10111).

On notera que donc que sont i_source les nombres qui :
ont une représentation binaire se terminant par 1 suivie de zéros (exemple : 10001).
ont une représentation binaire se terminant par 11 (exemple : 1011).
ont une représentation binaire se terminant par 111 (exemple : 10111).

Ceux qui ne sont pas des i_source sont les nombres qui :

ont une représentation binaire se terminant par 101 (exemple : 10101).

Ces derniers peuvent être des i_last si la représentation binaire de 3i+1 est de la forme 1000...000 en binaire (exemple 3*341+1 : 10000000000)

Code python :

def analyze_numbers(numbers):

for i in numbers:

binary_i = bin(i)[2:]

mod_8 = i % 8

print(f"{i}, {binary_i}, {mod_8}")

numbers = [5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 75, 11, 453, 69, 5461, 853, 151, 23, 909, 141, 301, 45, 7, 1813, 277, 21845, 3413]

analyze_numbers(numbers)

Wilfrid · May 2023

gerard0 a écrit :
Grossière erreur de logique.

Collag3n : $n \not \equiv 5 \bmod 8$ est un i_source.

Wilfrid : $n \equiv 5 \bmod 8$ n'est pas un i_source.

Si A = "être congru à 5 mod 8", Collag3n dit que "non A est un i_source", tandis que moi je dis que "A n'est pas un i_source". Ces deux propositions sont équivalentes. On pourrait également écrire que "n ne peut à la fois être congru à 5 mod 8 et être un i_source".

Mais tu vas m'expliquer où s'est nichée la grossière erreur...

Bibix · May 2023

Wilfrid qui confond contraposée et réciproque. On est bien dans du Shtam, je confirme.

Wilfrid · May 2023

La liste s'allonge. Maintenant ce sont gerard0 et Bibix qui vont devoir faire preuve de pédagogie et m'expliquer en quoi ce que j'ai dit est erroné. Parce que l'attitude qui consiste à condamner sans expliquer pourquoi, si c'est une pratique répandue sur ce forum, moi j'ai du mal de m'en satisfaire.

Collag3n · May 2023

Z'êtes pas sympa les gars. Wilfrid sait bien que les deux ne sont pas équivalents hors contexte. Il a d'ailleurs ajouté "bon, c'est la même chose" par la suite en voyant que dans le contexte ($i$ et $i_{source}$ impairs, réciprocité $i=i_{source}\Leftrightarrow i\equiv \{1,3,7\}\mod 8$,...), c'était la même chose. A la limite on peut chipoter sur le fait qu'il n'a pas précisé "$n$ impair", mais pour le reste on est souvent moins formel dans shtam.

Bibix · May 2023

Bizarrement, je préfère cette explication plutôt que le message un peu aggressif de Wilfrid qui laisse penser que $\left(A \Longrightarrow B\right) = {\rm non}\left(A\ {\rm et}\ B\right)$ (c'est à celui-ci que je réagissais). D'ailleurs, Wilfrid aussi a hésité, donc ce n'était peut-être pas inutile de le souligner ^^.

PMF · June 2023

Théorème des Clusters : Pour toute valeur $e$ représentant le nombre d'étapes impaires de la suite de Collatz d'un impair $i$, il existe un ordre de grandeur $p$ tel que i = 2^p + y, où $y$ est un entier tel que 1 ≤ y < 2^p. L'ensemble des impairs i appartenant au cluster {e, x} est défini par :

$ \{ i = 2^p + y \;|\; 1 ≤ y < 2^p \} $

La longueur $x$ de la suite de Collatz pour chaque impair i du cluster {e, x} est donnée par la formule :

$ x = \lceil e \cdot \log_2 6 + \log_2 (2^p + y) \rceil $

Le théorème des clusters met en évidence la structure des clusters au sein des suites de Collatz. Chaque cluster {e, x} regroupe un nombre fini d'impairs $i$ qui partagent des caractéristiques communes en termes de nombre d'étapes impaires $e$ et de longueur de la suite $x$. L'intervalle de $y$, défini par 1 ≤ y < 2^p, limite les impairs possibles pour chaque cluster.

Ainsi, pour un $e$ et un $x$ donnés, le théorème des clusters garantit l'existence d'un nombre fini d'impairs $i$ qui appartiennent au cluster {e, x}. La formule permet de calculer la longueur $x$ de la suite de Collatz pour chaque impair $i$ du cluster en fonction de $e$, $p$ et $y$.

En résumé, le théorème des clusters décrit comment les impairs des suites de Collatz se regroupent en ensembles finis selon des valeurs communes de $e$ et $x$. Chaque ensemble est caractérisé par un ordre de grandeur $p$ et une variable d'ajustement $y$, déterminant ainsi les impairs spécifiques qui appartiennent au cluster.

Exemple :
Pour i=27 dans le cluster {41, 111}. 27= 2^4+11 donc p= 4 et y = 11 :
On constate que pour y de 1 à 15, x=111. A partir de y = 17, x = 112. Le "bon" y (11) est donc bien dans l'intervalle.

Corollaire :
La différence x-p est toujours la même pour les impairs ayant le même nombre $e$ d'étapes impaires. C'est dû au fait que la formule de x est basée sur la relation de $e$, $p$ , et $y$. Comme $y$ n'est jamais assez grand pour changer la valeur de x( exemple du 27) x- p ne change pas .

Réciproque : tous les impairs ayant la même différence x-p ont le même nombre d'étapes impaires $e$.

La croissance de $x$ en fonction de $p$, tout en maintenant e constant, crée une relation linéaire entre $x$ et log2(i). Cela se traduit par une disposition en diagonale des clusters de même $e$ lorsqu'on représente graphiquement $x$ en abscisse et log2(i) en ordonnée.

Cette structure en diagonale est due à la relation entre $p$, $y$ et i = 2^p + y. Étant donné que $p$ détermine l'ordre de grandeur de l'impair $i$, une augmentation de $p$ entraîne une augmentation proportionnelle de log2(i). Par conséquent, lorsque les impairs d'un même cluster ont des valeurs de $p$ différentes mais partagent le même $e$, on observe une progression linéaire de $x$ par rapport à log2(i), formant ainsi une diagonale sur le graphique.

Cette observation visuelle renforce la cohérence et la structure régulière des clusters de même $e$, en mettant en évidence leur relation avec les ordres de grandeur $p$ et les valeurs de log2(i). Elle permet également d'identifier visuellement les clusters de même $e$ et de mieux comprendre leur distribution dans le graphique.

