Fonctions niveau terminale samedi 18 mars

etanche
Modifié (March 2023) dans Analyse
Bonjour
Les courbes de $f(x)=e^x - x$ et $g(x)=x - \ln(x)$ se coupent en un point $A$
On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par $A$, cette droite coupe la courbe de $f$ en $B$, la courbe de $g$ en $C$.
Montrer que $A$ est milieu de $[BC]$, $AB=AC$.
Merci
Merci à cailloux et Rescassol pour vos remarques mais $A$ est milieu de $[BC]$ d’après la réponse de gai requin.

Réponses

  • Bonjour,
    Je pense que tu as voulu écrire $AB=AC$. Il me semble que c'est faux.
  • Rescassol
    Modifié (March 2023)
    Bonjour
    Presque :

    Cordialement,
    Rescassol
  • etanche
    Modifié (March 2023)
    @ cailloux et Rescassol c’est AB et AC. 


  • etanche
    Modifié (March 2023)
    A est bien milieu de [BC] d’après la réponse de gai requin
  • Rescassol
    Modifié (March 2023)
    Bonsoir,

    Ma figure résout les deux premières questions.
    Pour la 2, il manque le mot "près" à la fin de la phrase, et je suppose que tu voulais écrire $AB-AC$.
    Et le début de ton message semble indiquer que tu as posé ce problème sans en avoir de solution ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir,
    J’ajoute que les exercices à géométrie variable ne sont pas ma tasse de thé.
  • etanche
    Modifié (March 2023)
    @ Rescassol je n’avais pas regardé de près. 
  • gai requin
    Modifié (March 2023)
    @etanche : Soit $\alpha,\beta,\gamma$ les abscisses de $A,B,C$.
    On a $f(\ln\alpha)=\alpha-\ln\alpha=g(\alpha)=f(\alpha)$ donc $\beta=\ln\alpha$.
    De plus, $g(e^{\alpha})=e^{\alpha}-\alpha=f(\alpha)=g(\alpha)$ donc $\gamma=e^{\alpha}$.
    Ainsi, $\beta+\gamma=\ln\alpha+e^{\alpha}=2\alpha$ donc $A$ est le milieu de $[BC]$ !
  • etanche
    Modifié (March 2023)
    @ Rescassol et cailloux d’après la réponse de gai requin $A$ est bien milieux de $[BC]$
    @ Rescassol comment as-tu obtenu $0,0000009206$ ? 
  • @etanche : C'est pas bien de modifier tous tes messages au gré des réponses des uns et des autres.
    Quant à Rescassol, il a obtenu son résultat par approximations successives de fonctions transcendantes donc, quand j'ai vu son "presque", j'étais assez persuadé que $A$ était le milieu de $[BC]$.
  • Rescassol
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,

    Mon résultat est l'approximation donnée par Géogébra, je n'ai rien calculé moi-même.
    De même, Géogébra dit que $AB-y_A=0.00000000071849$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour Rescassol,
    Toi, je ne sais pas mais moi, je me suis fait clairement avoir par GeoGebra.
  • Bonjour, Mais c'est quoi la question originale, je ne comprends pas la suite des messages !
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • cailloux
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    etanche a modifié ses messages à tour de bras. Ce fil est devenu de ce fait incompréhensible.
    Tu peux te référer au premier message (modifié 3 ou 4 fois) dans son état actuel à 13h28.
  • gebrane
    Modifié (March 2023)
    Merci @cailloux , je viens de regarder la preuve de GR, il a conclut rapidement que $\beta=\ln(\alpha)$, normalement on doit démontrer à l'avance que cela est possible car $\beta<0$ et $\alpha \in ]0,1[$. Je me demande si le fait que $\alpha \in ]0,1[$ est une évidence ? De ma part je raisonne comme suit on a
    $e^\alpha -\alpha  =\alpha- \ln(\alpha)$ avec $\alpha >0$ donc $\ln(\alpha)=2\alpha-e^\alpha $.
    Pour conclure, il suffit de montrer que $e^x>2x ,\quad \forall x>0$.
    Par exemple, on sait que $e^x\ge x+1,\quad \forall x\in \mathbb R$ donc  $e^{x-1}\ge x$, donc $e^x= e^{x-1}e\ge x.e > 2x $.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : D’après le TVI, l’équation $f(x)=f(\alpha)$ a au plus deux solutions et tout le monde sait que $\ln\alpha<\alpha$.
  • gebrane
    Modifié (March 2023)
    Merci, Je suis passé d'un fait très simple  (corollaire du TVI pour les fonctions strictement monotones)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • kolotoko
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    j'ai utilisé wims pour justifier que A est le milieu de BC.
    Wims sait calculer avec 5000 chiffres décimaux.
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • gebrane
    Modifié (March 2023)
    Il parait qu'il y a aussi égalité des aires entre B et A et A et C  !?
    Edit. Je ne pense pas que ce soit égal, il n'y a aucune raison pour cela.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @ gebrane jolie observation pour l’égalité des aires.
  • Même sans Wims, @gai requin a écrit une démonstration... (Quel homme, ce gai requin !)
  • jean lismonde
    Modifié (March 2023)
    Bonsoir
    la démonstration algébrique de gai requin est bonne : il n'y a rien à redire
    on peut encadrer $\alpha$ assez précisément : $0,52744... < \alpha < 0,52745...$ 
    on en déduit $e^{\alpha} = 1,69459...$ et aussi $ln(\alpha) = - 0,63 972...$
    et on peut vérifier numériquement la relation démontrée par gai requin
    quant aux aires dont on peut conjecturer l'égalité 
    la vérification numérique préjuge en effet l'égalité soit 0,129589... pour chacune
    mais ce n'est pas une démonstration que l'on obtiendrait avec la méthode de gai requin 
    notre ami Rescassol trouve une différence entre les distances BA et AC
    en fait geogebra comme la calculatrice TI Premium donnent des résultats approximatifs
    Cordialement.
  • @ gai requin désolé les modifications. Au vue de du dessin de Rescassol je pensais que l’énoncé n’était pas juste. 

