generate_sequence(start_val, k_max, n): génère une séquence à partir de start_val jusqu'à k_max étapes, en s'arrêtant après qu'elle a n éléments. Elle n'ajoute un élément à la séquence que s'il est un entier, impair, non multiple de 3 et différent de 1.
recursive_sequence(e_max, x_max, k_max, n): c'est la fonction principale qui génère toute la séquence, en appelant à plusieurs reprises generate_sequence() avec des paramètres mis à jour à chaque itération. Elle commence par les valeurs initiales de i et pour chaque e, elle génère des séquences et met à jour les valeurs de i. Elle vérifie également que e et x ne dépassent pas leurs valeurs maximales.
ce script avec ces réglages a la particularité de trouver tous les impairs non multiples de 3 parmi les descendants impairs de 16 jusqu'à x=34
PMF a écrit : voici les exemples pour quelques valeurs de i qui sont sur la première ligne
Je ne vois pas ce qu'il y a de si difficile à comprendre dans ce message. Le tableau que tu proposes ne fait que le confirmer, les colonnes 5, 3, 17, 11, ... contiennent toutes une suite de prédécesseurs, respectivement de 1, 5, 13, 17 ... Pourquoi n'es-tu pas simplement d'accord avec ce fait ?
Je viens de t'expliquer que ce code est mal conçu puisqu'il calcule des dizaines de milliers de fois math.log2(6), qui est une constante et ne devrait donc être calculé qu'une seule fois. Je ne sais pas où tu te fournis en code Python mais tu devrais envisager de changer de source.
Quant aux fonctions Python en elles-mêmes, elles calculent quelques prédécesseurs non-multiples de 3 des entiers impairs non-multiples de 3 à partir de 1. On peut faire la même chose beaucoup plus simplement en Wolfram Language :
Je ne vois pas ce que tu cherches à démontrer avec les prédécesseurs. Tu perds ton temps.
Non. Chacun a des objectifs différents. Certains veulent démontrer la conjecture. D'autres veulent explorer des pistes pour éventuellement trouver des résultats partiels nouveaux. Si PMF était dans cette démarche, alors, oui, on pourrait lui dire qu'il fait fausse route et qu'il perd son temps.
Je pense que PMF est dans une autre démarche ; quelle démarche, ça ne regarde que lui.
Par exemple, je m'imagine dans 30 ans, pour me prémunir contre un Alzheimer, je pourrais avoir ce type d'activités 'intellectuelles'. Pourquoi pas. A titre thérapeutique. Et je posterais mes calculs sur un site de matheux, pour recevoir un soutien.
Pour simplifier, dis-toi que PMF cherche à occuper son temps libre, en faisant des calculs autour de la conjecture de Syracuse, et peu importe si des centaines de lycéens ont déjà fait les mêmes analyses il y a 20 ou 30 ans.
Il ne perd pas son temps, il occupe son temps libre.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourrran ce qui formidable chez toi, c'est que tu t'es visiblement trompé de forum : celui est consacré aux maths et pas à la psychologie de comptoir.
@lourrran@Wilfrid Ma recherche porte sur la constitution complète d'un cluster {e, x} qui ne serait généré que par des formules génériques à tout type de clusters. Je peux à ce jour générer au moins un élément de ces clusters. Le deuxième niveau qui décline cet élément à tous les autres est en cours.
J'ai omis de fournir un exemple de ce que renvoie la fonction ci-dessus en langage Wolfram. Mais d'abord, un extrait de ce que produit le code Python de PMF :
On est bien face aux mêmes données, qui sont des listes de prédécesseurs. J'ai programmé cette fonction il y a 7 ou 8 ans, ce qui veut dire que ça ne m'a conduit à rien de concret, et que surtout je sais de quoi je parle. Mais PMF persiste à tenter de me convaincre qu'il a trouvé quelque chose de nouveau ! Il ne lui vient pas à l'esprit en regardant mon code (mais il ne le regarde pas) qu'on n'a pas besoin de calculer un logarithme et de prendre l'entier supérieur, d'arrondir quoi que ce soit, ou de s'assurer que le nombre qu'on teste est bien entier (if temp % 1 == 0), mais que c'est un calcul simple et direct. Et demain il sortira une autre fonction d'on ne sait où, qui refera l'erreur de calculer cent mille fois le log de 6 et produira de nouveau des listes interminables de prédécesseurs. Et après-demain rebelote. Et dans 100 pages on y sera encore. Il ne veut rien savoir, rien écouter, rien apprendre. C'est à se taper la tête contre un mur.
lourrran a écrit : Il ne perd pas son temps, il occupe son temps libre.
Alors disons qu'il fait perdre leur temps à tous ceux qui ont eu la mauvaise idée de tenter de l'aider à faire la différence entre l'espoir et la réalité, puisque de toute évidence ils ont échoué.
Ni l'un ni l'autre. Je lancerais volontiers un défi à quelqu'un dont je reconnais la capacité à faire avancer le problème 3n+1. Ce n'est pas ton cas. Tu es mauvais en tout, sauf éventuellement en analyse de données. Mais le pire c'est ton incapacité à exprimer une idée clairement. Si tu devais expliquer pourquoi 1 + 1 = 2 ça te prendrait au minimum 10 lignes et à la fin tout le monde serait largué. A ce propos, je me suis demandé pendant un moment d'où tu sortais le code Python que tu as posté ces derniers temps. J'ai soupçonné qu'il avait été généré par GPT-4 (bien que je doute qu'il ait pu commettre les erreurs que j'ai décrites), mais j'ai fini par réaliser que c'était impossible : tu ne serais jamais parvenu à décrire le contexte du problème à GPT-4, pas plus qu'à lui expliquer ce que tu attendais de lui. No way.
En ce sens on peut te comparer à Idriss Aberkane. Personne n'étant parvenu à comprendre sa démonstration de la conjecture de Collatz, aucun avis n'a pu être émis quant à sa validité. C'est exactement ta stratégie : remplir des dizaines de pages d'un tel galimatias que le doute sur sa réelle signification persiste tout au long du fil, ce qui lui permet de durer, durer, durer encore, parce qu'on ne sait jamais, quelque chose de concret pourrait en sortir, n'est-ce pas ? Eh bien non. Après une bonne cinquantaine de pages (plus personne ne les compte) le moindre atome de quoi que ce soit de concret n'est jamais apparu sous le microscope. Hormis le calcul assez juste des premières valeurs de ce que tu as nommé à tort et pompeusement i_source (mais pour le nommer correctement il aurait fallu que tu comprennes de quoi il s'agissait), méthode de calcul malheureusement inexploitable. Pour cette seule raison je me limiterai à parler d'un bilan proche du zéro absolu. Toutes tes pseudo-découvertes ont été démontées et invalidées les unes après les autres.
Donc non, je ne te lance aucun défi, pas plus que je ne parierais un kopeck sur une quelconque véritable "découverte" de ta part.
@Wilfrid Je pense réciproquement que tu n'as pas compris grand chose à la conjecture de Collatz. Tout ce que tu définis comme mon "incapacité à exprimer une idée clairement" est réciproquement tout un ensemble conceptuel qui t'est totalement étranger. Que n'aurais-je entendu de ta part sur les clusters {e, x}, les suites d'impairs, les i_source, les suites primaires, ect... Note que je ne passe pas mon temps à te critiquer, alors que les raisons ne manquent pas de la faire. Je me concentre sur un échange parce qu'il y a parfois des choses intéressantes, et c'est évidemment tes connaisssances en dev dans le cadre de Collatz qui enrichissent l'échange. Mais comme tu as sérieusement chargé la mule à mon sujet dans ton dernier message, comme on dit chez nous, à crétin, crétin et demi. Ton plus gros défaut est un manque d'ouverture d'esprit. Tout ce qui est nouveau te fait peur. Tu es comme assis dans une gare, avec tes précieux bagages conceptuels à côté de toi, mais tu ne montes jamais dans un train. Et puisque tu viens de te mettre dans la position de l'autorité compétente, tu n'auras aucune difficulté à résoudre ce petit quizz : Dans ces 3 séquences, quelles sont les valeurs de a, b, c, d, e, f, g, h, i, j :
@Wilfrid, la différence c'est qu'Idriss est un baratineur, son truc c'est le "bullshit". Comme pour tout ce qu'il dit ou fait, il se fout de savoir si c'est vrai. http://i.imgur.com/JmXStJL.jpeg
Es-tu en mesure de fournir une explication détaillée de l'une des réponses ?
Qu'est-ce que ce genre d'exercice est supposé démontrer ? Que tu sais de quoi tu parles ? Que tu as contribué à améliorer notre compréhension des suites de Collatz ? Que tu as fait une grande découverte ?
Ils réprésentent des impairs dont les suites de Collatz ont toutes en commun d'avoir 3 étapes impaires (e = 3). En définissant la dernière étape impaire i_last tel que 3*i_last+1 est une puissance de 2 La ligne 1 montre ceux dont i_last = 5 La ligne 2 montre ceux dont i_last = 85 La ligne 3 montre ceux dont i_last = 341
je vous repose donc un nouveau quizz : Quel est l'impair le plus petit ayant une suite de Collatz de 65 étapes impaires (e = 65) ? Quelle est la longueur x de la suite de cet impair ? Quel est le i_last de cet impair ?
PMF a écrit : [ces nombres] représentent des impairs dont les suites de Collatz ont toutes en commun d'avoir 3 nombre d'étapes impaires (e = 3).
Les suites qui ont en commun de compter 3 termes impairs sont en nombre infini. Ce qui permet de les rendre dénombrable est l'adjonction de leur longueur. Si je veux savoir combien il existe de suites possédant 3 termes impairs, j'ajoute qu'elles sont toutes de longueur 20 par exemple. Sinon il n'existerait aucune réponse à ma question.
Il était par conséquent impossible de répondre à ton "quiz" sur ce seul critère. Je me demande d'ailleurs comment tu as pu le concocter. Je t'ai demandé de le préciser mais tu n'as pas répondu. Je vais donc expliquer comment j'ai "décrypté" la première séquence, à savoir 17, 35, 1137, 2275, a, b, c, 9320675. La méthode est identique pour les deux autres :
Le successeur respectif de 17, 35 et 1137 est 13, 53 et 853.