PMF · June 2023

@Collag3n
En rappelant qu'un i_last est la dernière étape impaire avant une puissance de 2,
tous les suites des impairs de la forme i = 2^p+1 semblent toujours passer par le i_last = 5 avant de revenir à 1.
On peut vérifier que pour p de 1 à 45, toutes les suites 2^p+1 passent par 5.
Voici les données de ces 45 impairs de la forme 2^p+1, dans un triplet {p, e, x} indiquant pour chaque $p$ le nommbre d'étapes impaires $e$ et la longueur de la suite $x$ :

{2, 1, 5}, {1, 2, 7}, {4, 3, 12}, {3, 6, 19}, {5, 8, 26}, {6, 8, 27}, {9, 10, 35}, {10, 10, 36}, {13, 15, 52}, {14, 15, 53}, {20, 20, 72}, {15, 32, 98}, {16, 32, 99}, {17, 32, 100}, {18, 32, 101}, {19, 32, 102}, {12, 39, 113}, {7, 44, 121}, {8, 44, 122}, {39, 44, 153}, {40, 44, 154}, {41, 44, 155}, {11, 56, 156}, {42, 44, 156}, {21, 56, 166}, {22, 56, 167}, {23, 56, 168}, {24, 56, 169}, {25, 56, 170}, {26, 56, 171}, {28, 56, 173}, {33, 56, 178}, {34, 56, 179}, {29, 61, 187}, {30, 61, 188}, {37, 61, 195}, {38, 61, 196}, {36, 80, 243}, {27, 85, 247}, {31, 85, 251}, {32, 85, 252}, {35, 109, 317}, {44, 109, 326}, {43, 138, 400}, {45, 174, 495}

On voit que les séries de $e$ s'aligner en paquets entre des valeurs spécifiques de $x$. Par exemple la série de e =56 s'intercale entre x =166 et x = 179.
On peut être très en amont avec 2^45+1 qui est situé à 495 étapes de 1, dont 174 impaires, et savoir qu'il est sur la "route" du 5.
Si cette hypothése que tout impair de la forme 2^p+1 retourne à 1 en passant par 5 était démontrable, et qu'il était également possible de montrer d'autres relations de formes pour des i_last comme 85, 341.. on aurait alors une structure générale pour les suites de Collatz. Donc une nouvelle vision pour expliquer cette conjecture.

Wilfrid · June 2023

PMF a écrit :
Si cette hypothése que tout impair de la forme 2^p+1 retourne à 1 en passant par 5 était démontrable, ...

As-tu essayé avec $p$ = 123, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 132 ?

Retour à ton précédent message :

il existe un ordre de grandeur p tel que i = 2^p + y, où y est un entier tel que 1 ≤ y < 2^p

C'est le cas de n'importe quel entier positif $i$. On calcule facilement la plus grande puissance de 2, $2^p$, qui lui est inférieure. On a alors $y=i-2^p$. Ce n'est pas spécifique au premier terme d'une suite de Collatz.

Quant à la formule $x=\lceil e \cdot \log_2 6 + \log_2 (2^p + y) \rceil \,$, elle nécessite de connaître $e$, le nombre de termes impairs que compte la suite de $i$, qu'il faut donc générer. On n'est pas plus avancés.

le théorème des clusters décrit comment les impairs des suites de Collatz se regroupent en ensembles finis selon des valeurs communes de e et x. Chaque ensemble est caractérisé par un ordre de grandeur p et une variable d'ajustement y, déterminant ainsi les impairs spécifiques qui appartiennent au cluster.

Ça ne veut rien dire. On peut obtenir toutes les suites de longueur donnée et possédant le nombre de termes impairs également donné, sans passer par "un ordre de grandeur p et une variable d'ajustement y" mais grâce à une méthode de calcul tout ce qu'il y a de plus concrète.

jm14d · June 2023

lourrran a dit :

Au bout de 500 messages, PMF a remplacé son échelle linéaire par une échelle logarithmique. Les courbes sont devenues des droites...

Lourran vous m'avez procuré le premier éclat de rire de la journée... ça fait un bien fou

merci !!

Ceci, sans aucune acrimonie ni ironie vis à vis de PMF car je n'ai pas un niveau suffisant pour juger du bien-fondé de l'approche proposée. Mais, comme évoqué également dans ce thread, je serais preneur d'un petit algorithme en langage (ou pseudo-langage) informatique qui m'aiderait à matérialiser les choses.

lourrran · June 2023

Des faits, je ne relate que des faits. Il suffit d'avoir le lien vers d'anciennes discussions pour le vérifier. Mais effectivement, les faits sont parfois drôles.

Content d'avoir pu procurer cet éclat de rire, mais il faut aussi remercier PMF. C'est l'acteur principal, je ne suis que la voix-off.

PMF · June 2023

@lourrran : non tu n'es pas une voix-off, tu es juste un harceleur.

PMF · June 2023

@Wilfrid
Merci d'apporter une réponse et quelques élements de réflexion, mais évite de faire du lourrran.
"C'est le cas de n'importe quel entier positif i" , "Ce n'est pas spécifique au premier terme d'une suite de Collatz"
Heu... j'ai dit autre chose?
Je dis "L'ensemble des impairs i appartenant au cluster {e, x} est défini par : $\{ i = 2^p + y \;|\; 1 ≤ y < 2^p \}$
Donc a priori l'ensemble des impairs c'est tous les impairs, donc aussi n'importe quelle étape impaire...

"On n'est pas plus avancés." C'est toi qui le dis. En fait tu passes à coté de quelque chose :

Pour chaque valeur de $e$ :

Il existe une valeur initiale de $p$ qui correspond à la première apparition d'un i_source dans la descendance de 16.
Les $y$ sont organisés en une séquence d'i_source et de déclinaisons de la forme 8n+1 ou 4n+3 pour les i_source, et de la forme 4n+1 pour les déclinaisons. Chaque déclinaison se trouve à x+2 de la précédente.
Au fur et à mesure que de nouveaux i_source apparaissent, de nouvelles possibilités de $y$ sont introduites, permettant ainsi à $x$ ou $p$ de croître.

