Sujets agrégation externe 2023

OShine

Merci.

@bisam ça marche parfaitement. 
Méthode 1 : 
$f : [0,\pi /2[$ est de classe $C^{2}$ et soit $t \in [0,\pi/2[$. 
 $f(t)= f(0) +\dfrac{t-0}{1!} f'(0) + \displaystyle\int_{0}^t \dfrac{(t-x)}{1!} f''(x) dx$
Or : $f(0)= - \ln (cos( 0) )= 0$ et $f'(t)= \tan (x)$. Enfin : $f''(t)=1+ \tan^2(x) \geq 1$.
Ainsi : $f(t)=\displaystyle\int_{0}^t (t-x) f''(x) dx$
On a $\forall x \in [0,t] \ f''(x) \geq 1$ et $t-x \geq 0$ donc $ (t-x) f''(x) \geq 1$ et par passage à l'intégrale : 
$f(t) \geq \displaystyle\int_{0}^t (t-x) dx = t^2 ( 1- 1/2)$
Finalement on a montré : $\boxed{\exists M=1/2 >0 \ \forall t \in [0,\pi /2 [ \ f(t) \geq M t^2}$.

totem

Bonjour, par curiosité comment résout-on les questions de l'exercice $2$ de l'épreuve de MG ? 
Vous remerciant par avance.

OShine

Méthode $2$ : 
$f$ est strictement croissante sur $]1,\pi /2[$ donc $\forall t \in ]1, \pi /2 [ \ f(t) \geq - \ln ( \cos (1) )$. Mais $ \forall t \in ]1, \pi /2 [ \ t^2 > 0$ donc $\forall t \in ]1, \pi /2 [ \  \dfrac{1}{t^2}  f(t) \geq  \dfrac{ - \ln ( \cos (1) ) }{t^2}$.
Mais $\forall t \in ]1, \pi /2 [ \ \ 1 < t^2 < \pi^2 / 4 $ donc $\boxed{\forall t \in ]1, \pi /2 [ \ \dfrac{f(t)}{t^2} \geq - \dfrac{4}{\pi^2} \ln ( \cos (1))}$.
Prolongement : 
Un DL donne en $0$ : $\dfrac{f(t)}{t^2} = -1/2 + o(1)$ donc on peut prolonger $f$ en $\tilde{f}$ en $0$ avec $\tilde{f} (0)=-1/2$.
$\tilde{f}$ est continue sur le segment $[0,1]$, elle est donc bornée et atteint ses bornes, elle est minorée et il existe $M >0 \ \tilde{f}(t) \geq M$.
Posons $M'= \min (  - \dfrac{4}{\pi^2} \ln ( \cos (1)) , M)$.
$M'$ convient et $M' >0$ car $ - \dfrac{4}{\pi^2} \ln ( \cos (1))  >0$ car $\cos (1) < 1$.

Barry

@totem : pour la question 1, tu fais au cas par cas sachant que t'as seulement les couples $(0,0)$ et $(1,2)$ que tu peux tester dans $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$. La question 2 se ramène à la question 1 par réduction modulo 3 : s'il y a des solutions non nulles, elles sont alors multiples de $3$ et on en déduit que $x^2 - 5y^2$ est multiple de $9$, ce qui ne peut se produire car $9$ ne divise pas $33$.
Pour la dernière question, je n'ai pas tenté de la faire mais tu peux débuter comme dans la question 2.

OShine

La question 1 on peut faire un tableau à double entrée.

LeVioloniste

Pour l'épreuve 2 il y a des fonctions holomorphes et des distributions donc ça dépasse bien le niveau de la prépa CPGE. 
Après nous avoir fait les sujets de l'interne, Oshine s'attaque à l'externe... Pour une double admission l'an prochain ?

NicoLeProf

Voici ce que je ferais :

Question 1 : $x^2 \equiv 0$ ou $1$ modulo $3$ puis tableau à double entrée pour $x^2$ et $y^2$ dans le but d'en déduire $x^2+y^2$ modulo $3$. ce qui répond très rapidement à la question ($x$ et $y$ multiples de $3$ ou encore $(\bar{0},\bar{0})$ est le seul couple solution de l'équation).

Question 2 : comme Barry le dit : $-5 \equiv 1 \pmod 3$ donc $x^2-5y^2 \equiv x^2+y^2 \pmod 3 $ et on se ramène à la question 1.  

$x$ et $y$ sont donc tous les deux multiples de $3$ donc $x^2-5y^2$ est multiple de $9$ mais $9$ ne divise pas $33$ donc pas de solution pour cette équation.

