Théorème d'Abott Gonia

pldx1

Bonjour.
Le titre choisi par l'auteur était "Abott Gonia's Theorem".
Il a été remplacé sans laisser de commentaire par quelqu'un qui, visiblement, n'a pas tout compris 
de quoi qu'il était question. 
Le lecteur éventuel pourra tenter une seconde lecture, utilisant le titre originel.

Cordialement, Pierre.

[Manifestement je fais preuve d'une grand inculture, mais je n'ai toujours pas compris le(s) sous-entendu(s) que tout érudit se devrait de comprendre !  AD]

Mon cher AD, merci pour ton travail de modérateur !
[À ton service AD]

pldx1

$\def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\stei{\mathrm{ST}} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\simdoteq{\stackrel{.}{\simeq}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\isog{\operatorname{isogon}} \def\pivk{p\mathcal{K}} \def\acev#1{#1_{A}#1_{B}#1_{C}} \def\ceva#1{A_{#1}B_{#1}C_{#1}} \def\OT#1{\mathfrak{O}\left(#1\right)}$Bonjour

Rapportons le plan au triangle $ABC$ et considérons le point $P\simeq p:q:r$. Son triangle de Steiner est formé des réflexions de $P$ par rapport aux côtés du triangle. On rappelle que $\Sa\doteq\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)/2\etc$. Faisant les calculs, on obtient: \[ \stei\left(P\right)\simeq\left[\begin{array}{ccc} -p & p+\dfrac{2\,\Sc\,q}{b^{2}} & p+\dfrac{2\,\Sb\,r}{c^{2}}\\ \dfrac{2\,\Sc\,p}{a^{2}}+q & -q & q+\dfrac{2\,\Sa\,r}{c^{2}}\\ \dfrac{2\,\Sb\,p}{a^{2}}+r & \dfrac{2\,\Sa\,q}{b^{2}}+r & -r \end{array}\right] \] Comme il se doit, les colonnes représentant les trois sommets ont été synchronisées. Et donc, on peut vérifier que $\linf\simdoteq\left[1,1,,1\right]$ est une ligne propre de $\stei$ (avec $\lambda=p+q+r$). On a:

$\det\stei\left(P\right)=R^{2}\,\left(p+q+r\right)\,\left(a^{2}qr+b^{2}pr+c^{2}pq\right)$: c'est le théorème de Steiner.

$\stei\left(P\right).\isog\left(P\right)\simeq P$.

Le centre circonscrit de $\stei\left(P\right)$ est $\isog\left(P\right)$, et son rayon est \[ \rho_{\stei}=\dfrac{\sqrt{\prod\left(b^{2}r^{2}+c^{2}q^{2}+2\,\Sa\,rq\right)}}{\left(p+q+r\right)\left(a^{2}qr+b^{2}pr+c^{2}pq\right)} \]

Et maintenant, une chasse aux perspecteurs.

$\stei\left(P\right)$ est en perspective avec $ABC$ lorsque $P\in\pivk$$\left(X_{6},X_{30}\right)$, la cubique de Neuberg.

$\stei\left(P\right)$ est en perspective avec $\ceva P$, le triangle cévien de $P$, lorsque $P\in\pivk$$\left(X_{1989},X_{265}\right)$, the O(X5) orthopivotal cubic. Voir https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k060.html

$\stei\left(P\right)$ est toujours en perspective avec $\acev P$, le triangle anti-cévien de $P$. Le perspecteur est: \[ \mathrm{hP}=\left(\begin{array}{c} p\left(-\Sa\,p+\Sb\,q+\Sc\,r\right)\\ q\left(+\Sa\,p-\Sb\,q+\Sc\,r\right)\\ r\left(+\Sa\,p+\Sb\,q-\Sc\,r\right) \end{array}\right) \] On est en présence d'une transformation de Cremona, du second degré et qui est involutive. Ses points fixes sont les pieds des hauteurs et $H$ fait partie de ses points fixes. Comme $H$ est le centre inscrit du triangle orthique, on en conclut que $\mathrm{hP}$ est l'isogonal de $P$ par rapport au triangle orthique.

Par définition, le triangle de l'Abbé Gonia est le triangle des réflexions du point $P$ par rapport aux cotés de $\stei\left(P\right)$, le triangle de Steiner de $P$. Alors, ce triangle est en perspective avec $ABC$, le triangle de référence. Et c'est ce perspecteur qui est le "Orion transform of $P$" . \[ \OT P\simdoteq\left(\begin{array}{c} \left(b^{2}r^{2}+c^{2}q^{2}+2\,\Sa\,qr\right)p^{3}-a^{2}pq^{2}r^{2}\\ \left(a^{2}r^{2}+c^{2}p^{2}+2\,\Sb\,pr\right)q^{3}-b^{2}p^{2}qr^{2}\\ \left(a^{2}q^{2}+b^{2}p^{2}+2\,\Sc\,pq\right)r^{3}-c^{2}p^{2}q^{2}r \end{array}\right) \]

Des exemples numériques montrent que " assez souvent" un point Orion possède trois antécédents.