Le successeur unique de 13, 53, 853, ... est 5.
Les prédécesseurs de 5 non multiples de 3 sont 13, 53, 853, 3413, 54613, 218453, 3495253, 13981013.
Le plus petit prédécesseur de chacun de ces termes est 17, 35, 1137, 2275, 72817, 145635, 4660337, 9320675, ce qui constitue la réponse à la question. Leur plus petit prédécesseur non-multiple de 3 est respectivement 17, 35, 4549, 2275, 72817, 582541, 4660337, 9320675, ce que j'ai ensuite indiqué.
Aucun besoin du nouveau concept i_last, qui semble-t-il vient juste de sortir et rend tes explications encore plus nébuleuses.
Passons maintenant au nouveau quiz : "Quel est l'impair le plus petit ayant une suite de Collatz de 65 étapes impaires ?".
Réponse : 871 si on compte le terme initial parmi les termes impairs. La longueur de sa suite standard est 178 si on ne compte pas le 1 final.
Comme tu sembles souvent avoir des soucis avec certaines de mes définitions, voici un point précis sur les clusters et leurs propriétés essentielles
Un cluster est un ensemble d'impairs partageant le même nombre d'étapes impaires $e$ et de longueur de suite $x$
i_source : Les i_source sont un sous-ensemble particulier de nombres impairs dans les clusters avec un nombre donné d'étapes impaires, e. La propriété distinctive d'un i_source est que le résultat de (i_source-1)/4 est soit un entier pair, soit un nombre décimal. Cela signifie que les i_source ne sont pas des déclinaisons d'autres nombres impairs dans leur cluster.
Déclinaisons de i_source : Pour tous les autres nombres impairs dans des clusters ayant le même nombre d'étapes impaires $e$, ils sont des déclinaisons d'un i_source particulier. Les déclinaisons suivent la formule i = i_source2^(2k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3 où k est un entier positif > 1.
i_last et cas particulier pour e=1 : Pour les clusters où e=1, tous les nombres impairs (nommés i_last) sont des déclinaisons car ils découlent de 1 par la formule i'=4*i+1 : 1, 5, 21, 85, 341....Ce qui fait que (i_last-1)/4 est toujours impair .... De plus, ces i_last, ont la propriété particulière que le calcul i_last * 3 + 1 produit une puissance de 2, et revient donc trivialement à 1.
Très bien pour 871. Puisque tu aimes les quizz : Soit les clusters pour e = 3. Si tu as trouvé 871 pour e =65, je suppose que tu sais que ce sera 17 pour e=3. Ce 17 est le "seed" des clusters en e = 3. il y a 191 impairs ayant e=3 étapes impaires en limitant la longueur à x = 34 :
On remarque que 17 est au début de la liste. On peut vérifier que n'importe quel impair qui n'est pas un i_source revient à un i_source comme par exemple : 9262421 revient à 35 en répetant l'opération (i-1)/4 : 9262421, 2315605, 578901, 144725, 36181, 9045, 2261, 565, 141, 35. Saurais-tu trouver les i_source pour e =5 en limitant la longueur à x = 34 ?
PMF, Peux-tu réécrire tes définitions en les mettant dans l'ordre. Dans la définition de i_source, tu parles de déclinaison. Je ne connais pas ce concept. Tu dois définir ce concept de déclinaison AVANT de l'utiliser dans une autre définition, et pas après. J'ai bien vu que tu définissais ensuite ce concept de déclinaison. Mais dans la définition de déclinaison, tu parles des 'autres nombres impairs', tu pars donc du principe que les i_source sont déjà définis. Ca boucle.
Bilan, je ne sais pas ce que tu appelles i_source, malgré ma bonne volonté.
Jusque là, je pensais que chaque cluster avait un i_source qui était le plus petit entier impair de ce cluster. Mais si c'était ça, tu aurais probablement réussi à le dire de façon claire. C'est donc probablement autre chose.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Cluster : Un cluster est un ensemble de nombres impairs qui partagent le même nombre d'étapes impaires, $e$, et la même longueur de suite, $x$.
i_last : Les i_last sont un sous-ensemble particulier de nombres impairs dans les clusters où e=1. Chaque i_last découle de 1 par la formule i'=4*i+1, ce qui signifie que (i_last-1)/4 est toujours un nombre impair : 1, 5, 85, 341.... De plus, chaque i_last a la propriété particulière que le calcul i_last * 3 + 1 produit une puissance de 2, ce qui revient trivialement à 1.
i_source : Un i_source est un nombre impair particulier dans les clusters où e > 1. Un nombre impair i est un i_source si et seulement si, pour tout nombre impair i', il n'existe pas de nombre entier positif k > 1 tel que i' = i*2^(2k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3, à moins que i = i' et k = 1. Plus formellement, un i_source est un nombre impair tel que (i_source-1)/4 est soit un entier pair, soit un nombre décimal.
Déclinaisons de i_source : Les déclinaisons sont les autres nombres impairs dans un cluster ayant le même nombre d'étapes impaires, $e$, que le i_source. Ils découlent de l'i_source par la formule i = i_source2^(2k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3 où k est un entier positif > 1.
Corollaire : Il existe un type de suite qui commence avec un i_source et se termine avec un i_last en $e$ étapes impaires. Si cette suite revient à 1, alors toutes les suites qui commencent par des déclinaisons de ce i_source reviendront également à 1.
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui a écrit : si vous êtes intéressé par une preuve simple ...
Tu as sans doute remarqué que dans ce fil, l'idée de "démonstration" de la conjecture est totalement absente (sauf sans doute dans la tête de PMF). Il s'agit uniquement de mieux comprendre certaines propriétés des suites de Collatz, rien de plus, ce qui n'interdit aucunement d'introduire des concepts tels que le dénombrement des suites de longueur donnée, chose que personne n'avait tenté auparavant, ou sans succès.
PMF a écrit : voici un point précis sur les clusters et leurs propriétés essentielles
Tu oublies une chose tout aussi essentielle : tu parles d'un écosystème propre à PMF. Durant 90 ans on n'a pas eu besoin de clusters, de i_source, de i_last et de je ne sais quoi encore d'aussi bizarroïde – et en ce qui me concerne je n'en ai toujours aucun besoin. Je décris entièrement une suite de Collatz grâce à son premier terme $n_0$, à sa longueur et à son type (nombre de termes impairs entres $n_0$ et 1). C'est tout. Le reste est superfétatoire et n'a pu jaillir que d'une pensée confuse, incapable de construire la représentation mentale simplifiée d'un problème de manière à le définir complètement à l'aide d'un minimum de concepts. Cette confusion rejaillit également sur ton incapacité à exprimer une idée de manière claire. Quand on comprend clairement quelque chose on est capable de le décrire intelligiblement. Mais il est vrai qu'après 3 années passées à modifier constamment sa propre terminologie, on ne peut finir que complètement largué.
En me proposant un ensemble de définitions exprimées de manière tout aussi obscure qu'à l'accoutumée, tu tentes d'éluder la question que je t'ai posée déjà deux fois : comment as-tu conçu le "quiz" des séquences de nombres dont certains sont remplacés par une lettre ? Je t'ai expliqué plus haut que le coup des "suites ayant en commun 3 termes impairs" ça ne marchait pas, qu'il fallait en plus une longueur commune. Or, la longueur respective des suites de 17, 35, ..., 9320675 est 13, 14, 19, 20, 25, 26, 31, 32. Tu dois bien comprendre que tu ne peux pas prendre éternellement les gens pour des ignorants et des demeurés, n'est-ce pas ?
lourrran a écrit : Jusque là, je pensais que chaque cluster avait un i_source qui était le plus petit entier impair de ce cluster. Mais si c'était ça, tu aurais probablement réussi à le dire de façon claire.
Ben non justement. Il n'y a aucun espoir qu'il sache un jour s'exprimer clairement. Si tu relis ses messages (ce que je n'ai pas fait et que je ne conseille à personne, donc uniquement de mémoire) tu verras qu'il parle depuis très longtemps de clusters sans jamais avoir défini ce concept. Idem avec les i_source, les i_last et les i_diot. Je n'ai pour ma part fini que tardivement par comprendre ce qu'il entendait par "cluster".
@Wilfrid J'ai beaucoup échangé avec PMF il y a 3 ans sur ce forum., comme tu le fais aujourd'hui. De temps en temps, il évoquait l'hypothèse que ces calculs étaient des pistes pour une démonstration, et je lui disais alors clairement qu'il rêvait totalement. La notion de cluster était au coeur de ces discussions. Les clusters de 2020 étaient un peu différents des clusters actuels, puis qu'il définissait un cluster ainsi : - Tous les entiers impairs qui arrivent à 1 avec le même nombre d'étapes impaires, le même nombre d'étapes paires et le même dernier impair forment un ensemble homogène, qu'on va appeler cluster. Je me suis battu pour qu'il redéfinisse ses clusters, comme ils sont aujourd'hui. Donc la définition de cluster, je la connais. @PMF Nouvelle définition de cluster : ok Définition de i_last : Ok, compréhensible. i_source : je ne comprends pas. Je vais recopier, en rendant les formules mathématiques lisibles, comme ça, si quelqu'un souhaite comprendre, il aura un support valable.
i_source : Un $i_{source}$ est un nombre impair particulier dans les clusters où $e > 1$. Un nombre impair $i$ est un $i_{source}$ si et seulement si, pour tout nombre impair $i'$, il n'existe pas de nombre entier positif $k > 1 $ tel que $i' = i*2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$, à moins que $i = i'$ et $k = 1$. Plus formellement, un $i_{source}$ est un nombre impair tel que $\frac{i_{source}-1}{4}$ est soit un entier pair, soit un nombre décimal.
Déclinaisons de i_source : Les déclinaisons sont les autres nombres impairs dans un cluster ayant le même nombre d'étapes impaires, $e$, que le $i_{source}$. Ils découlent de l'$i_{source}$ par la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$ où $k$ est un entier positif $> 1$.
En retapant tout ça, je vois à peu près à quels messages de 2020 ça fait référence. En gros, dans un cluster avec une centaine d'entiers impairs, il y a une dizaine de $i_{source}$ , c'est ça ?
