Graphes sans automorphisme

marco · March 2023

Bonjour,

Soit $n$ un entier, soit $B(n)$ l'ensemble de tous les graphes non orientés sur $\{1, \dots, n\}$. Soit $G$ un graphe sur $\{1, \dots,n\}$, c'est-à-dire un ensemble $E$ de paires de $\{1, \dots, n\}$, soit une bijection $f$ de $\{1, \dots, n\}$, on note $f(E)$ l'ensemble $\{\{f(a),f(b)\} ~|~\{a,b\} \in E\}$. On dit que $f$ est un automorphisme de $G$ si $f(E)=E$. Soit $A(n)$ l'ensemble des graphes sur $\{1, \dots, n\}$ dont le seul automorphisme est l'identité de $\{1, \dots, n\}$.

Est-ce que $\lim_{n \mapsto +\infty} \dfrac{|A(n)|}{|B(n)|}=1$ ?

Merci.

Calli · March 2023

Bonjour,

Voici une idée. Soit $P$ l'ensemble des paires de $[\![1,n]\!]$. Pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$, soit $\widetilde{\sigma } \in \mathfrak{S}_{P}$ défini par $\widetilde{\sigma }:\{a,b\}\mapsto \{\sigma (a),\sigma (b)\}$. Alors \[|B(n)|-|A(n)| = |\{E\subset P \mid \exists \sigma \in \mathfrak{S}_{n} \setminus \{ \mathrm{id}\} ,\; \widetilde{\sigma }(E)=E\}| \leqslant \sum _{\sigma \in \mathfrak{S}_{n} \setminus \{ \mathrm{id}\}} |\{E\subset P \mid \widetilde{\sigma }(E)=E\}| = \sum _{\sigma \in \mathfrak{S}_{n} \setminus \{ \mathrm{id}\}} 2^{\text{nb de cycles de } \widetilde{\sigma }}.\] Ensuite il faudrait montrer que cette quantité est $o(|B(n)|)=o\big(2^{ \binom{n}{2} }\big)$. Sachant que pour tout $\{a,b\}\in P$, la longueur du cycle de $\widetilde{\sigma }$ qui contient $\{a,b\}$ est le ppcm des longueurs des deux cycles de $\sigma $ contenant $a$ et $b$ (s'ils sont distincts). Donc pour toute paire de cycles distincts $c$ et $c'$ de $\sigma $, $F=\big\{ \{a,b\} \mid a\in c,b\in c' \big\}$ se partitionne en $\frac{|F|}{\mathrm{ppcm} (|c|,|c'|)} = \mathrm{pgcd} (|c|,|c'|)$ cycles de $\widetilde{\sigma }$. Et il faut aussi regarder les paires faites d'éléments du même cycle... Je ne sais pas si ça mène quelque part.

PS: Avec une approche probabiliste, peut-être que certains résultats sur le graphe aléatoire d'Erdös-Rényi peuvent aussi aider.