Chaque valeur de $e$ correspond à une différence $x-p$. Il y a une valeur initiale de $p$ pour chaque $e$. Les $y$ sont organisés en i_source et déclinaisons 4n+1. Chaque déclinaison se trouve à $x+2$ de la précédente. Au fur et à mesure que des nouveaux i_source arrivent cela crée des possibilités de trouver plus de $y$ au fur et à mesure que $x$ ou $p$ grandissent. Attention ces règles s'appliquent selon l'ordre des clusters dans la descendance de 16. On peut donc penser à un système de relations $e, x, p, y$

Pour e = 1, x-p=3
pour e = 2 , x-p=6
pour e = 3, x-p = 8
pour e = 4, x-p = 11
....
pour e = 2 ,
i= 3 de la forme 4n+3 a une valeur initale de p = 1 et a un i_last = 5
i= 113 de la forme 8n+1 a une valeur initale de p = 6 et a un i_last = 85
i= 227 de la forme 4n+3 a une valeur initale de p = 7 et a un i_last = 341
i= 7281 de la forme 8n+1 a une valeur initale de p = 12 et a un i_last = 5461
etc...
c'est marrant de voir que chaque $e$ possède un i_source spécifique de la forme 4n+3 ou 8n+1 qui s'associe avec le terme correspondant dans la suite des i_last : 5, 85, 341, 5461... cad toutes les déclinaisons 4n+1 à partir de 1 en supprimant les multiples de 3.

Pour e = 3, on retrouve le même système mais on peut trouver plusieurs i_source par i_last ce qui n'empêche pas de constituer la suite des i_last : 5, 85, 341, 5461 :
i= 17 de la forme 8n+1 a une valeur initale de p = 4 et a un i_last = 5
i= 35 de la forme 4n+3 a une valeur initale de p = 5 et a un i_last = 5
i= 75 de la forme 4n+3 a une valeur initale de p = 6 et a un i_last = 85
i= 151 de la forme 4n+3 a une valeur initale de p = 7 et a un i_last = 341

Lorque que l'on prend un i_source et que l'on le décline en 4n+1, on a comme ici pour 17, $e$ qui reste le même, $x$ qui augmente de 2 à chaque déclinaison, $p$ qui augmente aussi de 2 (pour que x-p reste constant), y qui suit une suite en 4n+1, et i_last qui reste aussi le même :

{e, x}	i	i_last	p	y
{3, 12}	17	5	4	1
{3, 14}	69	5	6	5
{3, 16}	277	5	8	21
{3, 18}	1109	5	10	85
{3, 20}	4437	5	12	341
{3, 22}	17749	5	14	1365

Donc les relations $e, x, p, y, \text{i_last}$ sont au coeur de la structure des suites. Ce qui est à mon sens une avancée.

lourrran · June 2023

Tu es ronchon PMF parce qu'il y a d'autres candidats pour démontrer la conjecture de Collatz, et je te fais des infidélités ?
Ici par exemple,
ou ici encore ?

Allez, encore un lien pour une bonne lecture, le Pochon et Favre beaucoup plus digeste que tout ce forum, pour les longues soirées d'été.

Wilfrid · June 2023

https://hal.science/hal-01593181v3/document

PMF · June 2023

Les relations des $\text{i_source}$ et des $\text{i_last}$ sont très importantes et pourraient éventuellement révéler une organisation globale des suites de Collatz.

Rappelons les définitions suivantes :

- $\text{i_source}$ : les impairs de la forme $8n + 1$ ou $4n + 3$

- $\text{i_last}$ : la dernière étape impaire avant 1 telle que $3 *\text{i_last} + 1$ soit une puissance de 2

- $x$ : la longueur de la suite

- $e$ : le nombre d'étapes impaires

- $p$ : la partie entière du logarithme en base 2 de l'impair (ici $\text{i_source}$)

- $y$ : i_source - 2^p

Voici un exemple illustrant cette organisation :

Parmi les 1878 descendants de 16, nous ne sélectionnons que les $\text{i_source}$ ayant $\text{i_last} = 5$. Cette sélection comprend 358 impairs. Le tableau ci-dessous montre les valeurs initiales de$ x, p, y$ et $\text{i_source}$ pour chaque valeur de $e$

Nous remarquons que pour chaque valeur de $e$, nous avons la même différence $x - p$. De plus, chaque incrémentation de $x+1$ correspond à une augmentation de $p+1$. Ainsi, il est possible de prédire tous les $p$ pour chaque $x$ en observant les valeurs initiales du tableau ci-dessus.

Cependant, il est difficile de prédire si toutes les valeurs de $x$ seront concernées après la valeur initiale. Examinons les données pour $e = 3$ :

Nous observons une rupture dans les valeurs de $x$. Nous avons d'abord $x = 13$ et $x = 18$, puis en ajoutant 6, nous obtenons $x = 19$, $x = 24$, $x = 25$, $x = 30$, etc. De plus, les valeurs $\text{i_source}$ se présentent sous forme de paires $8n + 1$ et $4n + 3$, et dans chaque paire, nous avons $\text{i_source} = 2 * \text{i_source_prev} + 1$. Par exemple, $2 * 17 + 1 = 35$, puis $2 * 1137 + 1 = 2275$.

Les valeurs x et i_source sont dans une relation exponentielle : $\text{i_source}$ = 0.0042*exp(1)^(0.6947*x)
On a aussi une relation exponentielle : $y$ = 0.0003*exp(1)^(0.7123*x)

Bien que ces observations ne fournissent pas une explication complète, elles mettent en évidence les relations entre $x$, $\text{i_source}$, le type ($8n + 1$ ou $4n + 3$), $p$ et $y$ pour une même valeur de $e$ et un même $\text{i_last}$.

lourrran · June 2023

As-tu lu le document donné par Wilfrid ?
Il y a interrogation écrite ce week-end.

PMF · June 2023

@lourrran
Si les questions ont un intérêt, j'y réponderais. Si c'est ton éternel jeu pervers narcissique qui n'apporte aucune avancée (puisqu'il suffirait simplement d'infirmer ou confirmer ce que je dis) , tu excuseras mon silence.

PMF · June 2023

La théorie des clusters dans le contexte de la suite de Collatz permet de considérer les entiers impairs à la fois du point de vue de leur comportement arithmétique et de leur position dans l'ordre collatzien. Dans l'arithmétique, l'ordre et la valeur des entiers coïncident : par exemple, si l'entier 27 est à la 27ème position, on peut l'écrire comme 3 * 3 * 3 = 27, car le facteur 3 est arrivé avant l'entier 27. Cependant, dans l'ordre collatzien, l'entier 27 apparaît après plusieurs millions de descendants de 16 dans le cluster {41, 111}, où le premier terme $e$ est le nombre d’étapes impaires et le deuxième $x$ la valeur ordinale collatzienne.

Dans la théorie des clusters, on peut observer trois aspects essentiels :

1. La descendance des impairs :

• On peut représenter la descendance des impairs à partir de l'entier 16 en utilisant un algorithme récursif.