Si tu veux intéresser tes lecteurs, il faut que tu donnes un cluster (un seul, ça suffit) avec 50 ou 60 entiers impairs, et que tu donnes la liste des $i_{source}$ de ce cluster. Comme ça, le lecteur verra très vite l'utilité (ou l'absence totale d'utilité).
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Ce que PMF appelle i_source est le plus petit prédécesseur d'un terme impair. Exemple : les prédécesseurs de 7 sont 9, 37, 149, 597, 2389, 9557, 38229, 152917, ... Dans ce cas, le i_source est 9.
Il se peut également que le i_source soit le plus petit entier impair dont la suite standard est de longueur donnée. En ce qui me concerne je le nomme $n_{0\,min}$.
PMF a écrit : un i_source est un nombre impair tel que (i_source−1)/4 est soit un entier pair, soit un nombre décimal.
PMF sort cette formule de ce message. Dans une suite de Collatz, le terme impair $n$ a une infinité de prédécesseurs $p_0,p_1,p_2,...$, où $p_0$ est le plus petit. Pour savoir si $p_i$ est le plus petit prédécesseur, un moyen simple consiste à calculer $p_{i-1}=(p_i-1)/4$ jusqu'à ce que $p_{i-1}$ soit pair ou décimal, auquel cas $p_i$ est le plus petit prédécesseur de $n$.
Mais on le calcule directement en faisant
$m=3-n \bmod 3$
Si $m=3$, $n$ est un multiple de 3 et n'a donc pas de prédécesseur. Sinon
$p_0=\dfrac{n \times 2^m-1}{3}$
Ceci confirme que ce que PMF appelle i_source est bien le plus petit prédécesseur d'un terme impair. L'explication qu'il en donne, dans la version clarifiée par lourrran, est tout simplement ahurissante et démontre s'il en était besoin qu'on ne doit pas s'attendre à comprendre quoi que ce soit à ce qu'il raconte. je soupçonne d'ailleurs qu'il ne le comprend pas lui-même.
@Wilfrid@lourrran Voici le script Python qui sort tous les descendants impairs de 16 pour x<=34 et indique par oui ou non si le i est un i_source. Je peux confirmer en utilisant une deuxième méthode que cette liste de 1878 impairs dont 704 i_source est parfaitement correcte
mport math
def calculate_e(x, i):
return math.floor((x - math.log2(i)) / math.log2(6))
def is_i_source(i):
result = (i - 1) / 4
# Si le résultat est un nombre décimal ou un nombre entier pair
if result % 1 != 0 or (result % 1 == 0 and result % 2 == 0):
return 'OUI'
else:
return 'NON'
def generate_impairs_and_clusters(x_max):
x = 4
current_generation = {2**x}
results = []
for _ in range(x, x_max + 1):
x += 1
next_generation = {2*num for num in current_generation}
for num in current_generation:
if (num - 1) % 3 == 0:
possible_odd = (num - 1) // 3
if possible_odd % 2 != 0 and possible_odd != 1:
e = calculate_e(x, possible_odd)
i_source = is_i_source(possible_odd)
results.append((e, x, possible_odd, i_source))
next_generation.add(possible_odd)
current_generation = next_generation
return results
x_max = 33
results = generate_impairs_and_clusters(x_max)
print("e, x, i, i_source")
for e, x, i, i_source in results:
print(f"{e}, {x}, {i}, {i_source}")
@Wilfrid@lourrran Si vous avez l'amabilité d'essayer le script que j'ai joint dans le message précédent, vous pouvez constater que : 1) ce que j'appelle liste des descendants impairs de 16 dans une limite de longueur x est une réalité tangible. Quand vous regardez la liste produite, et si vous pouvez traiter les données à minima, vous pouvez constater la réalité des clusters en les classant par e et par x. 2) vous pouvez vérifier que les 704 i_source permettent de calculer les autres i = i_source*2^(2*k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3 avec k>1. Je l'ai fait de manière intégrale. C'est ça qui est le point. Donc @lourrran je réponds à ta demande sur l'ensemble des clusters pour x<=34. Si tu veux me donner ton retour sur les résulats, je suis preneur. A part ça merci pour ta reformulation.
Les $i_{source}$ sont soit de la forme $4i+3$ (Aberkane les appellent des A(x)), soit de la forme $8i+1$ (Aberkane les appellent des C(x)).
On peut effectivement trouver la branche associée à ces $i_{source}$ (Aberkane les appellent des V(x)) via ta formule $i_{source}\cdot 4^l+\frac{4^l-1}{3}$, ce qui donne (si tu remplaces $i_{source}$ par une des 2 formes citées):
Avec ça on voit facilement que Aberkane n'a rien produit de génial comme il aime le prétendre, et qu'il est loin d'avoir résolu quoique ce soit avec ses ACV.
Je te confirme bien que les 704 i_source pour x<=34 sont bien de la forme 4i+3 ou 8i+1. Néamoins en testant que (i-1)/4 est soit un entier pair soit un décimal, ça marche très bien aussi.
Ma réponse est aussi un peu destinée à @lourrran et @Wilfrid. Je suis beaucoup interrogé sur le sens de ma démarche. Donc voici ma conviction :
1) La conjecture est vraie de manière restreinte pour tout calcul des descendants impairs de 16 pour une certaine valeur limite de x, la longueur de la suite. Elle est donc vraie "restreinte à une valeur limite de longueur". Faire une liste de descendance n'a rien à voir avec tester des milliards de milliards d'entiers dans l'ordre arithmétique. Cela ne fait que générer des milliards de clusters qui sont quasi tous incomplets. Quand on calcule une liste de descendants, les clusters sont par contre complets dans le sens où tous les membres pour une valeur de e et de x sont bien là. Les clusters se forme aussi dans l'ordre, avec les e qui se suivent (e+1 n'apparait jamais avant e). Les formules que tu as données fonctionnent parfaitement et on peut les employer sans soucis dans des scripts Python.
2) Un élément de preuve que la conjecture est vraie (de manière restreinte) pour une liste de descendants dans une limite de longueur x, c'est que : Tout impair de cette liste a une suite d'étapes impaires qui revient à un i_last de la liste en ne passant que par des étapes impaires de cette liste (si e =1, c'est lui-même). Cette observation confirme que cette liste est un système totalement bouclé sur lui-même. En quelque sorte si j'ai 1878 impairs pour x<=34, cette collection n'a plus besoin de quoi que ce soit dans l'ensemble des entiers.
3) Le dernier élement de preuve renforce encore le système de boucle fermée : si on isole les i_source de la liste (il y en a 704 pour x<=34) alors on peut générer les 1174 autres avec la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$ avec k, un entier positif >1. D'ailleurs on peut modifier ta formule des intervalles comme ceci : $\frac{2^{x-e-1}}{3^e} < i_{\text{source}} \cdot 2^{2k-2} + \frac{2^{2(k-1)} - 1}{3} < \frac{2^{x-e}}{3^e}$
Le graal du graal serait de trouver les i_source de manière autonome sans génerer les descendants. On peut scripter la recherche du plus petit nombre impair qui génère une suite de Collatz avec e étapes impaires. Pour e=3 c'est par exemple 17. Puis il y aurait une formule inconnue qui dirait que si 17 correspond à i_last = 5, il y a un ensemble de i pour les autres valeurs de i_last :
Il y a quelques astuces pour en trouver certains. On peut faire du ping-pong avec les successeurs. Par exemple pour 17 :
i', i
17, 13
35, 53
1137, 853
2275, 3413
72817, 54613
145635, 218453
4660337, 3495253
9320675, 13981013 On calcule que le successeur de 17 est 13. On "décline 13" en faisant 4i+1 soit 13, 53, 213, 853, ... On vire les multiples de 3 et on cherche les plus petits prédécesseurs, ce qui donne la liste ci-dessus. Mais c'est juste très partiel. A suivre donc.
L'écriture 4i+3 ou 8i+1 est plus lisible. Elle permet de lister directement tous les i_source. Alors que ton autre formule ( on prend un nombre, on fait un calcul, et si le résultat est un entier pair bla bla bla), cette formule ne permet pas de lister directement tous les i_source, elle permet de tester tous les entiers un par un, et de rejeter ceux qui ne conviennent pas.
Question : Vous dites que les i_source sont certains nombres parmi les 4i+3 ou les 8i+1. Est-ce que TOUS les nombres 4i+3 ou 8i+1 sont des i_source ?
Soyons clair, je m'en moque de la réponse, mais je veux juste pointer le fait que tout ce discours n'est jamais clair/précis. Problème déjà relevé à plusieurs reprises par à peu près tout le monde.
Tiens, phrase suivante : La conjecture est vraie de manière restreinte pour tout calcul des descendants impairs de 16 - de manière restreinte ... ça veut dire quoi ? - pour tout calcul : ça veut dire quoi ? Pourquoi ne pas dire simplement La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16 Cette formulation a l'avantage (ou l'inconvénient ???) d'être claire.
Question : être clair, c'est un avantage , ou un inconvénient ? C'est une question sérieuse.
Enfin, il faut revenir aux fondamentaux : Tu explores des routes qui passent par le nombre 1. Et tu dis : tous les nombres qu'on rencontre sur ces routes sont reliés au nombre 1. Tu ne vois pas que c'est une lapalissade ? Collag3n pointait déjà le même type d'erreur ici même si à l'époque, c'était Wilfrid le fautif.
Mais je me répète, je t'ai dit ça des dizaines de fois, c'est clair, c'est simple, et tu refuses de comprendre un truc aussi évident que ça.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est très intéressant et cela amène droit à ma définition d'un i_last Comparons les nombres 85 et 53.
Comme nous le savons, 85 est
un i_last, ce qui signifie que 3*85+1 est une puissance de 2,
soit 256. Si nous regardons 256 en binaire, nous obtenons 100000000.
53 n'est pas un i_last,
et 3*53+1 est 160. En binaire, 160 est 10100000.
Maintenant, regardons la
représentation binaire de -256 et -160 et appliquons
l'opération ET:
256 en binaire est 100000000. Le complément à un de 256 est 011111111,
et l'ajout de 1 donne -256 en binaire, soit 100000000.