  • Etanche. Pour te faire pardonner,  donne nous une autre preuve   :p
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • C’est plutôt Rescassol que devrait se faire pardonner avec son ’’presque’’ et qui a mis le doute. :p
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Bonsoir,

    Ce serait plutôt  à Géogébra de se faire pardonner  :) ...........

    Cordialement,
    Rescassol

  • @gebrane : $0=\left[g^2(x)\right]_{\alpha}^{e^{\alpha}}=2\int_{\alpha}^{e^{\alpha}}g(x)g'(x)dx$.
    Donc $\int_{\alpha}^{e^{\alpha}}g(x)dx=\int_{\alpha}^{e^{\alpha}}\frac{g(x)}xdx=\int_{\ln\alpha}^{\alpha}g(e^x)dx=\int_{\ln\alpha}^{\alpha}f(x)dx$.
  • Je suis étonné  par ce résultat sur l'égalité des aires. Bravo GR.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • etanche
    Modifié (March 2023)
    @ gai requin très jolie cette preuve d’égalité des aires.

    Est-ce que la symétrie axiale par rapport à la droite $x=\alpha$ échange courbe de $f$ et de $g$ ?
  • On peut s'en tirer avec GeoGebra mais c'est un peu laborieux. Il faut utiliser le calcul formel et la méthode de Newton.
    Soit la fonction $h(x)=e^x + ln(x)-2x$. La commande Numérique(a, 30) essaie de déterminer 30 chiffres significatifs du nombre a.. On calcule d'abord $k(x)=x-h'(x)/h(x)$ puis on entre : Numérique(Itération(k(x), x, 1, 5), 30) (1 est la valeur initiale, 5 le nombre d'itérations, 30 le nombre de chiffres significatifs). Vu la vitesse de convergence de la méthode (quadratique), 5 itérations suffisent pour avoir 25 chiffres après la virgule corrects (les suivants sont faux). Ici 4 itérations ne donne pas une précision suffisante, et 6 fait planter le logiciel.
    On répète la manip pour avoir les abscisses de $B$ et $C$, points qu'on place alors dans la fenêtre graphique à partir de leurs coordonnées déterminées par le calcul formel. On aura alors $AB=AC$ pour GGB. 
  • @etanche : Tu as mal lu, ton intégrale ne peut pas être nulle.
  • Bonjour,
    dans un repère orthonormé , on trace les graphes des fonctions  i(x) = x, j(x) =  e^x, k(x) = ln(x) .
    Je note a, b, c les nombres  alpha, béta et gamma précédents.
    Si on place les points de coordonnées D(b,b), B(a, b), E(b,a), A(a,a), G(c,a), C(a,c), F(c,c),
    On peut justifier visuellement l'égalité des deux intégrales, il me semble, correspondant à l'isométrie des portions ACED et AFGB.
    Bien cordialement.
    kolotoko  

  • etanche
    Modifié (March 2023)
    Montrer que  $\int_{\alpha}^{e^{\alpha}} g^2(x)  dx = \int_{\ln(\alpha)}^{\alpha} f^2(x)  dx $  où $f^2(x)=(e^x -x)^2, g^2(x)=(x-\ln(x))^2$

    Quand est-il pour $\int_{\alpha}^{e^{\alpha}} g^k(x)  dx = \int_{\ln(\alpha)}^{\alpha} f^k(x)  dx $  où $f^k(x)=(e^x -x)^k, g^k(x)=(x-\ln(x))^k$ avec $k\geq 3 $entier
    Merci.
  • Bonsoir

    Pour répondre à notre ami etanche il n'existe aucune symétrie
    ni axiale ni ponctuelle des deux courbes C(f) et C(g) en effet
    C(g) admet une asymptote verticale x = 0 alors que C(f) n'admet aucune asymptote verticale

    on peut déterminer l'abscisse a du point A au milliardième, 
    a étant la limite de la suite croissante $u_{n+1} = ln(2u_n - ln(u_n))$ avec $u_0 = 0,52744$
    soit $a = 0,527447268$ et on en déduit l'ordonnée de A soit $b = e^a - a = 1,167153653...$

    on peut trouver par calcul intégral I l'aire déterminée par C(f)
    avec la droite horizontale passant par A entre les points B et A, on obtient
    $I = \int_lna^a[b - e^x - x]dx = \frac{(e^a - a)(e^a + a - 2)}{2}$
    on trouve numériquement 0,1295821775...u.a.

