Un point de concours et deux alignements inattendus
dans Géométrie
Bonjour à tous,
Je reprends mes figures faisant intervenir les points d'intersection, autres que les milieux des côtés, entre médiatrices et droites-côtés d'un triangle, ainsi que les cercles que ces points permettent de définir.
Il se trouve que les trois cercles de Kosnitza (en vert sur ma première figure), qui passent chacun par le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC et par deux des trois sommets de celui-ci, donc aux extrémités d'un premier côté, passent également par les deux points d'intersection de la médiatrice d'un deuxième côté et de la droite portant le troisième côté, ce qu'il est aisé de démontrer.
D'autre part, ces six points d'intersection médiatrices-côtés sont quatre à quatre cocycliques, ce qui est également facile à démontrer (cercles orange sur ma première figure).
Il se trouve que les trois cercles de Kosnitza (en vert sur ma première figure), qui passent chacun par le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC et par deux des trois sommets de celui-ci, donc aux extrémités d'un premier côté, passent également par les deux points d'intersection de la médiatrice d'un deuxième côté et de la droite portant le troisième côté, ce qu'il est aisé de démontrer.
D'autre part, ces six points d'intersection médiatrices-côtés sont quatre à quatre cocycliques, ce qui est également facile à démontrer (cercles orange sur ma première figure).
Je constate alors les choses suivantes, sans pouvoir les expliquer :
Les trois droites des centres de paires de cercles ainsi définies concourent en un point P. D'après ma deuxième figure, faite selon la convention ETC 6-9-13, il semblerait que ce point de concours ne soit pas répertorié dans ETC.
Deux de ces droites passent aussi chacune par le centre d'un cercle particulier : la droite des centres des deux cercles associés au plus grand côté du triangle passe par Oe, centre du cercle passant par les points "externes" Ae, Be et Ce situés chacun sur un prolongement d'un côté du triangle ; et la droite des centres des deux cercles associés au plus petit côté du triangle passe par Oi, centre du cercle passant par les points "internes" Ai, Bi et Ci situés chacun sur un côté du triangle.
Les trois droites des centres de paires de cercles ainsi définies concourent en un point P. D'après ma deuxième figure, faite selon la convention ETC 6-9-13, il semblerait que ce point de concours ne soit pas répertorié dans ETC.
Deux de ces droites passent aussi chacune par le centre d'un cercle particulier : la droite des centres des deux cercles associés au plus grand côté du triangle passe par Oe, centre du cercle passant par les points "externes" Ae, Be et Ce situés chacun sur un prolongement d'un côté du triangle ; et la droite des centres des deux cercles associés au plus petit côté du triangle passe par Oi, centre du cercle passant par les points "internes" Ai, Bi et Ci situés chacun sur un côté du triangle.
Vos explications et vérifications seront donc les bienvenues. D'avance, grand merci !
Bien cordialement, JLB
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Réponses
Je suis très calme ...
Il est probable qu'il y ait une erreur dans la seconde figure. (J'ai fait les deux méthodes).
Au reste, jelobreuil, tu peux reprendre ta première figure et rentrer en ligne de commande TriangleCentre(A,B,C,1147) pour vérification.
Ou construire l'orthocentre du triangle formé par les 3 centres des cercles de Kosnitza.
Les trois droites des centres de paires de cercles ainsi définies concourent en un point P
Je pense que les "divergences" viennent du fait qu'on n'apparie pas ces centres de la même manière pour construire ces droites.
Mais avec GeoGebra, il est prudent de ne pas afficher la grille pour les intersections et autres.
Supprime la grille sur ta seconde figure et remesure la distance $Ph$
1) pourquoi ces trois droites des centres concourent précisément en ce point,
2) les alignements évoqués dans mon message initial ...
Pour la suite, s'ils le veulent bien, il faut attendre les bonnes volontés : Rescassol qui rescassolise, Bouzar qui bouzarise et peut-être pappus qui atomise les droites concourantes et les points alignés ...