160 en binaire est 10100000. Le complément à un de 160 est 01011111,
et l'ajout de 1 donne -160 en binaire, soit 10100000.
Lorsque nous faisons
l'opération ET entre 256 et -256, et entre 160 et -160,
nous obtenons respectivement 100000000 (soit 256 en
décimal) et 10000000 (soit 128 en décimal).
Cela démontre que pour un i_last,
l'opération m & -m donne m lui-même (puisque m est
une puissance de 2), tandis que pour un i non i_last, m
& -m donne une puissance de 2 plus petite que m.
Cela renforce l'idée que les
nombres i_last ont une structure "binaire" particulière qui
diffère des autres impairs.
Ce script permet de vérifier si un
impair est un i_last en entrant "i=" avec la valeur souhaitée :
import math
# i impair donné
i = 85
m = 3 * i + 1
# diviseur de m
d = m & -m
nbr_div_2 = d.bit_length()-1
log2m = math.log2(m)
# Si log2m est un entier, convertir en int, sinon le laisser en float
if log2m.is_integer():
log2m = int(log2m)
if nbr_div_2 == log2m:
print(f"{i} est un i_last car le nombre de divisions par 2 de 3i+1 = {nbr_div_2} est égal à log2(3i+1) = {log2m}")
else:
print(f"{i} n'est pas un i_last car le nombre de divisions par 2 de 3i+1 = {nbr_div_2} est différent de log2(3i+1) = {log2m}")
Correction : Les 'bizarreries' dont tu parles en binaire ne se produisent que si tu fais l'erreur de stocker tes nombres sur 1 octet. Ou sur 1 octet et demi pour le cas 4096. Autrement dit : si on fait en sorte délibérément que le calcul soit faux, alors il est faux.
Calme toi. Tu fais de la sur-enchère pour prouver tout l'intérêt de tes théories, tu t'envoles, et tu écris n'importe quoi. Encore plus n'importe quoi que d'habitude. D'habitude , ce que tu écris est exact mais sans intérêt. Là, c'est faux.
Lis les liens proposés par Collag3n ... tu vas voir que d'autres que toi ont fait exactement les mêmes raisonnements que toi (On prend les nombres qui arrivent à 1 après une série d'étapes, et on regarde ces nombres, et on constate qu'ils arrivent absolument tous à 1). Et finalement, ils ont fini par comprendre que cette démarche ne mène à rien.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'écriture 4i+3 ou 8i+1 est plus lisible. Elle permet de lister directement tous les i_source.
Pourquoi ne pas dire simplement La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16
Et tu dis : tous les nombres qu'on rencontre sur ces routes sont reliés au nombre 1. Tu ne vois pas que c'est une lapalissade ?
"les i_source sont des 4i+3 ou 8i+1" est une piste intéressante. Il faudrait comprendre pourquoi les 4i+1 de ces i_source ont le même nombre d'étapes impaires $e$ mais avec un $x$ plus grand. Dans ce cas si on a : $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$ alors il y a une relation entre $x$ et $k$.
"La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16" est très loin d'une lapallissade. Un ensemble de descendants impairs de 16 défini par une longueur de suite x est un objet d'étude pour lequel la conjecture est vraie. Les propriétés de cet ensemble, où l'ordre d'apparition des impairs est important montre que : 1) un cluster {e+n, x} n'arrive jamais avant le cluster {e, x} si l'ensemble des valeurs de e à e+n-1 n'a pas été produit 2) Les clusters se forment en combinant les valeurs de $e$ sans jamais déroger à la règle précédente : 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 2 (30 premières valeurs de $e$). L'ordre 1, 2, 3, 4, 5 n'est jamais transgressé : on ne peut pas trouver 5 avant d'avoir eu 1, 2, 3, 4 dans la liste. 3) les clusters sont toujours complets : aucun des clusters pour x=34 ne trouvera de nouveaux éléments pour toute valeur de x>34. 4) Tout impair dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ trouve toutes les étapes impaires de sa suite parmi les autres impairs de cet ensemble 5) tous les i_last nécessaires au passage à une puissance de 2 par 3*i_last+1 (voir mon post précédent) sont dans l'ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ 6) les impairs sont repartis entre i_source et déclinaisons de i_source avec la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$. On trouve donc toujours dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ des impairs de type 4i+3 ou 8i+1 qui ont cette propriété.
"La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16" est très loin d'une lapallissade
Si, c'est une lapalissade. Mais je n'insisterai pas plus.
Dans un autre registre, dans un autre contexte, dans une toute autre discipline que je pratique régulièrement, on dit : Ne reproche pas à telle personne d'avoir fait une erreur quand cette erreur est aussi évidente. Soit la personne est consciente qu'elle a fait une erreur, et ce n'est pas utile de remuer le couteau dans la plaie. Soit la personne n'est pas consciente qu'elle a fait une erreur, et dans ce cas, c'est sans espoir, on peut répéter l'évidence 1000 fois, la personne ne peut pas ou ne veut pas comprendre.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
OK. Si tu veux, Dire que "La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16" est une lapallissade"
On s'en moque. Le sujet c'est que l'ensemble des descendants impairs de 16 pour une certaine valeur de $x$ est structuré par des clusters et des relations $e$, $x$, $i$, et aussi des types d'impairs comme les i_last, et aussi les formes 4i+3 ou 8i+1 dont on peut "décliner" des impairs qui ont le même $e$ mais un $x$ plus grand.... ect...
Donc il faut regarder le deuxième ou troisième rebond de la boule de billard, pas le 1er qui est une lapallisade si tu veux.
Donc il faut regarder le deuxième ou troisième rebond de la boule de billard, pas le 1er qui est une lapallisade si tu veux.
Je vais appliquer ce que je disais : Soit la personne est consciente qu'elle a fait une erreur, et ce n'est pas utile de remuer le couteau dans la plaie. Soit la personne n'est pas consciente qu'elle a fait une erreur, et dans ce cas, c'est sans espoir, on peut répéter l'évidence 1000 fois, la personne ne peut pas ou ne veut pas comprendre.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourrran OK si tu veux. Qu'est-ce qui est faux dans cet énoncé ?
Un ensemble de descendants impairs de 16 défini par une longueur de suite $x$ est un objet d'étude pour lequel la conjecture est vraie. Les propriétés de cet ensemble, où l'ordre d'apparition des impairs est important montre que :
1) un cluster {e+n, x} n'arrive jamais avant le cluster {e, x} si l'ensemble des valeurs de e à e+n-1 n'a pas été produit
2) Les clusters se forment en combinant les valeurs de $e$ sans jamais déroger à la règle précédente : 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 2 (30 premières valeurs de e). L'ordre 1, 2, 3, 4, 5 n'est jamais transgressé : on ne peut pas trouver 5 avant d'avoir eu 1, 2, 3, 4 dans la liste.
3) les clusters sont toujours complets : aucun des clusters pour x=34 par exemple ne trouvera de nouveaux éléments pour toute valeur de x>34.
4) Tout impair dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ trouve toutes les étapes impaires de sa suite parmi les autres impairs de cet ensemble
5) tous les i_last nécessaires au passage à une puissance de 2 par 3*i_last+1 (voir mon post précédent) sont dans l'ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$
6) les impairs sont repartis entre i_source et déclinaisons de i_source avec la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$ On trouve donc toujours dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ des impairs de type i= 4n+3 ou i = 8n+1 qui ont cette propriété.
Tout impair $i$ est de la forme $i = 2n+1$ avec un entier positif n>=0. Si $i=4x-3$ avec un entier positif x >=1, $i$ est de la forme $4n+1$ Si $i=4x-1$ avec un entier positif x >=1, $i$ est de la forme $4n+3$ Si $i=8x-7$ avec un entier positif x >=1, $i$ est de la forme $8n+1$ Les i_source sont les i de la forme $4n+3$ ou $8n+1$. On sait que : $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k - 2} + \frac{2^{2(k - 1)} - 1}{3}$ avec $k$ un entier positif >1.
Dans ce cas $i$ est donc toujours de la forme $4n+1$.
Cette formule i = i_{source} * 2^{2k - 2} + (2^{2(k - 1)} - 1) / 3 transforme les nombres de la forme $4n+3$ ou $8n+1$ en un nombre de la forme $4n+1$. Regardons comment cela fonctionne.
D'abord, notons que le facteur 2^{2k - 2} est toujours un nombre de la forme 4n car 2^{2k - 2} = 4 * 2^{2k - 4}, qui est clairement un multiple de 4.
Si i_{source} est de la forme 4n+3, alors i_{source} * 2^{2k - 2} est aussi de la forme 4n+3 car le produit d'un multiple de 4 par un nombre de la forme 4n+3 reste de la forme 4n+3.
Si i_{source} est de la forme 8n+1, alors i_{source} * 2^{2k - 2} est de la forme 4n car le produit d'un multiple de 4 par un nombre de la forme 8n+1 est un multiple de 4.
Le second terme de la formule, (2^{2(k - 1)} - 1) / 3, est toujours un nombre de la forme 4n-1. Cela peut être vu en développant 2^{2(k - 1)} - 1 pour obtenir (4 * 2^{2(k - 2)} - 1), qui est clairement un multiple de 4 moins 1.
En sommant ces deux termes, nous avons deux scénarios possibles :
Si i_{source} est de la forme $4n+3$, alors la somme est de la forme (4n+3) + (4n-1) = 8n+2, qui est de la forme $4n+1$ lorsque n est un nombre pair, ou de la forme $4n+3$ lorsque $n$ est un nombre impair.
Si i_{source} est de la forme $8n+1$, alors la somme est de la forme (4n) + (4n-1) = 8n-1, qui est toujours de la forme $4n+1$.
Donc, dans les deux cas, le résultat de cette formule est toujours un nombre de la forme $4n+1$, comme requis.
les $i_{source}$ ont tous la forme $4n+3$ ou $8n+1$ (et vice-versa). Les autres éléments ont la forme $8n+5$ (soit un $4n+1$ avec $n$ impair), ce qui est logique puisqu'une branche (ou V(x) selon I.A.) est construite en multipliant l'élément (impair) précédent par 4 et en ajoutant 1.
