Un problème ouvert proposé par Terence Tao
Bonjour
Essayer de résoudre le problème ouvert 275 proposé par Terence Tao
https://euromathsoc.org/magazine/articles/127
Essayer de résoudre le problème ouvert 275 proposé par Terence Tao
https://euromathsoc.org/magazine/articles/127
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Réponses
La conjecture de Chowla est "attaquée" depuis quelques années par un groupe d'experts mené entre autres par Tao.
Cette conjecture appartient plus largement aux problèmes de corrélations entre fonctions arithmétiques connues.
On estime que cette conjecture est de profondeur égale à celle des premiers jumeaux. Autant dire qu'elle est encore loin d'être résolue.
Ceci dit, comme l'explique Tao dans le lien fourni par Étanche plus haut, des progrès ont été réalisés ces cinq dernières années en sa direction :
(i) le cas $k=1$ est le théorème des nombres premiers sous la forme $\sum_{n \leqslant x} \lambda(n) = o(x)$ lorsque $x \to \infty$.
(ii) Tao a démontré la version logarithmique du cas $k=2$, un véritable tour de force ! Sa grande idée est d'utiliser des éléments de théorie ergodique, notamment ce que l'on pourrait appeler dans un mauvais jargon l'argument de décrémentation entropique.
La recherche s'est par la suite focalisée sur cette idée, et a utilisé des outils hautement non triviaux, comme le principe de correspondance de Furstenberg ou la théorie des "nilsuites". Les outils profonds de théorie des nombres ne sont pas en reste non plus, les auteurs utilisant de façon systématique la méthode du cercle, dans une forme adaptée à ce problème.
C'est très spectaculaire, et j'invite tous ceux intéressés par ce sujet à consulter les manuscrits sur arXiv. Toutefois, le problème originel de Chowla est toujours ouvert...