Peut-être demain, là, je m'en vais pour la soirée.
Cordialement,
Rescassol
Contribution d'une mauvaise volonté: Il suffit de bien vouloir nommer $B_e,C_e$ les points obtenus par l'application de
et_circ au point $A_e$ et de nommer $B_i,C_i$ les points obtenus par application de et_circ au point $A_i$. On obtient alors
des objets qui sont inverses par paires dans le cercle circonscrit.
On pourrait même noter une certaine ressemblance avec la construction du cercle inscrit dans un triangle hyperbolique.
Cordialement, Pierre.
Je ne pensais pas que tu étais susceptible de t'intéresser à ce sujet.
Je tenterai à l'avenir d'être plus "exhaustif".
Je confirme, avec Morley circonscrit:
Cordialement,
Rescassol
PS: Toujours ces caractères en jaune sans que je sache pourquoi ...
$iieA=\mathcal {C}\left(Ae,Bi,Ci \right)$ ; $eeiA=\mathcal {C}\left(Ai,Be,Ce \right)$ ; et_circ
Alors les centres $K_A,O_A,Q_B,Q_C'$ des cercles $cirA,oraA,iieB,eeiC$ sont alignés sur une droite passant par X(1147).
Tandis que les cercles $iieA,iieB,iieC$ concourent en un point $Qiie$ et les cercles $eeiA,eeiB,eeiC$ concourent en un point $Qiie$ [$Qeei$ ? AD]. Ces deux points sont inverses wrt le circonscrit.
Une ressemblance avec des cercles de Miquel ne peut-être que fortuite... à moins qu'elle ne le soit pas.
Cordialement, Pierre.
Cordialement, Pierre.
La logique, il y a un sous-forum pour cela. Pour ce qui est de la géométrie, on sait que l'ordre des points sur une droite n'arrête pas de changer lorsque l'on agite la figure dans son logiciel préféré. Corollaire: la géométrie Saint Thétique n'est bien souvent qu'une farce pitoyable, qui se contente de lire l'ordre des points sur la figure. Au contraire, la géométrie naturelle (projective) utilise massivement les actions de groupe. Donc Pierre a non seulement fait exprès, mais ne s'est pas gouré (au moins en cette occasion).
Cordialement, Pierre.
Au risque de me faire rouspéter pour me mêler de cette histoire qui ne me regarde pas, je vais tenter une explication car je pense qu'il t'a répondu en fait. Il définit 3 droites (AB) (BC) et (CA) et donc de manière circulaire :
Ae sur (CA) et Ai sur (AB )
Be sur (AB) et Bi sur (BC)
Ce sur (BC) et Ci sur (CA)
Si on bouge les points A,B et C et bien les couples de points précédents vont se trouver l'un sur un coté du triangle et l'autre comme inversion de ce point par rapport au cercle circonscrit à ABC.
Toi, tu lis e comme externe et i comme interne mais ce n'est pas son cas. Objectivement sur une figure quelconque comment savoir à priori si la médiatrice de [BC] va couper le coté [AC] ou le coté [AB] du triangle ? Cela dépend de la position du point A, il n'y a aucune raison de privilégier l'un à l'autre sauf à "regarder la figure".
Il me semble que c'est justement un reproche qui peut être fait à la géométrie synthétique et comme tout le monde sait qu'il fait un prosélytisme acharné pour la géométrie projective (et le calcul formel), normal qu'il saute sur l'occasion. A mon avis, il ne faut pas y voir plus que ça et certainement pas une insulte pour toi, peut-être même une incitation à sa manière pour que tu t'y intéresses.
Pour le reste, je pense que tu te trompes, il n'y a pas besoin de connaissances stratosphériques pour suivre bon nombre de ses messages (pas tous, faut pas rêver non plus) par contre comme toute nouveauté, cela nécessite forcément un minimum d'investissement.