Donc en gros si l'impair $i\not\equiv 5 \mod 8$, c'est un $i_{source}$
De la tu peux remarquer que les $i_{source}$ sont 3 fois plus nombreux/denses dans les impairs que les autres éléments de branche, ce qui est contre-intuitif puisqu'ils "ne sont que" la racine de chacune de ces branches.
Parfois en se promenant au square, on s’assoit sur un banc occupé par une personne avec un chapeau. Et il arrive que cette personne commence à parler, parler, parler, et parler encore. On peut lui faire la conversation, elle continue de plus belle.
Cela s’arrête quand on s’en va.
Enfin… non. Cela s’arrête pour nous. Mais pour la personne au chapeau, ça ne s’arrête pas, car… elle parle, parle, parle, et parle encore.
Je te dis que je n'ai pas lu la suite des questions, tout simplement pour que tu ne sur-interprètes pas ma réponse. C'est tout. Dans une lapalissade, il n'y a pas d'erreur. Par contre, dans les 20 ou 30 lignes de ce message ou du suivant, je ne sais pas s'il y a des erreurs, puisque comme je te l'ai dit, je ne les ai pas lues.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Réponses
pour chaque valeur de k, on calcule
essaie ce code qui est intéressant (les explications en bas de message)
import math
ce script avec ces réglages a la particularité de trouver tous les impairs non multiples de 3 parmi les descendants impairs de 16 jusqu'à x=34
Je ne vois pas ce qu'il y a de si difficile à comprendre dans ce message. Le tableau que tu proposes ne fait que le confirmer, les colonnes 5, 3, 17, 11, ... contiennent toutes une suite de prédécesseurs, respectivement de 1, 5, 13, 17 ... Pourquoi n'es-tu pas simplement d'accord avec ce fait ?
Je viens de t'expliquer que ce code est mal conçu puisqu'il calcule des dizaines de milliers de fois math.log2(6), qui est une constante et ne devrait donc être calculé qu'une seule fois. Je ne sais pas où tu te fournis en code Python mais tu devrais envisager de changer de source.
Quant aux fonctions Python en elles-mêmes, elles calculent quelques prédécesseurs non-multiples de 3 des entiers impairs non-multiples de 3 à partir de 1. On peut faire la même chose beaucoup plus simplement en Wolfram Language :
preds[n_, d_ : 0] := Block[{m, lst}, m = 3 - Mod[n, 3]; If[m == 3, Return[{0}]]; lst = NestList[4 # + 1 &, (n 2^m - 1)/3, 8]; If[d == 1, Select[lst, ! Divisible[#, 3] &], lst] ]; Do[If[! Divisible[n, 3], Print[preds[n, 1]]], {n, 1, 99, 2}]Je ne vois pas ce que tu cherches à démontrer avec les prédécesseurs. Tu perds ton temps.
Chacun a des objectifs différents. Certains veulent démontrer la conjecture. D'autres veulent explorer des pistes pour éventuellement trouver des résultats partiels nouveaux.
Si PMF était dans cette démarche, alors, oui, on pourrait lui dire qu'il fait fausse route et qu'il perd son temps.
Je pense que PMF est dans une autre démarche ; quelle démarche, ça ne regarde que lui.
Par exemple, je m'imagine dans 30 ans, pour me prémunir contre un Alzheimer, je pourrais avoir ce type d'activités 'intellectuelles'. Pourquoi pas. A titre thérapeutique. Et je posterais mes calculs sur un site de matheux, pour recevoir un soutien.
Pour simplifier, dis-toi que PMF cherche à occuper son temps libre, en faisant des calculs autour de la conjecture de Syracuse, et peu importe si des centaines de lycéens ont déjà fait les mêmes analyses il y a 20 ou 30 ans.
Il ne perd pas son temps, il occupe son temps libre.
ce qui formidable chez toi, c'est que tu t'es visiblement trompé de forum : celui est consacré aux maths et pas à la psychologie de comptoir.
Ma recherche porte sur la constitution complète d'un cluster {e, x} qui ne serait généré que par des formules génériques à tout type de clusters.
Je peux à ce jour générer au moins un élément de ces clusters. Le deuxième niveau qui décline cet élément à tous les autres est en cours.
(1, 5)
(1, 85)
(1, 341)
(1, 5461)
(1, 21845)
(5, 13)
(5, 53)
(5, 853)
(5, 3413)
(5, 54613)
(7, 37)
(7, 149)
(7, 2389)
(7, 9557)
(7, 152917)
(11, 7)
(11, 29)
(11, 469)
(11, 1877)
(11, 30037)
(13, 17)
(13, 277)
(13, 1109)
(13, 17749)
etc.
Et ce que produit la fonction Wolfram :
{1, 5, 85, 341, 5461, 21845}
{13, 53, 853, 3413, 54613, 218453}
{37, 149, 2389, 9557, 152917, 611669}
{7, 29, 469, 1877, 30037, 120149}
{17, 277, 1109, 17749, 70997, 1135957}
etc.
On est bien face aux mêmes données, qui sont des listes de prédécesseurs. J'ai programmé cette fonction il y a 7 ou 8 ans, ce qui veut dire que ça ne m'a conduit à rien de concret, et que surtout je sais de quoi je parle. Mais PMF persiste à tenter de me convaincre qu'il a trouvé quelque chose de nouveau ! Il ne lui vient pas à l'esprit en regardant mon code (mais il ne le regarde pas) qu'on n'a pas besoin de calculer un logarithme et de prendre l'entier supérieur, d'arrondir quoi que ce soit, ou de s'assurer que le nombre qu'on teste est bien entier (if temp % 1 == 0), mais que c'est un calcul simple et direct. Et demain il sortira une autre fonction d'on ne sait où, qui refera l'erreur de calculer cent mille fois le log de 6 et produira de nouveau des listes interminables de prédécesseurs. Et après-demain rebelote. Et dans 100 pages on y sera encore. Il ne veut rien savoir, rien écouter, rien apprendre. C'est à se taper la tête contre un mur.
Alors disons qu'il fait perdre leur temps à tous ceux qui ont eu la mauvaise idée de tenter de l'aider à faire la différence entre l'espoir et la réalité, puisque de toute évidence ils ont échoué.
C'est un pari ou un défi ?
Ni l'un ni l'autre. Je lancerais volontiers un défi à quelqu'un dont je reconnais la capacité à faire avancer le problème 3n+1. Ce n'est pas ton cas. Tu es mauvais en tout, sauf éventuellement en analyse de données. Mais le pire c'est ton incapacité à exprimer une idée clairement. Si tu devais expliquer pourquoi 1 + 1 = 2 ça te prendrait au minimum 10 lignes et à la fin tout le monde serait largué. A ce propos, je me suis demandé pendant un moment d'où tu sortais le code Python que tu as posté ces derniers temps. J'ai soupçonné qu'il avait été généré par GPT-4 (bien que je doute qu'il ait pu commettre les erreurs que j'ai décrites), mais j'ai fini par réaliser que c'était impossible : tu ne serais jamais parvenu à décrire le contexte du problème à GPT-4, pas plus qu'à lui expliquer ce que tu attendais de lui. No way.
En ce sens on peut te comparer à Idriss Aberkane. Personne n'étant parvenu à comprendre sa démonstration de la conjecture de Collatz, aucun avis n'a pu être émis quant à sa validité. C'est exactement ta stratégie : remplir des dizaines de pages d'un tel galimatias que le doute sur sa réelle signification persiste tout au long du fil, ce qui lui permet de durer, durer, durer encore, parce qu'on ne sait jamais, quelque chose de concret pourrait en sortir, n'est-ce pas ? Eh bien non. Après une bonne cinquantaine de pages (plus personne ne les compte) le moindre atome de quoi que ce soit de concret n'est jamais apparu sous le microscope. Hormis le calcul assez juste des premières valeurs de ce que tu as nommé à tort et pompeusement i_source (mais pour le nommer correctement il aurait fallu que tu comprennes de quoi il s'agissait), méthode de calcul malheureusement inexploitable. Pour cette seule raison je me limiterai à parler d'un bilan proche du zéro absolu. Toutes tes pseudo-découvertes ont été démontées et invalidées les unes après les autres.
Donc non, je ne te lance aucun défi, pas plus que je ne parierais un kopeck sur une quelconque véritable "découverte" de ta part.
Je pense réciproquement que tu n'as pas compris grand chose à la conjecture de Collatz. Tout ce que tu définis comme mon "incapacité à exprimer une idée clairement" est réciproquement tout un ensemble conceptuel qui t'est totalement étranger. Que n'aurais-je entendu de ta part sur les clusters {e, x}, les suites d'impairs, les i_source, les suites primaires, ect...
Note que je ne passe pas mon temps à te critiquer, alors que les raisons ne manquent pas de la faire. Je me concentre sur un échange parce qu'il y a parfois des choses intéressantes, et c'est évidemment tes connaisssances en dev dans le cadre de Collatz qui enrichissent l'échange. Mais comme tu as sérieusement chargé la mule à mon sujet dans ton dernier message, comme on dit chez nous, à crétin, crétin et demi.
Ton plus gros défaut est un manque d'ouverture d'esprit. Tout ce qui est nouveau te fait peur. Tu es comme assis dans une gare, avec tes précieux bagages conceptuels à côté de toi, mais tu ne montes jamais dans un train.
Et puisque tu viens de te mettre dans la position de l'autorité compétente, tu n'auras aucune difficulté à résoudre ce petit quizz :
Dans ces 3 séquences, quelles sont les valeurs de a, b, c, d, e, f, g, h, i, j :
pas loin mais pas bon pour e, f, g.
Il faut réfléchir à la double propriété commune à tous ces impairs
D'ordinaire je n'aime pas jouer à qui a la plus grosse (cervelle), mais je vais quand même te répondre. Il existe deux réponses possibles :
Contenant des multiples de 3 :
17, 35, 1137, 2275, 72817, 145635, 4660337, 9320675
75, 2417, 4835, 154737, 309475, 9903217, 19806435, 633805937
151, 4849, 9699, 310385, 620771, 19864689, 39729379, 1271340145
Ne contenant aucun multiple de 3 :
17, 35, 4549, 2275, 72817, 582541, 4660337, 9320675
301, 2417, 4835, 618949, 309475, 9903217, 79225741, 633805937
151, 4849, 38797, 310385, 620771, 79458757, 39729379, 1271340145
Es-tu en mesure de fournir une explication détaillée de l'une des réponses ?