    de même l'aire J déterminée par C(g) avec la même droite horizontale
    entre les points A et C est trouvée par calcul intégral soit 
    $J = \int_a^{e^a}[b - x + lnx]dx = \frac{(e^a - a)(e^a + a - 2)}{2}$

    les deux aires I et J sont égales alors que les longueurs des arcs des courbes C(f) et C(g)
    calculées respectivement entre B et A puis entre A et C sont distinctes
    la première fait 1,2288189...u.l et la seconde 1,2319922...u.l.
    ce qui confirme ce que l'on savait déjà, que les deux courbes n'admettent pas de symétrie axiale 

    quant à la dernière égalité d'aires proposée par etanche elle mérite d'être démontrée algébriquement
    numériquement elle est vérifiée avec 9 chiffres significatifs soit $1,30476828...$

    Cordialement
  • Ludwig
    Modifié (March 2023)
    La propriété initiale du fil se généralise : 


    Lieu du milieu de $[AA']$ lorsque la droite en pointillés varie ?
  • @ Ludwig très jolie découverte. 
  • GaBuZoMeu
    Modifié (March 2023)
    Puisque les questions sont recyclées, recyclons les réponses :
    On peut généraliser : soit $u : I\to J$ une bijection entre deux parties de $\mathbb R$, $u^{-1}$ la bijection réciproque. On définit $f: I\to \mathbb R$ par $f(x)=u(x)-x$ pour tout $x\in I$ et $g: J\to \mathbb R$ par $g(x)=x-u^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$. On a bien sûr $f=g\circ u$.
    Fixons $a\in I$. Supposons que $h$ est un réel tel que $a+h\in I$ et $f(a+h)=f(a)$. Alors $u(a)+h\in J$ et $g(u(a)+h)=g(u(a))$. En effet $u(a)+h=u(a+h)$ et donc $g(u(a)+h)=g(u(a+h))=f(a+h)=f(a)=g(u(a))$.
    Et on peut ajouter, pour Ludwig, que $u(a+h)-(a+h)=u(a)-a=f(a)$.
  • etanche
    Modifié (March 2023)
    @ GaBuZomeu merci pour le lien qui contient une généralisation $f(x)=u(x)-x,\ g(x)=x-u^{-1}(x)$
    Comment démontre-t-on [que] les segments en bleus sur le schémas de Ludwig sont égaux ? Merci.
  • Si on note $a=x(A)$ et $a'=x(A')$ alors cette égalité résulte du fait que $x(B)=\ln(a)$ et $x(C)=e^{a'}$. Ci-dessous une figure avec un autre carré obtenu par la construction de tangentes. $S$ et $S'$ sont les sommets des courbes.

  • ybreney
    Modifié (March 2023)
    Bonjour à tous,
    merci à l'initiateur de ce fil pour l'idée d'exercice.
    J'en ai rédigé une version pour mes élèves de Terminale, je la partage ici pour celles et ceux qui sont intéressés.
    J'ai glissé quelques coups de pouce au passage.
    Cordialement.
    Y.
    Dans cet exercice, on considère les fonctions $f: x\mapsto e^x-x$ et $g: x\mapsto x-\ln(x)$.
    On note $\C_f$ et $\C_g$ leurs courbes représentatives respectives dans un même repère orthogonal du plan.
    1.     Montrer que les courbes $\C_f$ et $\C_g$ l ont un unique point d'intersection, que l'on nommera $A$ dans la suite de l'exercice. 
      Indication.-- On pourra s'aider de l'inégalité de convexité classique suivante: pour tout réel $x$, $\,e^x\geqslant x+1$, avec égalité si et seulement si $x=0$.
    2. On note $a$ l'abscisse du point $A$.
      Justifier que le réel $a$ appartient à l'intervalle $]0;1[$.
    3. On nomme $\mathcal{D}$ la droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par le point $A$.
      Prouver que la droite $\mathcal{D}$ coupe la courbe $\C_f$ en un point $B$ et coupe la courbe $\C_g$ en un point $C$, ces deux points étant distincts de $A$.
      Indication.-- On pourra s'aider de l'inégalité de convexité classique suivante: pour tout réel strictement positif $x$, $\,\ln(x)\leqslant x-1$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
    4. Justifier que le point $A$ est le milieu du segment $[BC]$.
      Indication.-- On pourra s'intéresser aux réels $f(\ln(a))$ et $g(e^a)$.
  • etanche
    Modifié (March 2023)
    @ ybreney merci pour le partage. Tu peux ajouter les intégrales de jean lismonde voir son post ci-dessus. La généralisation de Ludwig l’égalité des segments bleus.

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