• À chaque génération, on multiplie l'entier précédent par 2. Et, si possible, on extrait des impairs en utilisant la formule (n - 1) / 3 :
16, 16*2, (16-1)/3, 32*2, 5*2, 64*2, 5*4, (64-1)/3, (10-1)/3 --> 16, 32, 5, 64, 10, 128, 20, 21, 3 --> 5, 21, 3

• Cela donne une suite d'impairs qui se manifestent comme des étapes impaires dans la suite de Collatz.

2. Les étapes impaires :

• Les étapes impaires $e$ correspondent aux impairs obtenus à chaque génération impaire de l'algorithme de descendance. Par exemple pour $x=15$, on a les impairs $5461, 853, 909, 141, 151, 23$. Ces nombres sont à la fois des impairs ordinaires, les premiers termes de leur suite, et des étapes d’autres suites qui correspondront à une position d’étape impaire $e$ dans une suite.

3. Les clusters :

• Les impairs sont regroupés en clusters qui indiquent leur nombre d’étapes impaires $e$ et leur valeur ordinale collatzienne $x$.

• Un cluster est caractérisé par un ensemble d'impairs qui ont une propriété commune, telle que le même nombre d'étapes impaires et la même valeur ordinale collatzienne.

• Il est important de noter qu'à l'intérieur de chaque génération $x$, il existe un ordre spécifique dans lequel les impairs apparaissent, déterminé par l'algorithme de descendance. Si pour x=15, on a les impairs 5461, 853, 909, 141, 151, 23, on voit que 5461 est en premier et 23 en dernier, ou que 141 et avant 151.

Ce qui rend cette approche intéressante, c'est la dualité des impairs en tant qu'entiers ordinaires et en tant qu'éléments de la suite de Collatz. Chaque impair peut être décrit à la fois en termes arithmétiques, par exemple comme la somme d’une puissance de 2 et d’un impair $i=2^{p}+y$ ou en fonction d’une forme telle que $4n+1, 8n+1, 4n+3$, et en termes de son appartenance à un cluster particulier dans la suite de Collatz.

Les formes arithmétiques "ordinaires" telles que 39 = 2^5 + 7 = 4*9 + 3 jouent donc un rôle crucial dans l'étude du comportement des suites de Collatz. Elles permettent de faire le lien entre l'arithmétique standard et la modélisation des suites à travers les clusters. Par exemple,si ion écrit un impair sous la forme $2^{p} + y$, il est possible de faire des observations sur la relation entre $p$ (la partie entière du logarithme en base 2 de l'entier) et $x$ (la valeur ordinale collatzienne). Cette relation peut fournir des indications sur la façon dont l'entier 39 se comporte dans la suite de Collatz.

39 dans le cluster {11,34} et de la forme $4n + 3$ est défini comme un i_source comme ceux de la forme $8n+1$. La déclinaisons de l'entier 39 : 4*39 + 1 est dans le cluster {11, 36} ou la suivante : (4*39 + 1) * 4 + 1 est dans le cluster {11, 38}. La forme arithmétique $4n+3$ dans le contexte de Collatz permet de faire des opérations directement sur les clusters : {e,x}, {e, x+2} ; {e, x+4}

Voici par exemple les declinaisons du i_source = 3

Ces relations entre les formes arithmétiques et les clusters permettent d'établir des liens significatifs entre l'arithmétique standard et la modélisation des suites de Collatz.

lourrran · June 2023

La première question, la plus importante, voire la seule, c'est : as-tu lu le document proposé par Wilfrid et moi, le Pochon et Favre ?
Je suis à peu près convaincu que je t'avais donné le lien il y a 3 ans.
Tu t'intéresses à la conjecture de Syracuse, beaucoup ; ça paraît utile de lire ce document qui récapitule tous les résultats sérieux ou pas sérieux, éventuellement anecdotiques, autour de cette conjecture.

PMF · June 2023

@lourrran
J'ai lu ce document et tenter de le comprendre. Si ton propos est l'éternel moquerie des éternels amateurs qui essaient éternellement de démontrer cette conjecture, on aura compris à 15 kilomètres où tu veux en venir. Si ton propos est par contre de me donner des rapprochements entre ce texte et ma théorie des clusters (en infirmant ou en confirmant), je suis preneur.

lourrran · June 2023

Je voulais juste m'assurer que tu avais fait l'effort de t'informer sur les résultats obtenus par les 'collègues' , pour t'appuyer sur ces résultats le cas échéant.

Dans l'ordre collatzien, l'entier 27 apparaît après plusieurs millions de descendants de 16 dans le cluster {41, 111},

Pourquoi plusieurs millions ? Ne serait-ce pas plusieurs milliards ? Et même, en réalité, une infinité.
Tu crées un ordonnancement, ok. Mais pour faire en sorte que cet ordonnancement soit valide, tu limites l'ensemble des entiers, sans le dire.

Cette phrase que j'ai recopiée, si tu veux qu'elle soit suffisamment solide, si tu veux bâtir des choses sur cette définition, tu dois dire :

Considérons un entier $N_0$, et considérons l'intervalle $[1,N_0]$
Pour fixer les idées, on peut imaginer $N_0$ de l'ordre de 1 Milliard.
Si on travaille sur cet intervalle, et non plus sur $\mathbb{N}$ tout entier, alors dans l'ordre collatzien, l'entier 27 apparaît après plusieurs millions de descendants de 16 dans le cluster {41, 111},

Accessoirement, dans cet ordre collatzien, j'aurais aimé voir les 7 ou 8 premiers nombres, et aussi ceux qui sont juste avant ou juste après 27, pour m'aider à comprendre.
Mais ce second point, c'est du 'nice to have', alors que le premier point, c'est du 'bug à corriger impérativement'.

PMF · June 2023

@lourrran
1) le nombre d'impairs produit par génération de x augmente de manière exponentielle. Pour x = 111, l'estimation du nombres de descendants est de 10^11. Donc des ''''"millions''''" au sens figuré. Il y a un nombre fini de descendants par génération de x. Donc la somme des ces générations est également finie.

Detail du nombre d'impairs par génération :

x=5: 1, x=7: 2, x=9: 2, x=11: 2, x=12: 2, x=13: 4, x=14: 4, x=15: 6, x=16: 5, x=17: 7, x=18: 8, x=19: 14, x=20: 14, x=21: 19, x=22: 22, x=23: 30, x=24: 36, x=25: 48, x=26: 60, x=27: 79, x=28: 94, x=29: 118, x=30: 154, x=31: 194, x=32: 248, x=33: 315, x=34: 390

La somme de x=5 à x=34 est 1878

2) je te remercie pour cette formulation.

