Une droite particulière passant par I, une droite limite, des triangles en perspective ...

jelobreuil

Bonsoir à tous,

Soit un triangle ABC (avec AB < BC < CA), un point P strictement intérieur à ce triangle, et les perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle. Chacune de ces trois droites coupe aussi les deux droites portant les côtés auxquels elle n'est pas perpendiculaire, en des points appelés Ae, Ai, Be, Bi, Ce, Ci ("e" pour extérieur,"i" pour intérieur, voir la première figure jointe). Parmi les douze droites reliant l'un de ces points à l'un des sommets du triangle, il y en a six qui ne sont pas confondues avec celles portant les côtés du triangle, soit les droites ABi, ACe, BAi, BCi, CAe et CBe. Parmi leurs points d'intersection deux à deux, se distinguent ceux de CBe et BCi, de CAe et ACe, et de ABi et BAi, alignés avec P quand celui-ci est en fait I, le centre du cercle inscrit dans ABC. Et dans le cas où P est presque confondu avec H, l'orthocentre, bien entendu les six points considérés sont presque confondus avec les sommets du triangle, mais il semble que les trois points d'intersection soient presque alignés sur une droite limite (troisième figure, obtenue "à la souris") ...

  

(sur cette figure, les droites mauves servent à vérifier que ce cas est différent de celui où P se confond avec O, voir plus bas)

Mais le cas le plus intéressant (parmi ceux que j'ai envisagés jusqu'à présent) est celui des médiatrices :  non seulement les trois points d'intersection mentionnés plus haut s'alignent sur une droite passant par le centre O du cercle circonscrit, mais les neuf autres points d'intersection s'organisent en trois triplets de points, relativement situés au voisinage de l'un des trois sommets, et les centres des trois cercles passant par ces triplets de points forment un triangle qui est en perspective avec ABC, le centre de perspective n'étant autre que O ...

Permettez-moi de trouver tout ceci assez fascinant, notamment cette dernière figure ...

Bien cordialement, JLB

pldx1

Bonjour, $\def\Sa{S_{a}}   \def\Sb{S_{b}}   \def\Sc{S_{c}}$

On commence par oublier ces histoires de " intérieur" et " extérieur" . Il y a d'une part le point $A_{e}=\mathrm{Intersect}[perpA,ca]$ et ses " avatars rotatoires" , et d'autre part le point $A_{i}=\mathrm{Intersect}[perpA,ab]$ et ses "avatars rotatoires" . On trouve alors que: \[ X_{a}\doteq\left(B\wedge C_{i}\right)\wedge\left(C\wedge B_{e}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ \dfrac{rb^{2}+\Sa\,q}{\Sa\,p-r\Sc}\\ \dfrac{qc^{2}+\Sa\,r}{\Sa\,p-q\Sb} \end{array}\right) \]

La condition pour l'alignement de $X_{a},X_{b},X_{c}$ se calcule aisément. On trouve que cela revient à l'appartenance de $P$ à la cubique de Darboux. Les points X(1), X(4), X(3) sont donc des cas particuliers intéressants.  

Cordialement, Pierre.

Edit: Darboux n'est pas Lucas, Lucas n'est pas Darboux. Darboux utilise la transformation isogonale, Lucas utilise la transformation isotomique.

jelobreuil

Bonjour Pierre,

Merci beaucoup de ton commentaire et de tes explications, plus abordables pour moi que d'ordinaire, car réduites aux résultats de tes calculs ! Je constate que mes termes "intérieur" et "extérieur", pour inappropriés qu'ils soient, n'ont en rien abusé ta perspicacité ...

Je suis quand même étonné par le cas où P vient en X(4) : que se passe-t-il alors, exactement, puisque les six droites se confondent avec les côtés du triangle et que leurs points d'intersection deux à deux ne peuvent pas être clairement définis ? Serait-ce que ce point X(4) est un point particulier, double, de rebroussement, ou autre, de cette cubique de Lucas ? Je vais regarder cela ...

Et comment expliquer l'apparition, dans le seul cas où P vient en X(3), du triangle des centres en perspective avec ABC ? Peut-être que cette propriété est liée à une autre courbe, d'un degré à déterminer, qui ne partage avec la cubique de Lucas que ce point X(3) ?

Enfin, je peux confirmer qu'il n'y a pas d'alignement dans les cas où P se confond avec le centre de gravité X(2) ou avec le centre du cercle des neuf points. J'en déduis, évidemment, que la cubique de Lucas ne passe pas par ces deux points.

Bien cordialement, JLB

pldx1

@jelobreuil.

Excellente déduction... à condition de ne pas suivre pldx1 quand il embrouille Lucas et Darboux. La cubique de Darboux, celle qui intervient ici, est celle qui utilise X(1) et associés comme points fixes (de l'isogonie). La cubique de Lucas est celle qui utilise X(2) et associés comme points fixes (de l'isotomie). 

tentative de mnémonique: Darbouxi, mais LugasG. Il reste à mémoriser l'appariement Darbouxi=K4, mais LugasG=K7. On pourra consulter CTP. 

Cordialement, Pierre.

jelobreuil

Merci, Pierre, de ces correction et précisions. Il va falloir que je m'informe sur ces cubiques ...

Bien cordialement, JLB

scd

Bonjour
Pardon PLDX1 mais j'ai du mal là je te cite (citation placée entre guillemets) 
" à condition de ne pas suivre pldx1 "
Mais c'est toi qui parles de toi  ?
J'avoue que cette façon de parler est difficile à suivre.
J'espère que tu me répondras en disant textuellement que tu parles de toi à la troisième personne sinon là je suis perdu.

jelobreuil

@pldx1
Bonjour Pierre,

En regardant le dessin d'une cubique de Darboux, j'ai vu que le centre du cercle circonscrit en est le centre de symétrie. Ceci pourrait-il expliquer la particularité que j'ai signalée en rapport avec ce point ?

Bien cordialement, JLB