Chacun peut choisir de le faire ou non mais on ne peut pas lui reprocher des messages incompréhensibles si on choisit de ne pas le faire. Honnêtement, je n'ai pas du tout le niveau pour jouer dans la même cour que les habitués de ce sous-forum mais il a quand même pris le temps d'examiner ce que j'écrivais suffisamment attentivement pour trouver là où je manquais clairement de savoir faire.
Humainement parlant, ce n'est pas si mal d'autant qu'à contrario je ne peux pas apporter grand chose dans ce domaine par rapport à eux et je peux t'assurer que ses explications étaient adaptées. Je comprends que le style très sarcastique puisse déranger mais disons que c'est un peu comme la prof excentrique de @Soc, il faut savoir lire entre les lignes.
Bien cordialement, JLB
On sait que le rayon $OA$ est perpendiculaire au côté $EF$ de ce triangle. Or, $OA$ est l'axe radical des cercles de Kosnitza $(Kc)$ et $(Kb)$. Donc, la droite des centres $KbKc$, perpendiculaire à $OA$, est parallèle à ce côté $EF$.
Soit $(M)$ le cercle de centre $M$, le milieu de $BC$, et de rayon $MB$ : on sait que ce cercle passe par les sommets $E$ et $F$ du triangle orthique. Le théorème de Reim appliqué aux cercles $(M)$ et $(Ka)$, avec les points de base $B$ et $C$ et les moniennes $FBBe$ et $ECCi$, indique que les segments $FE$ et $BeCi$ sont parallèles. Donc, les droites $BeCi$ et $KbKc$, toutes deux parallèles à $EF$, sont parallèles entre elles.
Or, la droite $BeCi$ est l'axe radical du cercle de Kosnitza $(Ka)$ et du cercle $(Oa)$. La droite des centres $OaKa$, perpendiculaire à cet axe radical, est donc aussi perpendiculaire au segment $KbKc$, parallèle à cet axe radical. Donc, dans le triangle $KaKbKc$, la droite $OaKa$ est le support de la $Ka$-hauteur.
À suivre ... Bien cordialement, JLB
"X(1147) = X(4)-of-Kosnita-triangle", et X(4) désigne l'orthocentre ...
Bien cordialement, JLB
Je me permets de rappeler que cette définition de X(1147) avait été évoquée plus haut :
Ou construire l'orthocentre du triangle formé par les 3 centres des cercles de Kosnita.
Il reste que le calcul, via en particulier les coordonnées barycentriques, pour qui sait les maitriser à l'aide d'un logiciel ad hoc (pas moi !), est à mon sens la bonne manière d'aborder ce genre de problème.
Voilà du calcul barycentrique:
PS: Je peux donner les fonctions auxiliaires si nécessaire.
Une question qui reste entière m’intrigue :
Kosnita ou Kosnitza ?
J’ai l’impression que JLA est à l’origine d’un z intempestif.
Pour le dernier point, il suffit de rajouter ceci à mon code:
Cordialement,
Rescassol
PS: Il me semble qu'il n y a pas de "z" à "Kosnita".
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le point de Kosnitza2.pdf
Cependant, je note que si l'on voulait vraiment pinailler, il faudrait peut-être écrire "Koshnitza" ou "Kochnitza", d'après le premier lien ...
Bien cordialement, JLB
finalement, ne sachant où nous en sommes, une preuve synthétique basée sur l'orthologie est possible...je passe à la rédaction....
Sincèrement
Jean-Louis
Cordialement, Pierre
Cordialement, Pierre.
Edit: comment voir les triangles rouges qui clignotent sans une figure ?
Edit: La conique est l'isogonale de la droite d'équation complexe:
$s_3(s_1^2-s_2)z-s_3(s_2^2-s_1s_3)\overline{z}+(s_2^3-s_1^3s_3)=0$
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Les triangles de Kosnita et Lang.pdf
Sincèrement
Jean-Louis
Que viennent faire ces photos dans tes liens ?
Une, passe encore, mais il y a une permanence qui ne cesse de m'interroger : un côté graveleux ? (déjà signalé par pldx1).
Question subsidiaire : quel âge as-tu ?