Qu'est-ce que ce genre d'exercice est supposé démontrer ? Que tu sais de quoi tu parles ? Que tu as contribué à améliorer notre compréhension des suites de Collatz ? Que tu as fait une grande découverte ?
les bonnes réponses du quizz sont :
Ils réprésentent des impairs dont les suites de Collatz ont toutes en commun d'avoir 3 étapes impaires (e = 3).
En définissant la dernière étape impaire i_last tel que 3*i_last+1 est une puissance de 2
La ligne 1 montre ceux dont i_last = 5
La ligne 2 montre ceux dont i_last = 85
La ligne 3 montre ceux dont i_last = 341
je vous repose donc un nouveau quizz :
Quel est l'impair le plus petit ayant une suite de Collatz de 65 étapes impaires (e = 65) ?
Quelle est la longueur x de la suite de cet impair ?
Quel est le i_last de cet impair ?
Le point rouge est l'impair 27 dont la longueur de la suite est x =111 et dont le nombre e d'étapes impaires est 41.
log2(27) =4,7549
Les suites qui ont en commun de compter 3 termes impairs sont en nombre infini. Ce qui permet de les rendre dénombrable est l'adjonction de leur longueur. Si je veux savoir combien il existe de suites possédant 3 termes impairs, j'ajoute qu'elles sont toutes de longueur 20 par exemple. Sinon il n'existerait aucune réponse à ma question.
Il était par conséquent impossible de répondre à ton "quiz" sur ce seul critère. Je me demande d'ailleurs comment tu as pu le concocter. Je t'ai demandé de le préciser mais tu n'as pas répondu. Je vais donc expliquer comment j'ai "décrypté" la première séquence, à savoir 17, 35, 1137, 2275, a, b, c, 9320675. La méthode est identique pour les deux autres :
Le successeur respectif de 17, 35 et 1137 est 13, 53 et 853.
Le successeur unique de 13, 53, 853, ... est 5.
Les prédécesseurs de 5 non multiples de 3 sont 13, 53, 853, 3413, 54613, 218453, 3495253, 13981013.
Le plus petit prédécesseur de chacun de ces termes est 17, 35, 1137, 2275, 72817, 145635, 4660337, 9320675, ce qui constitue la réponse à la question. Leur plus petit prédécesseur non-multiple de 3 est respectivement 17, 35, 4549, 2275, 72817, 582541, 4660337, 9320675, ce que j'ai ensuite indiqué.
Aucun besoin du nouveau concept i_last , qui semble-t-il vient juste de sortir et rend tes explications encore plus nébuleuses.
Passons maintenant au nouveau quiz : "Quel est l'impair le plus petit ayant une suite de Collatz de 65 étapes impaires ?".
Réponse : 871 si on compte le terme initial parmi les termes impairs. La longueur de sa suite standard est 178 si on ne compte pas le 1 final.
Vite, un autre quiz, je suis déjà en manque ! :-)
Bonjour,
Wilfrid, si vous êtes intéressé par une preuve simple, en voici une :
https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/bs/k3i2pveftmrf.pdfBonne lecture.
Comme tu sembles souvent avoir des soucis avec certaines de mes définitions, voici un point précis sur les clusters et leurs propriétés essentielles
Un cluster est un ensemble d'impairs partageant le même nombre d'étapes impaires $e$ et de longueur de suite $x$
i_source : Les i_source sont un sous-ensemble particulier de nombres impairs dans les clusters avec un nombre donné d'étapes impaires, e. La propriété distinctive d'un i_source est que le résultat de (i_source-1)/4 est soit un entier pair, soit un nombre décimal. Cela signifie que les i_source ne sont pas des déclinaisons d'autres nombres impairs dans leur cluster.
Déclinaisons de i_source : Pour tous les autres nombres impairs dans des clusters ayant le même nombre d'étapes impaires $e$, ils sont des déclinaisons d'un i_source particulier. Les déclinaisons suivent la formule i = i_source2^(2k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3 où k est un entier positif > 1.
i_last et cas particulier pour e=1 : Pour les clusters où e=1, tous les nombres impairs (nommés i_last) sont des déclinaisons car ils découlent de 1 par la formule i'=4*i+1 : 1, 5, 21, 85, 341....Ce qui fait que (i_last-1)/4 est toujours impair .... De plus, ces i_last, ont la propriété particulière que le calcul i_last * 3 + 1 produit une puissance de 2, et revient donc trivialement à 1.
Très bien pour 871. Puisque tu aimes les quizz :
Soit les clusters pour e = 3.
Si tu as trouvé 871 pour e =65, je suppose que tu sais que ce sera 17 pour e=3.
Ce 17 est le "seed" des clusters en e = 3.
il y a 191 impairs ayant e=3 étapes impaires en limitant la longueur à x = 34 :
9262421 revient à 35 en répetant l'opération (i-1)/4 : 9262421, 2315605, 578901, 144725, 36181, 9045, 2261, 565, 141, 35.
Saurais-tu trouver les i_source pour e =5 en limitant la longueur à x = 34 ?
Peux-tu réécrire tes définitions en les mettant dans l'ordre.
Dans la définition de i_source, tu parles de déclinaison. Je ne connais pas ce concept. Tu dois définir ce concept de déclinaison AVANT de l'utiliser dans une autre définition, et pas après.
J'ai bien vu que tu définissais ensuite ce concept de déclinaison. Mais dans la définition de déclinaison, tu parles des 'autres nombres impairs', tu pars donc du principe que les i_source sont déjà définis.
Ca boucle.
Bilan, je ne sais pas ce que tu appelles i_source, malgré ma bonne volonté.
Jusque là, je pensais que chaque cluster avait un i_source qui était le plus petit entier impair de ce cluster. Mais si c'était ça, tu aurais probablement réussi à le dire de façon claire.
C'est donc probablement autre chose.
Ok. essayons ça :
Cluster : Un cluster est un ensemble de nombres impairs qui partagent le même nombre d'étapes impaires, $e$, et la même longueur de suite, $x$.
i_last : Les i_last sont un sous-ensemble particulier de nombres impairs dans les clusters où e=1. Chaque i_last découle de 1 par la formule i'=4*i+1, ce qui signifie que (i_last-1)/4 est toujours un nombre impair : 1, 5, 85, 341.... De plus, chaque i_last a la propriété particulière que le calcul i_last * 3 + 1 produit une puissance de 2, ce qui revient trivialement à 1.
i_source : Un i_source est un nombre impair particulier dans les clusters où e > 1. Un nombre impair i est un i_source si et seulement si, pour tout nombre impair i', il n'existe pas de nombre entier positif k > 1 tel que i' = i*2^(2k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3, à moins que i = i' et k = 1. Plus formellement, un i_source est un nombre impair tel que (i_source-1)/4 est soit un entier pair, soit un nombre décimal.
Tu as sans doute remarqué que dans ce fil, l'idée de "démonstration" de la conjecture est totalement absente (sauf sans doute dans la tête de PMF). Il s'agit uniquement de mieux comprendre certaines propriétés des suites de Collatz, rien de plus, ce qui n'interdit aucunement d'introduire des concepts tels que le dénombrement des suites de longueur donnée, chose que personne n'avait tenté auparavant, ou sans succès.
Tu oublies une chose tout aussi essentielle : tu parles d'un écosystème propre à PMF. Durant 90 ans on n'a pas eu besoin de clusters, de i_source, de i_last et de je ne sais quoi encore d'aussi bizarroïde – et en ce qui me concerne je n'en ai toujours aucun besoin. Je décris entièrement une suite de Collatz grâce à son premier terme $n_0$, à sa longueur et à son type (nombre de termes impairs entres $n_0$ et 1). C'est tout. Le reste est superfétatoire et n'a pu jaillir que d'une pensée confuse, incapable de construire la représentation mentale simplifiée d'un problème de manière à le définir complètement à l'aide d'un minimum de concepts. Cette confusion rejaillit également sur ton incapacité à exprimer une idée de manière claire. Quand on comprend clairement quelque chose on est capable de le décrire intelligiblement. Mais il est vrai qu'après 3 années passées à modifier constamment sa propre terminologie, on ne peut finir que complètement largué.
En me proposant un ensemble de définitions exprimées de manière tout aussi obscure qu'à l'accoutumée, tu tentes d'éluder la question que je t'ai posée déjà deux fois : comment as-tu conçu le "quiz" des séquences de nombres dont certains sont remplacés par une lettre ? Je t'ai expliqué plus haut que le coup des "suites ayant en commun 3 termes impairs" ça ne marchait pas, qu'il fallait en plus une longueur commune. Or, la longueur respective des suites de 17, 35, ..., 9320675 est 13, 14, 19, 20, 25, 26, 31, 32. Tu dois bien comprendre que tu ne peux pas prendre éternellement les gens pour des ignorants et des demeurés, n'est-ce pas ?
Ben non justement. Il n'y a aucun espoir qu'il sache un jour s'exprimer clairement. Si tu relis ses messages (ce que je n'ai pas fait et que je ne conseille à personne, donc uniquement de mémoire) tu verras qu'il parle depuis très longtemps de clusters sans jamais avoir défini ce concept. Idem avec les i_source, les i_last et les i_diot. Je n'ai pour ma part fini que tardivement par comprendre ce qu'il entendait par "cluster".
J'ai beaucoup échangé avec PMF il y a 3 ans sur ce forum., comme tu le fais aujourd'hui. De temps en temps, il évoquait l'hypothèse que ces calculs étaient des pistes pour une démonstration, et je lui disais alors clairement qu'il rêvait totalement. La notion de cluster était au coeur de ces discussions. Les clusters de 2020 étaient un peu différents des clusters actuels, puis qu'il définissait un cluster ainsi :
- Tous les entiers impairs qui arrivent à 1 avec le même nombre d'étapes impaires, le même nombre d'étapes paires et le même dernier impair forment un ensemble homogène, qu'on va appeler cluster.
