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Sous-espace fermé d'un espace normé et propriété — Les-mathematiques.net
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Sous-espace fermé d'un espace normé et propriété
nyadis
17 Mar
Modifié (17 Mar)
dans
Analyse
Bonjour, je voudrais montrer que si $ E $ est un sous-espace fermé d'un espace normé $ X $, alors pour tout $\epsilon > 0$ il existe $ x\in X$ de norme $ 1 $ tel que $ d (x,E) \geq 1 - \epsilon$.
Réponses
Barjovrille
17 Mar
Bonjour, sous forme de petit exercice :
1) traite le cas $\epsilon \geq 1$
2) Soit $0<\epsilon<1$
2a) Montre qu'il existe $z \in X \backslash E$ et $v \in E$ tel que $ \displaystyle ||z-v|| \leq \frac{d(z,E)}{1- \epsilon}$
2b) Pose $\displaystyle x=\frac{z-v}{||z-v||}$ et montre que $x$ convient.
Calli
17 Mar
Bonjour,
Je fais remarquer que E doit être un sev
strict
.
Barjovrille
17 Mar
Merci
@Calli
.
nyadis
17 Mar
Parfait! Merci.
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Je fais remarquer que E doit être un sev strict.