3) Voici la liste des 112 premiers descendants pour x<=22:

5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, 141, 151, 23, 1813, 277, 301, 45, 7, 21845, 3413, 3637, 565, 605, 93, 15, 7253, 1109, 1205, 181, 29, 7281, 1137, 201, 87381, 13653, 14549, 2261, 2421, 373, 61, 2417, 369, 401, 9, 14563, 2275, 403, 29013, 4437, 4821, 725, 117, 29125, 4549, 805, 4849, 753, 4835, 739, 803, 19, 349525, 54613, 58197, 9045, 9685, 1493, 245, 9669, 1477, 1605, 37, 58253, 9101, 1613, 241, 9699, 1507, 1611, 267, 116053, 17749, 19285, 2901, 469, 116501, 18197, 3221, 19397, 3013, 19341, 2957, 3213, 77, 497, 81, 19417, 3033, 537, 483, 3223, 535

et les 10 derniers en x:=34 du rang 1868 à 1878 :

9335, 61303, 367863, 61367, 13256071, 1415, 61127, 39, 56079, 368223
la valeur ordinale de 39 : 1876ème position après 16 est donc très éloignée de sa valeur ordinale arithmétique. C'est donc bien pire pour 27 qui est environ le cent-milliardième descendant de 16.

lourrran · June 2023

$10^{11}$, c'est le chiffre $1$ suivi de $11$ fois le chiffre $0$, c'est $100 000 000 000$, c'est100 Milliards.

Je n'avais rien compris à ton ordre collatzien, je pense avoir compris maintenant à partir de la liste des 112 premiers termes. Et du coup, ma reformulation était fausse, elle n'apporte rien de mieux que ta formulation originale.

PMF · June 2023

@lourrran
ce qui pourrait peut-être faire avancer le débat c'est que tu lises disons la dernière dizaine de mes post. Je veux bien que tu joues à l'ambianceur mais disons que même sur le shtam on peut aussi essayer de bosser un peu.
Donc infirme ou confirme mais lis un peu ce que je propose.
A part ça j'ai bien écrit : "C'est donc bien pire pour 27 qui est environ le cent-milliardième descendant de 16"
donc 10^11 suites probables de x=5 à x=111.

lourrran · June 2023

Je voudrais bien aider, mais c'est compliqué. (c'est compliqué de déchiffrer ce que tu dis, les choses que tu dis sont simplissimes, mais tu les enrobes de façon à les rendre illisibles)
On te donne des carottes, tu t'empresses d'en faire une purée de carotte, et ensuite, tu voudrais qu'on fasse des carottes râpées à partir de cette purée de carotte.
A mon avis, pour faire des carottes râpées à partir de carottes, il vaut mieux que tu ne touches à rien.

Par exemple, à partir d'un nombre entier, pair ou impair, compter le nombre d'étapes paires et impaires qu'il y a entre cet entier et 1, c'est standard, basique, et ça apporte différentes informations.
Et toi, tu viens polluer ça, en parlant maintenant d'ordre collatzien ... qui n'apporte strictement rien, à part noyer celui qui voudrait te sortir de l'eau.

c'est marrant de voir que chaque $e$ possède un i_source spécifique de la forme 4n+3 ou 8n+1 qui s'associe avec le terme correspondant

ça me rappelle un de tes tous premiers messages , à propos des clusters :
Ohh, on constate que les éléments qui ont le même nombre d'étapes paires et impaires sont proches les uns des autres, cette coïncidence est surement le début d'une piste. etc etc et depuis, tu fantasmes sur cette piste.

Quelle drôle de coïncidence ... Non ! Ce n'est pas une coïncidence, c'est un résultat compréhensible par n'importe quel collégien un peu scientifique.
Là, ce truc que tu trouves marrant, à tous les coups, c'est du même niveau : c'est marrant de voir que quand on multiplie un nombre positif par 10, le résultat est plus grand que le nombre original.
Arrête de t'extasier à chaque fois que tu vois un résultat 'marrant', une coïncidence, c'est systématiquement un truc explicable par 2 ou 3 calculs de lycéen.

PMF · June 2023

@lourrran
en bref tu n'as rien à dire, a part la cuisine à base de carottes : https://www.mesrecettesfaciles.fr/diaporama/les-meilleures-recettes-aux-carottes

PMF · June 2023

@lourrran
ordre collatzien = ordre de descendance des impairs à partir de 16 = 5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, ....
ordre arithmétique = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8....
Je te confirme que ce n'est pas le même.

lourrran · June 2023

Alors, définissons clairement l'ordre collatzien, si tu y tiens, plutôt que demander au lecteur de reconstituer l'algorithme par retro-ingeneering.
Pour un entier impair qui arrive à 1 à la fin de son parcours de Syracuse, on sait définir son nombres d'étapes paires et impaires
p(n) = nombre d'étapes paires entre n et 1
i(n) = nombre d'étapes impaires entre n et 1, n et 1 inclues.
exemple à partir de 21, le chemin complet est 3,10,5,16,8,4,2,1 il y a donc 3 étapes impaires et 5 étapes paires. i(3)=3 ; p(3)=5
Pour chaque entier n, on calcule i(n) et p(n) ; on définit également t(n)=i(n)+p(n) = nombre total d'étapes
Puis on trie l'ensemble obtenu en fonction de t(n), i(n) et n.
Autrement dit, on trie en fonction du nombre total d'étapes, puis en fonction du nombre d'étapes impaires, et enfin en fonction du nombre n lui-même.

Cette approche (quasi similaire) apparaît par exemple dans cette illustration animée.

PMF · June 2023

@lourrran
J'ai déjà dû donner une dizaine de fois la description de l'algorithme de descendance de 16.
Dont dans ce recap sur le théorie des clusters :
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2434166#Comment_2434166

Je pense donc que tu n'as rien compris depuis le début. Pour une raison très simple. tu n'es pas sur ce forum pour faire des maths, tu y es pour exercer une passion triste. Tu t'es dit que j'étais le débile de service qui va écrire des aneries. Ta proie, donc.

Sauf que non. Je sais très bien faire certaines choses comme l'analyse de données. C'est une démarche originale et sensée que d'étudier les suites sous cet angle. Si c'est bien fait, forcément on trouve des choses, on peut concevoir des modèles inédits. Et avec ces modèles, on peut commencer à élaborer une théorie. En cela devrait intéresser en principe des personnes dans le champ des mathématiques.

Quand j'ai publié mes graphs et expliquer mes modèles, @Collag3n n'a pas répondu en faisant des blagues, il a mis les formules correspondantes. Ces formules m'ont aidé à franchir un cap, et à plus pousser la construction de mes modèles. Et maintenant il y a des objets comme les i_source, les i_last, les déclinaisons 4n+1 (i = i_source*2^(2*k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3), la forme i=2^p+y.