Question 3 : On pose $x=\dfrac{a}{b} $ et $y=\dfrac{c}{d}$ avec $b,d \neq 0$ . On remplace dans l'équation, on multiplie membres à membres par $b^2d^2$ ce qui donne : $(ad)^2-5(cb)^2=33(bd)^2$ soit une équation du type : $X^2-5Y^2=33Z^2$ où $X$, $Y$ et $Z$ sont des entiers. On peut déjà dire qu'il y a des solutions si $Z^2 \equiv 0 \pmod 3$ mais qu'il n'y en a pas si $Z^2 \equiv 1 \pmod 3$ pour les mêmes raisons que la question 2.

Après, cela me semble assez subtil, il faudrait discuter sur $Z$ donc sur $b$ et $d$ sans oublier $a$ et $c$ donc à voir. Pour le moment, je n'ai pas toute la résolution. ^^'

OShine

LeVioloniste a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415889/#Comment_2415889

Les deux premières parties du sujet d'analyse sont faisables avec le niveau spé.

Lee sin

NicoLeProf a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415892/#Comment_2415892

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Il n'y a pas de solutions pour cette équation dans $\mathbb{Q}$. 
En effet, on peut, quitte à diviser l'équation par $pgcd(X,Y,Z)^2$ supposer que $X,Y,Z$ sont premiers entre eux dans leur ensemble. 
Comme $X^2+Y^2 = 0[3]$, d'après la question 1, $X$ et $Y$ sont tous les deux des multiples de 3. En notant $X=3X'$, $Y=3Y'$ on trouve 
$9(X'^2-5Y'^2) = 33Z^2$ soit $3(X'^2-5Y'^2) = 11Z^2$ ce qui implique que $3$ divise $Z$. C'est en contradiction avec le fait que $X,Y,Z$ sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Lee sin

Exercice 1 question 2- (MG):
Il me semble que l'hypothèse q impair est superflue et rien ne change si on la remplace par $q \geq 1$.
Le cas $q=1$ est à traiter à part, le groupe $G$ est cyclique dans ce cas (et seulement dans ce cas).

Amédé

Phil Caldero a déja corrigé... C'est quand même stressant pour les candidats, je trouve, de corriger avant l'admissibilité.

Alexique

Faut quand même arrêter avec ces histoires de "spoilers" indésirés. Le corrigé de l'agreg ne passe pas aux news nationales de BFM, on est d'accord ? Si on ne veut pas le voir... ben on ne le regarde pas, on ne consulte pas les topics en rapport avec le sujet et on ne clique pas sur les vidéos youtube concernées. On parle de candidats à l'agrégation un peu matures et qui savent se prendre en main ou d'enfants de 5 ans ? 

Ou alors le débat c'est "est-ce que ce topic doit servir pour échanger entre candidats autour de l'épreuve pour se rassurer ou bien est-ce qu'on peut y donner des éléments de correction ?" Moi, j'ai envie de dire les deux. Parce que donner des éléments de correction peut aussi rassurer ceux qui ont bien répondu.

llorteLEG

Il faut éviter aussi de parler sur le topic du dernier Star Wars du dernier Star Wars avant que le monde entier l'ait vu pour éviter que des gens puissent se faire spoiler

OShine

Amédé a dit :

Phil Caldero a déja corrigé... C'est quand même stressant pour les candidats, je trouve, de corriger avant l'admissibilité.

Il corrige très succinctement, ce n'est pas un corrigé détaillé. 

Amédé

@Alexique je suis agrégé donc je peux regarder les topics Par contre quand j'étais agrégatif je ne regardais pas.

Sato

C’est bien de le corriger juste après l’épreuve car on a le sujet dans la tête bien creusée. Ce n’est pas du tout la même chose de le chercher le jour J que de s’entraîner sur un sujet passé. 

Dom

Stressant… c’est au candidat de ne pas regarder. 

Cela dit, j’aimais bien, moi, regarder ou continuer à chercher dès le lendemain des épreuves d’examens ou concours, ou après les contrôles dans le secondaire. Je ne comprenais pas vraiment les autres qui disaient « non, je ne veux plus rien entendre » ou encore « c’est passé, maintenant je m’en fiche » et enfin « ça me démoralise ». 

Chacun est comme il est…

Philippe Malot

Bonjour,
Je me suis amusé à taper quelques solutions à certaines questions de continuité du sujet d'analyse et de probabilités car quelqu'un me les avait demandé sur le groupe Facebook d'agrégation de mathématiques.
Peut-être ferais-je d'autres questions.
N'hésitez pas à me dire si vous voyez des erreurs ! ;-)
http://gillianseed.free.fr/math/agreg/ap23-cor.pdf

epsilon0

Bonjour chers amis , dans quel ouvrage  je peux trouver la "formule de factorisation eulérienne partielle de la fonction sinus"? , je connais la formule de factorisation en produit infini, mais pas celle la ! . Merci .