Je me suis battu pour qu'il redéfinisse ses clusters, comme ils sont aujourd'hui.
Donc la définition de cluster, je la connais.
@PMF
Nouvelle définition de cluster : ok
Définition de i_last : Ok, compréhensible.
i_source : je ne comprends pas. Je vais recopier, en rendant les formules mathématiques lisibles, comme ça, si quelqu'un souhaite comprendre, il aura un support valable.
- Déclinaisons de i_source : Les déclinaisons sont les autres nombres impairs dans un cluster ayant le même nombre d'étapes impaires, $e$, que le $i_{source}$. Ils découlent de l'$i_{source}$ par la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$ où $k$ est un entier positif $> 1$.
En retapant tout ça, je vois à peu près à quels messages de 2020 ça fait référence. En gros, dans un cluster avec une centaine d'entiers impairs, il y a une dizaine de $i_{source}$ , c'est ça ?i_source : Un $i_{source}$ est un nombre impair particulier dans les clusters où $e > 1$. Un nombre impair $i$ est un $i_{source}$ si et seulement si, pour tout nombre impair $i'$, il n'existe pas de nombre entier positif $k > 1 $ tel que $i' = i*2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$, à moins que $i = i'$ et $k = 1$. Plus formellement, un $i_{source}$ est un nombre impair tel que $\frac{i_{source}-1}{4}$ est soit un entier pair, soit un nombre décimal.
Si tu veux intéresser tes lecteurs, il faut que tu donnes un cluster (un seul, ça suffit) avec 50 ou 60 entiers impairs, et que tu donnes la liste des $i_{source}$ de ce cluster.
Comme ça, le lecteur verra très vite l'utilité (ou l'absence totale d'utilité).
Ce que PMF appelle i_source est le plus petit prédécesseur d'un terme impair. Exemple : les prédécesseurs de 7 sont 9, 37, 149, 597, 2389, 9557, 38229, 152917, ... Dans ce cas, le i_source est 9.
Il se peut également que le i_source soit le plus petit entier impair dont la suite standard est de longueur donnée. En ce qui me concerne je le nomme $n_{0\,min}$.
PMF sort cette formule de ce message. Dans une suite de Collatz, le terme impair $n$ a une infinité de prédécesseurs $p_0,p_1,p_2,...$, où $p_0$ est le plus petit. Pour savoir si $p_i$ est le plus petit prédécesseur, un moyen simple consiste à calculer $p_{i-1}=(p_i-1)/4$ jusqu'à ce que $p_{i-1}$ soit pair ou décimal, auquel cas $p_i$ est le plus petit prédécesseur de $n$.
Mais on le calcule directement en faisant
$m=3-n \bmod 3$
Si $m=3$, $n$ est un multiple de 3 et n'a donc pas de prédécesseur. Sinon
$p_0=\dfrac{n \times 2^m-1}{3}$
Ceci confirme que ce que PMF appelle i_source est bien le plus petit prédécesseur d'un terme impair. L'explication qu'il en donne, dans la version clarifiée par lourrran, est tout simplement ahurissante et démontre s'il en était besoin qu'on ne doit pas s'attendre à comprendre quoi que ce soit à ce qu'il raconte. je soupçonne d'ailleurs qu'il ne le comprend pas lui-même.
Voici le script Python qui sort tous les descendants impairs de 16 pour x<=34 et indique par oui ou non si le i est un i_source.
Je peux confirmer en utilisant une deuxième méthode que cette liste de 1878 impairs dont 704 i_source est parfaitement correcte
mport math def calculate_e(x, i): return math.floor((x - math.log2(i)) / math.log2(6)) def is_i_source(i): result = (i - 1) / 4 # Si le résultat est un nombre décimal ou un nombre entier pair if result % 1 != 0 or (result % 1 == 0 and result % 2 == 0): return 'OUI' else: return 'NON' def generate_impairs_and_clusters(x_max): x = 4 current_generation = {2**x} results = [] for _ in range(x, x_max + 1): x += 1 next_generation = {2*num for num in current_generation} for num in current_generation: if (num - 1) % 3 == 0: possible_odd = (num - 1) // 3 if possible_odd % 2 != 0 and possible_odd != 1: e = calculate_e(x, possible_odd) i_source = is_i_source(possible_odd) results.append((e, x, possible_odd, i_source)) next_generation.add(possible_odd) current_generation = next_generation return results x_max = 33 results = generate_impairs_and_clusters(x_max) print("e, x, i, i_source") for e, x, i, i_source in results: print(f"{e}, {x}, {i}, {i_source}")Si vous avez l'amabilité d'essayer le script que j'ai joint dans le message précédent, vous pouvez constater que :
1) ce que j'appelle liste des descendants impairs de 16 dans une limite de longueur x est une réalité tangible. Quand vous regardez la liste produite, et si vous pouvez traiter les données à minima, vous pouvez constater la réalité des clusters en les classant par e et par x.
2) vous pouvez vérifier que les 704 i_source permettent de calculer les autres i = i_source*2^(2*k-2)+(2^(2*(k-1))-1)/3 avec k>1. Je l'ai fait de manière intégrale. C'est ça qui est le point.
Donc @lourrran je réponds à ta demande sur l'ensemble des clusters pour x<=34. Si tu veux me donner ton retour sur les résulats, je suis preneur. A part ça merci pour ta reformulation.
Pour répondre à une question posée en novembre 2017:
Je te confirme bien que les 704 i_source pour x<=34 sont bien de la forme 4i+3 ou 8i+1. Néamoins en testant que (i-1)/4 est soit un entier pair soit un décimal, ça marche très bien aussi.
Ma réponse est aussi un peu destinée à @lourrran et @Wilfrid. Je suis beaucoup interrogé sur le sens de ma démarche. Donc voici ma conviction :
1) La conjecture est vraie de manière restreinte pour tout calcul des descendants impairs de 16 pour une certaine valeur limite de x, la longueur de la suite. Elle est donc vraie "restreinte à une valeur limite de longueur". Faire une liste de descendance n'a rien à voir avec tester des milliards de milliards d'entiers dans l'ordre arithmétique. Cela ne fait que générer des milliards de clusters qui sont quasi tous incomplets. Quand on calcule une liste de descendants, les clusters sont par contre complets dans le sens où tous les membres pour une valeur de e et de x sont bien là. Les clusters se forme aussi dans l'ordre, avec les e qui se suivent (e+1 n'apparait jamais avant e). Les formules que tu as données fonctionnent parfaitement et on peut les employer sans soucis dans des scripts Python.
2) Un élément de preuve que la conjecture est vraie (de manière restreinte) pour une liste de descendants dans une limite de longueur x, c'est que :
Tout impair de cette liste a une suite d'étapes impaires qui revient à un i_last de la liste en ne passant que par des étapes impaires de cette liste (si e =1, c'est lui-même). Cette observation confirme que cette liste est un système totalement bouclé sur lui-même. En quelque sorte si j'ai 1878 impairs pour x<=34, cette collection n'a plus besoin de quoi que ce soit dans l'ensemble des entiers.
3) Le dernier élement de preuve renforce encore le système de boucle fermée : si on isole les i_source de la liste (il y en a 704 pour x<=34) alors on peut générer les 1174 autres avec la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$ avec k, un entier positif >1. D'ailleurs on peut modifier ta formule des intervalles comme ceci : $\frac{2^{x-e-1}}{3^e} < i_{\text{source}} \cdot 2^{2k-2} + \frac{2^{2(k-1)} - 1}{3} < \frac{2^{x-e}}{3^e}$
Le graal du graal serait de trouver les i_source de manière autonome sans génerer les descendants. On peut scripter la recherche du plus petit nombre impair qui génère une suite de Collatz avec e étapes impaires. Pour e=3 c'est par exemple 17. Puis il y aurait une formule inconnue qui dirait que si 17 correspond à i_last = 5, il y a un ensemble de i pour les autres valeurs de i_last :
Et de cette liste on pourrait obtenir les 39 i_source de e= 3 pour x<34 : {3, 12} : 17, {3, 13} : 35, {3, 14} : 75, {3, 15} : 151, {3, 18} : 1137, {3, 19} : 2417, {3, 19} : 2275, {3, 20} : 4849, {3, 20} : 4835, {3, 21} : 9699, {3, 22} : 19417, {3, 23} : 38833, {3, 23} : 38835, {3, 24} : 72817, {3, 24} : 77667, {3, 25} : 154737, {3, 25} : 145635, {3, 26} : 310385, {3, 26} : 309475, {3, 27} : 621377, {3, 27} : 620771, {3, 28} : 1242737, {3, 28} : 1242755, {3, 29} : 2485361, {3, 29} : 2485475, {3, 30} : 4660337, {3, 30} : 4971025, {3, 30} : 4970723, {3, 31} : 9903217, {3, 31} : 9320675, {3, 31} : 9942051, {3, 32} : 19864689, {3, 32} : 19806435, {3, 32} : 19884107, {3, 33} : 39768177, {3, 33} : 39729379, {3, 33} : 39768215, {3, 34} : 79535217, {3, 34} : 79536355
On calcule que le successeur de 17 est 13. On "décline 13" en faisant 4i+1 soit 13, 53, 213, 853, ... On vire les multiples de 3 et on cherche les plus petits prédécesseurs, ce qui donne la liste ci-dessus. Mais c'est juste très partiel. A suivre donc.
Alors que ton autre formule ( on prend un nombre, on fait un calcul, et si le résultat est un entier pair bla bla bla), cette formule ne permet pas de lister directement tous les i_source, elle permet de tester tous les entiers un par un, et de rejeter ceux qui ne conviennent pas.
Question : Vous dites que les i_source sont certains nombres parmi les 4i+3 ou les 8i+1.
Est-ce que TOUS les nombres 4i+3 ou 8i+1 sont des i_source ?
Soyons clair, je m'en moque de la réponse, mais je veux juste pointer le fait que tout ce discours n'est jamais clair/précis. Problème déjà relevé à plusieurs reprises par à peu près tout le monde.
Tiens, phrase suivante : La conjecture est vraie de manière restreinte pour tout calcul des descendants impairs de 16
- de manière restreinte ... ça veut dire quoi ?