Ce que j'essaie maintenant d'expliquer, c'est que des relations arithmétiques simples, qui n'ont pas de sens particulier en arithmétique, deviennent très importantes pour les modèles des suites.
Par exemple i=2^p+y avec y<2^p : p est le facteur d'échelle des clusters et y une variable d'ajustement : ce qui fait que dans un niveau "p" un impair plutot qu'un autre va être choisi. Toutes les variables : e, x, i_last, type, i_source, k, p, y sont en relation et expliquent parfaitement pourquoi pour x<34 on trouve ces 1878 descendants impairs et pas d'autres.

Ce tableau montre les descendants impairs de 16 pour x<=14, avec les valeurs de e, x, i_last, type, i_source, k, p, y
Check i vérifie que : $i = i_{\text{source}} \cdot 2^{2k-2} + \frac{2^{2(k-1)}-1}{3}$
Check e vérifie que : $e=\lfloor \dfrac{x-\log_2(i)}{\log_26}\rfloor$
Check x veréifie que : $x = \lceil e \cdot \log_2 6 + \log_2 (2^p + y) \rceil$

Avec ces quelques données, on voit déjà que k=1 si le type est 8n+1 ou 4n+3, et que k>1 pour tous 4n+1
On peut voir aussi que x-p est le même pour chaque valeur de e, par exemple x-p = 8 correspond à e = 3. Mais c'est trompeur parce que la règle exacte est : la différence x-p est la même pour tout couple {e, i_last}. En effet pour e = 5, x-p=14 si i_last = 5, et x-p=13 pour tout i_last <>5. Donc i_last à une importance qui ne peut être comprise que si on analyse les données de cette façon. Et in fine cela a forcément une importance dans la compréhension des suites.
Mais voilà. C'est le shtam et c'est @lourrran l'ambiancieur. Que va-t-il dire? Quelle blague va-t-il sortir ? Les carottes, les collégiens ? On attend.

Wilfrid · June 2023

PMF a écrit :
Je sais très bien faire certaines choses comme l'analyse de données.

C'est à n'en pas douter, mais tu devrais comprendre également une chose. Prenons la suite que voici :

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...

L'analyse de cette suite te conduira à une conclusion à laquelle tous ceux qui l'ont observée pendant quelques secondes seront également parvenus, parce qu'il n'est pas possible d'en déduire autre chose. C'est ce qui se passe avec les suites de Collatz : quand on y a consacré beaucoup de temps on finit par comprendre certaines choses que d'autres auront déjà trouvées ou retrouveront un jour. Par conséquent, tout ce que tu considères comme une merveilleuse découverte de ta part n'en est pas une. Désolé, tout ça on le savait déjà.

D'autre part, la présente discussion est une répétition de celle d'août 2020 nommée "Un modèle pour Syracuse". Deux exemples :

i_source a pour ancêtre $n_{seed}$. La différence entre les deux est qu'à l'époque tu ne comprenais pas le concept de prédécesseur, alors qu'aujourd'hui tu fais une fixation dessus. La première apparition du $n_{seed}$ se trouve dans ce message.
Les nombres de la forme $8\,x-3$, dont nous avons parlé avant ton absence prolongée, ont été évoqués pour la première fois dans ce message. Tu ne comprenais pas ce qu'ils représentaient.

Bref, en trois ans ton discours n'a pas évolué d'un pouce.

PMF · June 2023

AH j'avais oublié. Quand c'est pas @lourrran c'est @Wilfrid ...

Wilfrid n'a aussi strictement rien compris de ce que je propose.

Cette formule : $i = i_{\text{source}} \cdot 2^{2k-2} + \frac{2^{2(k-1)}-1}{3}$
tu la connaissais ?
Le fait que les i_source soient des 8n+1 et des 4n+3 tu le savais ?
Que les declinaisons des i_source soient des 4n+1, tu l'as déjà dis, et tu savais les calculer , en utilisant k pour trouver x ?
Tu as saussi dit un jour que les i_last ne servaient à rien. Grosse erreur :

Pour un impair $i$ avec $p = \lfloor \log_2(i) \rfloor$ et $i_{\text{last}}$ étant le dernier impair avant 1 de sa suite, la différence de longueur de suite $x - p$ est constante pour tous les impairs ayant le même $e$ et le même $i_{\text{last}}$ :

$x - p = \text{constante}$

Cette formule exprime que la différence entre la longueur de suite $x$ et la partie entière de $\log_2(i)$ est constante pour tous les impairs ayant le même $e$ et le même $i_{\text{last}}$.

Wilfrid · June 2023

Si je connaissais la formule $i = i_{\text{source}} \cdot 2^{2k-2} + \dfrac{2^{2(k-1)}-1}{3}$ ?

Évidemment puisqu'on trouve $n = n_{seed} \cdot 2^{2k}+\dfrac {2^{2k}-1}{3}$ dans ce message d'août 2020, et d'autres !!! J'ai donc eu tout le temps d'y réfléchir ! :-)

Tu crois qu'en renommant un objet à chaque nouveau fil tu fais à chaque fois une nouvelle découverte. Maintenant c'est l' "ordre collatzien". A ce propos, je n'ai plus de nouvelles de $n_{prédit}\,$; tu sais ce qu'il est devenu ?

Si je savais que les i_source (ce mot me donne à chaque fois la diarrhée) sont des 8n+1 et des 4n+3 ? Évidemment puisque tu en parles depuis le 30 mai ! On a trouvé par la suite bien plus simple : les nombres de la forme 8x-3 ne sont pas des i_source (désolé, je dois m'absenter), ce qui est beaucoup plus simple puisqu'on n'a qu'un seul test à effectuer. Mais tu n'as pas fais gaffe, bien sûr.

lourrran · June 2023

Tu écris sur ce forum pour être lu. Et les 2 seules personnes qui lisent ce que tu écris, tu les agresses. Bizarre !

Je lis, mais quand tu fais un message qui ressemble fortement à un résumé des 200 messages précédents, je ne fais pas l'effort de tout relire, je considère que ce résumé est complet. Mais effectivement, je raisonne comme si tu avais un comportement cohérent, et ce n'est peut-être pas une bonne idée.

Par exemple, là, tu énonces quelques propriétés sur les i_sources etc etc. Soyons sérieux un instant, ces découvertes sont des trivialités.

PMF · June 2023

@lourrran
Jai de la marge en tant qu'agresseur...
Comme toujours tu sors beaucoup de blabla moralisant/psychologisant en évitant soigneusement de reprendre un point précis.
Tiens au hasard, cette différence x-p est-elle une trivialité ? Si oui pourquoi? Le savais-tu avant que je n'en parle ?