Cordialement, Pierre.

Vassillia

Bonjour,

J'imagine que le titre était un jeu de mot avec "about Gonia's Theorem" et avec "théorème d'une botte de bégonias " tout comme "Abbé Gonia" est un jeu de mot avec "bégonia". Je n'ai évidemment aucune culture à ce sujet mais ayant lu le titre du fil de Jean Louis Ayme, j'ai fait le rapprochement.

A part ça, j'ai essayé et cela ne fonctionne pas chez moi

Est-ce que le triangle de l'Abbé Gonia ne serait pas plutôt le triangle des réflexions du point $P$ par rapport aux cotés du triangle cévien $A_PB_PC_P$ ? En tout cas, cela fonctionne nettement mieux selon moi et je retrouve bien le perspecteur indiqué.

pldx1

Boujour,

Vassillia a dit: Est-ce que le triangle de l'Abbé Gonia ne serait pas plutôt le triangle des réflexions du point $P$ par rapport aux cotés du triangle cévien $A_PB_PC_P$ ? En tout cas, cela fonctionne nettement mieux selon moi et je retrouve bien le perspecteur indiqué.

Oui, bien sûr !   Il semblerait que pldx1 ait confondu avec le triangle de l'Abbé Chamel. En tout cas, l'ordinateur de pldx1 est totalement innocent de ce patakès: le titre de la feuille de calcul était: Reflect wrt the cevian !

Merci pour avoir signalé cette bourde.

Cordialement, Pierre.

Vassillia

Pourtant autant accuser l'Abbé Cane de l'Abbé Tise

samok

(bon moi, cela me paraissait évident que la traduction juste du titre était : on niera jusqu'aux bouts des doigts)

Math Coss

On niera où tu voudras, quand tu voudras.

samok

On nierait où tu voudrais, quand tu voudrais?

pldx1

Bonjour.

Maintenant que l'Abbé Cane a été totalement mis hors de cause, nous pouvons examiner quelques cubiques.  $\def\kub#1{\mathcal{K}_{#1}}$

1. Pour un point $U\simeq u:v:w$, la condition d'alignement des points $U,P,\OT P$ définit une cubique, soit $\kub F$. Ces cubiques forment un bundle engendré par $\kub A,\kub B,\kub C$.
2. La cubique $\kub A$ a pour équation \[ p\left(c^{2}q^{2}-b^{2}r^{2}\right)+\Sb\,r\,q^{2}-\Sc\,q\,r^{2}=0 \] Elle passe par les 7 points $B,C,A+\epsilon I_{a},A+\epsilon I_{b},H_{a},G_{a},A_{a}$ ($H_{a}$: pied de la hauteur, $G_{a}=B+C-A$, $A_{a}=2O-A$). C'est le lieu des points $P$ tels que $PP_{a}\perp P_{b}P_{c}$ où les $P_{j}$ sont les céviens de $P$.
3. Lorsque $U$ est en $G=$X(2), la cubique $\kub G$ est la cubique de Lucas. Lorsque $U$ est en $O=$X(3), la cubique $\kub O$ est la cubique de Darboux. Ces deux cubiques se coupent en $A,B,C,$les 4 CPCC, X(4), X(20). Voir le site de B. Gibert.
4. Question. On fixe $P$. On prend $U$ mobile sur la droite $P\OT P$. La cubique passant par $A,B,C$, les 4 CPCC, $P,U$ passe par un neuvième point fixe. Que peut-on dire de  ce neuvième point ?

Cordialement, Pierre.

Vassillia

J'étais mal partie ne sachant même pas ce qu'est un CPCC sauf qu'en cherchant la signification, j'ai trouvé la réponse à la question (je ne mets pas le lien pour ne pas divulgâcher tout de suite)
En revanche, je mets quand même un petit lien geogebra où on peut bouger le point $U$ sur la droite ainsi que les points $A$, $B$, $C$ et même le point $P$ (via ses coordonnées barycentriques) histoire de visualiser un peu https://www.geogebra.org/classic/xd2qfkvh .
Les points fixes sont en noirs et le fameux point recherché est celui sur la droite en pointillés et qui n'a pas encore de nom, bon courage à ceux qui vont trouver sans aide extérieure.