Sous-espace fermé d'un espace normé et propriété

nyadis

Bonjour, je voudrais montrer que si $ E $ est un sous-espace fermé d'un espace normé $ X $, alors pour tout $\epsilon > 0$ il existe $ x\in X$ de norme $ 1 $ tel que $ d (x,E) \geq 1 - \epsilon$.

Barjovrille

Bonjour, sous forme de petit exercice :

1) traite le cas $\epsilon \geq 1$

2) Soit $0<\epsilon<1$

2a) Montre qu'il existe $z \in X \backslash E$ et $v \in E$ tel que $ \displaystyle ||z-v|| \leq \frac{d(z,E)}{1- \epsilon}$

2b) Pose $\displaystyle x=\frac{z-v}{||z-v||}$ et montre que $x$ convient.

Calli

Bonjour, 
Je fais remarquer que E doit être un sev strict. 

Barjovrille

Merci @Calli.

nyadis

Parfait! Merci.