PMF · June 2023

@Wilfrid
Que tu sois un lecteur assidu de ce fil, je m'en suis rendu compte, et je t'en remercie. Nous avons aussi parfois des échanges productifs. Mais je pense que tu as du mal à comprendre ce que je fais. Ce fil est pour moi un journal de recherches en cours (sans vanité). Mon idée au départ était de partager des données et leurs analyses avec des gens férus de maths, pour essayer de mieux comprendre cette étonnante et toujours passionnante suite de Collatz.

Tu t'étonnes de l'ordre collatzien, mais tu as écris toi-même un script python qui sort les impairs dans l'ordre de descendance $x$. Hum... 5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909....ce n'est pas exactement l'ordre arithmétique, sauf erreur de ma part ! C'est pourtant un ORDRE puisque ce n'est pas produit de manière aléatoire. Il y a un ordre x, par exemple 1365, 213, 227, 35 sont en x=13, mais on remarque que ces 4 nombres n'arrivent pas non plus dans un ordre arithmétique (à condition que le script ne fasse pas un "sort" qui les remet dans l'ordre arithmétique).

Donc l'ordre collatzien est l'ordre de descendance. C'est une notion très importante au même titre qu'il y a un ordre des nombres premiers : si 7 est premier c'est bien parce que ses "prédécesseurs" 2, 3, 5 ne le divisent pas.

Donc dans l'ordre collatzien, puisqu'on ne parle que d'étapes et de suites, si un impair est arrivé à un certain rang de descendance, il peut servir d'étape à des impairs dont le rang de descendance sera plus grand que le sien. Une déclinaison d'un i_source ne peut pas arriver avant le i_source lui-même.

Dans la théorie des clusters, un impair est donc d'abord et avant tout une "étape", c'est-à-dire un membre d'une suite, définissable par des propriétés de suites (cluster e, x), auquel on ajoute un i_last parce que les suites sont remarquables par leur dernière étape impaire avant 1. Dans un deuxième temps, on cherche des formes arithmétiques simples comme i=2^p +y, x-p, ou les formes 8n+1, 4n+3, 4n+1 et ont voit qu'il y a alors des correspondances avec les propriétés des suites. Il y a donc des liens entre $i$ impair de l'arithmétique et $i$ étape d'une suite de collatz et membre d'un cluster {e, x}. Donc ces variables rang, i, e, x, i_last, type, i_source, k, p, y, x-p sont reliées inévitablement dans un système unique.

PMF · June 2023

@lourrran @Wilfrid

Puisqu'on en est à la critique de ma démarche, je me permets de l'analyser moi-même.

Une approche "heuristique" consiste à analyser un système en se concentrant sur des aspects spécifiques, en utilisant des règles empiriques, des intuitions ou des approximations pour formuler des hypothèses et des solutions partielles. C'est une approche souvent pratique, qui se base sur des observations et des expérimentations pour trouver des solutions pragmatiques à des problèmes spécifiques. Il y a donc beaucoup de cette approche dans mon travail depuis 3 ans environ.

En revanche, une approche "holistique" considère le système dans son ensemble, en mettant l'accent sur les interactions et les interdépendances entre ses différentes composantes. Elle cherche à comprendre le système dans sa globalité, en examinant comment ses parties interagissent et influencent mutuellement leur fonctionnement. Cela implique souvent une vision plus large, une analyse systémique et une prise en compte des contextes plus larges. Au fur et à mesure que j'avance, l'approche heuristique tend à devenir holistique, parce que des concepts se sont mis en place, et une synthèse de decouvertes des plus insignifiantes au plus importantes commence à se pouvoir se faire.

Dans le contexte de la théorie des clusters, si on cherche à exprimer que toutes les relations que l'on trouve sont interconnectées et font partie d'un système cohérent, l'approche "holistique" va devenir la plus importante, c'est elle qui va faire du sens. Mais cela n'empêche pas que les "coups de sonde" de l'approche heuristique vont encore et toujours trouver ces petits trucs qui apportent tant d'information.

Dom · June 2023

Une conjecture est d’abord confirmée par plein plein plein d’essais.

Ensuite on parle de démonstration.

C’est là qu’à chaque fois on retombe sur les échanges contenant des désaccords.

Tu fournis encore tes statistiques. Un nouveau vocabulaire. Puis de nouvelles conjectures « est-ce que « $ab + 3\ell$ » est constant ? » (c’est un exemple).

Il serait pertinent d’ajouter ensuite : si la nouvelle conjecture est vraie ALORS ça démontre Collatz (ou implication dans un autre sens, etc.).

C’est ça, faire des maths.

Le malentendu est là.

Te dis-tu en recherche d’une démonstration ou bien en recherche d’autres faits statistiques amusants ?

lourrran · June 2023

cette différence x-p est-elle une trivialité

J'espère que tu es conscient que cette question ne veut rien dire. Une différence n'est jamais une trivialité, une différence n'est pas une propriété. Il manque le mot 'égal' par exemple.
Reformulons la question pour en faire une question sensée (forcément différente de la tienne, et avec quelques mots volontairement différents des tiens, je n'ai pas envie de faire tout le travail d'archéologie nécessaire pour retraduire ta question en question claire).

Question correctement formulée :

le fait que le calcul $a-b$ donne le même résultat pour chaque entier $n$ et pour le $i_{pmf}$ correspondant, est-ce une trivialité ?

Réponse :

Pour chaque n, on définit $i_{pmf}$ à partir de certaines règles ; une des règles est que $b(i_{pmf}) = a(i_{pmf})+b(n)-a(n)$.

Le constat $b(i_{pmf})- a(i_{pmf}) = b(n)-a(n)$ est donc une trivialité.

Je ne sais pas de quelle différence tu parles, je ne sais pas sur quoi tu me challenges, mais j'ai la certitude que la démonstration de ton résultat est de ce niveau.

lourrran · June 2023

Tu dis que tu as des connaissances en analyse des données.

Je sais très bien faire certaines choses comme l'analyse de données. C'est une démarche originale et sensée que d'étudier les suites sous cet angle. Si c'est bien fait, forcément on trouve des choses, on peut concevoir des modèles inédits. Et avec ces modèles, on peut commencer à élaborer une théorie. En cela devrait intéresser en principe des personnes dans le champ des mathématiques.

Mon métier, c'est l'analyse des données.
D'où ce goût commun pour les nombres.
Avec une différence, une formation mathématique 'très poussée' chez moi.