- pour tout calcul : ça veut dire quoi ? Pourquoi ne pas dire simplement La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16
Cette formulation a l'avantage (ou l'inconvénient ???) d'être claire.
Question : être clair, c'est un avantage , ou un inconvénient ?
C'est une question sérieuse.
Enfin, il faut revenir aux fondamentaux : Tu explores des routes qui passent par le nombre 1. Et tu dis : tous les nombres qu'on rencontre sur ces routes sont reliés au nombre 1. Tu ne vois pas que c'est une lapalissade ?
Collag3n pointait déjà le même type d'erreur ici même si à l'époque, c'était Wilfrid le fautif.
Mais je me répète, je t'ai dit ça des dizaines de fois, c'est clair, c'est simple, et tu refuses de comprendre un truc aussi évident que ça.
Comparons les nombres 85 et 53.
Comme nous le savons, 85 est un i_last, ce qui signifie que 3*85+1 est une puissance de 2, soit 256. Si nous regardons 256 en binaire, nous obtenons 100000000.
53 n'est pas un i_last, et 3*53+1 est 160. En binaire, 160 est 10100000.
Maintenant, regardons la représentation binaire de -256 et -160 et appliquons l'opération ET:
Lorsque nous faisons l'opération ET entre 256 et -256, et entre 160 et -160, nous obtenons respectivement 100000000 (soit 256 en décimal) et 10000000 (soit 128 en décimal).
Cela démontre que pour un i_last, l'opération m & -m donne m lui-même (puisque m est une puissance de 2), tandis que pour un i non i_last, m & -m donne une puissance de 2 plus petite que m.
Cela renforce l'idée que les nombres i_last ont une structure "binaire" particulière qui diffère des autres impairs.
Ce script permet de vérifier si un impair est un i_last en entrant "i=" avec la valeur souhaitée :
import math # i impair donné i = 85 m = 3 * i + 1 # diviseur de m d = m & -m nbr_div_2 = d.bit_length()-1 log2m = math.log2(m) # Si log2m est un entier, convertir en int, sinon le laisser en float if log2m.is_integer(): log2m = int(log2m) if nbr_div_2 == log2m: print(f"{i} est un i_last car le nombre de divisions par 2 de 3i+1 = {nbr_div_2} est égal à log2(3i+1) = {log2m}") else: print(f"{i} n'est pas un i_last car le nombre de divisions par 2 de 3i+1 = {nbr_div_2} est différent de log2(3i+1) = {log2m}")Les 'bizarreries' dont tu parles en binaire ne se produisent que si tu fais l'erreur de stocker tes nombres sur 1 octet. Ou sur 1 octet et demi pour le cas 4096.
Autrement dit : si on fait en sorte délibérément que le calcul soit faux, alors il est faux.
Calme toi.
Tu fais de la sur-enchère pour prouver tout l'intérêt de tes théories, tu t'envoles, et tu écris n'importe quoi. Encore plus n'importe quoi que d'habitude. D'habitude , ce que tu écris est exact mais sans intérêt. Là, c'est faux.
Lis les liens proposés par Collag3n ... tu vas voir que d'autres que toi ont fait exactement les mêmes raisonnements que toi (On prend les nombres qui arrivent à 1 après une série d'étapes, et on regarde ces nombres, et on constate qu'ils arrivent absolument tous à 1). Et finalement, ils ont fini par comprendre que cette démarche ne mène à rien.
"les i_source sont des 4i+3 ou 8i+1" est une piste intéressante. Il faudrait comprendre pourquoi les 4i+1 de ces i_source ont le même nombre d'étapes impaires $e$ mais avec un $x$ plus grand. Dans ce cas si on a :
$i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$
alors il y a une relation entre $x$ et $k$.
"La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16" est très loin d'une lapallissade. Un ensemble de descendants impairs de 16 défini par une longueur de suite x est un objet d'étude pour lequel la conjecture est vraie. Les propriétés de cet ensemble, où l'ordre d'apparition des impairs est important montre que :
1) un cluster {e+n, x} n'arrive jamais avant le cluster {e, x} si l'ensemble des valeurs de e à e+n-1 n'a pas été produit
2) Les clusters se forment en combinant les valeurs de $e$ sans jamais déroger à la règle précédente : 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 2 (30 premières valeurs de $e$). L'ordre 1, 2, 3, 4, 5 n'est jamais transgressé : on ne peut pas trouver 5 avant d'avoir eu 1, 2, 3, 4 dans la liste.
3) les clusters sont toujours complets : aucun des clusters pour x=34 ne trouvera de nouveaux éléments pour toute valeur de x>34.
4) Tout impair dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ trouve toutes les étapes impaires de sa suite parmi les autres impairs de cet ensemble
5) tous les i_last nécessaires au passage à une puissance de 2 par 3*i_last+1 (voir mon post précédent) sont dans l'ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$
6) les impairs sont repartis entre i_source et déclinaisons de i_source avec la formule $i = i_{source} \times2^{2k-2}+\frac{2^{2*(k-1)}-1}{3}$. On trouve donc toujours dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ des impairs de type 4i+3 ou 8i+1 qui ont cette propriété.
Si, c'est une lapalissade. Mais je n'insisterai pas plus.
Dans un autre registre, dans un autre contexte, dans une toute autre discipline que je pratique régulièrement, on dit : Ne reproche pas à telle personne d'avoir fait une erreur quand cette erreur est aussi évidente.
Soit la personne est consciente qu'elle a fait une erreur, et ce n'est pas utile de remuer le couteau dans la plaie.
Soit la personne n'est pas consciente qu'elle a fait une erreur, et dans ce cas, c'est sans espoir, on peut répéter l'évidence 1000 fois, la personne ne peut pas ou ne veut pas comprendre.
OK. Si tu veux, Dire que "La conjecture est vraie pour tous les descendants impairs de 16" est une lapallissade"
On s'en moque. Le sujet c'est que l'ensemble des descendants impairs de 16 pour une certaine valeur de $x$ est structuré par des clusters et des relations $e$, $x$, $i$, et aussi des types d'impairs comme les i_last, et aussi les formes 4i+3 ou 8i+1 dont on peut "décliner" des impairs qui ont le même $e$ mais un $x$ plus grand.... ect...
Donc il faut regarder le deuxième ou troisième rebond de la boule de billard, pas le 1er qui est une lapallisade si tu veux.
Je vais appliquer ce que je disais :
Soit la personne est consciente qu'elle a fait une erreur, et ce n'est pas utile de remuer le couteau dans la plaie.
Soit la personne n'est pas consciente qu'elle a fait une erreur, et dans ce cas, c'est sans espoir, on peut répéter l'évidence 1000 fois, la personne ne peut pas ou ne veut pas comprendre.
OK si tu veux.
Qu'est-ce qui est faux dans cet énoncé ?
4) Tout impair dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ trouve toutes les étapes impaires de sa suite parmi les autres impairs de cet ensemble
On trouve donc toujours dans un ensemble de descendants de 16 pour une certaine valeur de $x$ des impairs de type i= 4n+3 ou i = 8n+1 qui ont cette propriété.
Tout impair $i$ est de la forme $i = 2n+1$ avec un entier positif n>=0.
Si $i=4x-3$ avec un entier positif x >=1, $i$ est de la forme $4n+1$
Si $i=4x-1$ avec un entier positif x >=1, $i$ est de la forme $4n+3$
Si $i=8x-7$ avec un entier positif x >=1, $i$ est de la forme $8n+1$
Les i_source sont les i de la forme $4n+3$ ou $8n+1$.
On sait que : $i = i_{\text{source}} \times 2^{2k - 2} + \frac{2^{2(k - 1)} - 1}{3}$ avec $k$ un entier positif >1.
Dans ce cas $i$ est donc toujours de la forme $4n+1$.
i = i_{source} * 2^{2k - 2} + (2^{2(k - 1)} - 1) / 3
Cette formule i = i_{source} * 2^{2k - 2} + (2^{2(k - 1)} - 1) / 3 transforme les nombres de la forme $4n+3$ ou $8n+1$ en un nombre de la forme $4n+1$. Regardons comment cela fonctionne.
D'abord, notons que le facteur 2^{2k - 2} est toujours un nombre de la forme 4n car 2^{2k - 2} = 4 * 2^{2k - 4}, qui est clairement un multiple de 4.
Si i_{source} est de la forme 4n+3, alors i_{source} * 2^{2k - 2} est aussi de la forme 4n+3 car le produit d'un multiple de 4 par un nombre de la forme 4n+3 reste de la forme 4n+3.
Si i_{source} est de la forme 8n+1, alors i_{source} * 2^{2k - 2} est de la forme 4n car le produit d'un multiple de 4 par un nombre de la forme 8n+1 est un multiple de 4.
Le second terme de la formule, (2^{2(k - 1)} - 1) / 3, est toujours un nombre de la forme 4n-1. Cela peut être vu en développant 2^{2(k - 1)} - 1 pour obtenir (4 * 2^{2(k - 2)} - 1), qui est clairement un multiple de 4 moins 1.
En sommant ces deux termes, nous avons deux scénarios possibles :
Si i_{source} est de la forme $4n+3$, alors la somme est de la forme (4n+3) + (4n-1) = 8n+2, qui est de la forme $4n+1$ lorsque n est un nombre pair, ou de la forme $4n+3$ lorsque $n$ est un nombre impair.
Si i_{source} est de la forme $8n+1$, alors la somme est de la forme (4n) + (4n-1) = 8n-1, qui est toujours de la forme $4n+1$.
Donc, dans les deux cas, le résultat de cette formule est toujours un nombre de la forme $4n+1$, comme requis.
Je n'ai pas lu la suite de ta question, peut-être que tu as réussi à y caser des erreurs.
Ha ha! Tu es entré en mode ultra-lucide. Le neo@matrix du forum. Plus besoin de lire.. tu es dans la matrice... tu vois tout.
note que ton histoire est le début du célébrissime "Bouvard et Pécuchet" de Flaubert. Donc cela a réussi à certains...
Dans une lapalissade, il n'y a pas d'erreur.
Par contre, dans les 20 ou 30 lignes de ce message ou du suivant, je ne sais pas s'il y a des erreurs, puisque comme je te l'ai dit, je ne les ai pas lues.