Je suis désespéré parce que tout ce que je t'ai expliqué il y a 3 ans, ça ne t'a servi à rien. Tant de temps passé pour t'apprendre des choses, et 3 ans après, tu en es toujours au même point ; il y a 3 ans, on a passé 6 mois sur le sujet, en avançant peu, c'est clair. Au niveau de la compréhension des problématiques, tu es au même point qu'il y a un peu plus de 3ans, disons le niveau que tu avais atteint après 3 mois de cours particuliers.

Cet extrait que j'ai recopié, ça me rend dingue.

PMF · June 2023

@lourrran

Si l'énoncé "x-p est constant pour le même nombre d'étapes impaires e et le même i_last" signifie que pour un ensemble donné d'impairs ayant le même nombre d'étapes impaires e et le même i_last, la différence entre x (la longueur de la suite de Collatz) et p (la partie entière de log2(i)) est constante, alors cela n'est pas une trivialité.

La relation b(ipmf) = a(ipmf) + b(n) - a(n) que tu mentionnes n'est pas directement liée à la constance de x-p pour le même e et le même i_last. La constance de x-p dépend de la dynamique spécifique de la suite de Collatz et des propriétés des impairs qui la composent.

PMF · June 2023

@Dom
Je te remercie de participer à ce fil de discussion. C'est dommage que tu considères de manière un peu négative ce que tu appelles des "statstiques amusantes". Pourtant l'observation attentive des suites, dans le modèle que j'ai proposé des clusters, relève à mon sens un peu plus que de "statstiques amusantes".
Voici un exemple bien précis. Comme tu le sais si tu lis ce fil, j'ai une base de données de 1878 impairs répartis en 151 clusters {e, x} qui répresentent de manière exhaustive toutes les étapes impaires possibles de n'importe quelle suite dans le "range" des longueurs de suites x<=34. Cela veut dire que même si une suite fait plus d'un milliard d'étapes avant 1 (x>=10^9), elle va passer par une des 1878 étapes dès qu'elle entrera dans les 34 dernières étapes (paires et impaires). La construction de cette liste est faite en calculant la descendance impaires de 16 et commence par 5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909....
Donc en calculant 10.000 suites dont l'impair de départ est choisi de manière aléatoire, on peut vérifier les occurences pour savoir par quelles étapes impaires ces suites passent dans le ''range'' de longueur de suite x<=34.

Donc voici un petit problème aux @lourrran, @Wilfridet autres qui savent tout :
Sachant que l'on tire au hasard des impairs et que l'on garde en mémoire leurs valeurs de suite de Collatz x, e, i_last et type, quel est :
1) la longueur $x<=34$ la plus fréquentée ?
2) Le nombre d'étapes $e<=11$ le plus fréquenté ?
3) Dans ce cluster {e, x} le plus fréquenté, quel est l'impair $i$ le plus "populaire"?
4) A quel i_last (dernière étape impaire avant 1 tel que 3i+1 est une puissance de 2) correspond le $i$ le plus populaire du point 3
5) Quel est le type 8n+1, 4n+3 ou 4n+1 de cet impair ?
6) Peut-on noter que cet $i$ le plus populaire représente une fréquence exceptionnelle et nettement différenciée des autres étapes impaires un peu moins populaires ?
Je donnerai les réponses demain, mais d'ici là, certains l'auront fait les doigts dans le nez ?

lourrran · June 2023

pour un ensemble donné d'impairs ayant le même nombre d'étapes impaires e et le même i_last, la différence entre x (la longueur de la suite de Collatz) et p (la partie entière de log2(i)) est constante

Effectivement, ce n'est pas une trivialité, mais c'est une conjecture.
Et il est certain que cette conjecture est fausse, mais c'est assez normal que tu ne trouves pas de contre-exemple, les premiers contre-exemples que j'entrevois sont ... très lointains (des nombres avec au moins 27 chiffres, dans le meilleur des cas)

Je cherche des configurations (des clusters) $(i_{last}, k,m)$ du type $i_{last} * 3^k$ très proche de $2^m$ et $i_{last} \times 3^k$ un peu inférieur à $2^m$.
Je trouve $85*3^{54}$ qui est très proche de $2^{92}$
Ca veut dire quoi ? Ca veut dire que les nombres qui ont 54 étapes impaires avant d'arriver à 85 sont tous très proches d'une puissance de 2. Dans le lot, on peut avoir des nombres un tout petit peu en dessous d'une puissance de 2, et d'autres un tout petit peu au-dessus de cette puissance de 2.
$85*3^{54}= 2^{91.997366}$

L'écart $92-91.997366=0.00263402$ est peut-être trop grand, ce n'est donc pas sûr que ce cluster donne des contre-exemple. Il faut trouver d'autres configurations. Mais pas d'inquiétude, $\frac{ln(3)}{ln(2)}$ étant irrationnel (tu es bien conscient que cet argument est essentiel ?), on parle d'un ensemble qui est dense dans ]0; 1[ et donc il existe des configurations où l'écart est aussi petit qu'on veut ; en termes non mathématiques pour que tu comprennes : si on veut trouver un truc $(i_{last}, k,m)$ du type $i_{last} * 3^k$ très très très proche de $2^m$, et donc si on veut trouver un contre-exemple à ce que tu affirmes, il suffit de chercher, on trouvera.

Wilfrid · June 2023

PMF a écrit :
Sachant que l'on tire au hasard des impairs et que l'on garde en mémoire leurs valeurs de suite de Collatz x, e, i_last et type, quel est ...

Désolé d'avoir à le dire, mais cette série de questions est d'une stupidité abyssale. Personne ne va créer une base de données identique à la tienne dans le seul but de répondre à tes questions. Par conséquent, personne ne va y répondre.

N'oublie pas que tu parles de suites standard, incohérentes par définition (voir ce message). S'il est facile d'obtenir la liste exhaustive des suites compressées dont la longueur et le nombre de termes impairs sont donnés, il est extrêmement difficile – voire impossible – de faire la même chose avec les suites standard, sauf par force brute, ce qui peut prendre des années de calcul. Ou nécessiter une base de données si gigantesque que même Amazon ne pourrait pas l'héberger. Et comme je l'ai déjà signalé à plusieurs reprises, il existe beaucoup plus de suites compressées de longueur donnée que de suites standard. Donc tes questions n'ont aucun sens si tu ne spécifies pas que tu parles de suites standard et si la personne à qui elles s'adressent ne dispose pas de la même base de données que la tienne.

Pour en revenir à $x-p$, deux questions : 1) aurais-tu quelques exemples numériques, et 2) comment expliques-tu ce fait ?