Sujets agrégation externe

oblomov

Bonjour

Les heureux candidats pourraient-ils poster une photo de leurs sujets ?
Merci beaucoup !

\l'épreuve "Mathématiques générales" se trouve là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415435/#Comment_2415435

L'épreuve "analyse et probabilité" se trouve là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415561/#Comment_2415561

L'épreuve agreg spéciale docteurs se trouve là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415428/#Comment_2415428

Isometric

Le voici. Désolé pour la qualité parfois douteuse, je l'ai fait avec la caméra de mon téléphone, quelqu'un postera peut-être une meilleur version plus tard

Philippe Malot

Voici une autre version, de qualité différente.

quasicercle

Bonsoir
Pour changer des photos, j'ai fait un scan du sujet que l'on m'a distribué ce matin. J'ai fait de mon mieux pour que ce soit le plus propre possible, mais la qualité n'est pas parfaite pour autant. Bon courage à ceux qui souhaitent le travailler !

bisam

J'aime beaucoup l'indication de la question 29. J'imagine que tout candidat arrivé jusque là aura bien sûr profité du conseil

Math Coss

Ce sont les polynômes de Hall ou je n'ai pas les yeux en face des trous ?

Grenouille factorielle

Bon courage à tous mes camarades agrégatifs !

LeVioloniste

L'impression donnée depuis quelques années est que les connaissances de niveau L3 ne semblent presque plus exigées.

Peut-on faire ce problème seulement avec un niveau de classe prépa ? On dirait que oui.

Ensuite les diagrammes de Ferrers ça ne me parle pas, j'ai plutôt en souvenir les tableaux de Young qui donnent des informations sur les itérées des noyaux d'une matrice.

Qu'en pensez-vous ?

Math Coss

Diagrammes de Young et diagrammes de Ferrers sont deux mots pour parler de la même chose. On parle de tableau de Young quand les « cases » sont remplies ; autrement dit, un tableau de Young est une application d'un diagramme vers $\N$ satisfaisant à telle ou telle contrainte (il y a plusieurs variantes).

JLapin

LeVioloniste a dit :

Peut-on faire ce problème seulement avec un niveau de classe prépa ? On dirait que oui.

Probablement une partie mais pas la totalité, loin de là. Par exemple, les actions de groupe et les espaces quotients ne sont pas au programme.

Tuvasbien

Bonjour, est-ce qu'une âme charitable peut envoyer le sujet d'aujourd'hui ?

OShine

LeVioloniste a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415459/#Comment_2415459

Il y a quand même des quotients d'espace vectoriel, des actions de groupe, ce sujet dépasse largement le niveau prépa. Ce sujet semble compliqué. 
Je suis d'accord avec @JLapin.

Amédé

J'attend avec impatience le corrigé par @OShine

OShine

bisam a dit :

J'aime beaucoup l'indication de la question 29. J'imagine que tout candidat arrivé jusque là aura bien sûr profité du conseil

On dirait de la condescendance de la part du concepteur du sujet. 

OShine

Amédé a dit :

J'attend avec impatience le corrigé par @OShine

J'en doute, j'ai lu le sujet il a l'air redoutable   
Mais ça m'a motivé à étudier un cours sur les espaces vectoriels quotients et les actions de groupe.

pldx1

OShine a dit: j'ai lu le sujet il a l'air redoutable.

J'ai lu OShine, je redouterais de l'avoir pour prof.

gai requin

Tu exagères @pldx1.

Vu au bac pour @OShine.
Il existe deux fonctions numériques $u,v$ dérivables et non constantes sur un intervalle $I$, où $(uv)’=u’v’$.
Vrai ou faux ?

NicoLeProf

OShine a dit :

J'en doute, j'ai lu le sujet il a l'air redoutable 

Au contraire, pour un sujet d'agrégation externe, il me paraît plutôt abordable ! ^^' Je regretterais presque de ne pas m'être inscrit aussi à l'externe (Dom serait ravi de lire cela ! ^^' )

bd2017

L'exercice 1  m'a l'air abordable. Je vais essayer de le résoudre. Je bloque à la question 1. Qui suis-je?

OShine

bd2017
La réponse à la question $1$ est dans le Liret d'ailleurs la preuve est donnée pour tout groupe cyclique d'ordre $n$.

OShine

@NicoLeProf
Il semble beaucoup plus dur que le sujet de l'interne d'algèbre même s'il n'y a que 30 questions, les espaces vectoriels quotients tu maitrises ? 

OShine

gai requin a dit :

Tu exagères @pldx1.

Vu au bac pour @OShine.
Il existe deux fonctions numériques $u,v$ dérivables et non constantes sur un intervalle $I$, où $(uv)’=u’v’$.
Vrai ou faux ?

Pour l'instant je ne vois pas. Le plus proche que j'ai trouvé c'est $u(x)=e^x$, $v(x)=e^x$ donc $(uv)'(x)=2e^{2x}$ et $u'(x)v'(x)=e^{2x}$

Barry

@OShine : Il n'y a absolument pas besoin d'aller jusqu'aux espaces vectoriels quotients pour avoir une bonne note... Faire tout ce qui précède est déjà TRES bien. Personne ne part dans l'optique de faire la totalité des sujets, sauf quelques personnes...(j'ai le sentiment qu'il y en aura cette année, les sujets me paraissent terminables pour les meilleurs)

JLT

bd2017 a dit :

Qui suis-je ?

bd2017 ?

NicoLeProf

OShine a dit :

@NicoLeProf
Il semble beaucoup plus dur que le sujet de l'interne d'algèbre même s'il n'y a que 30 questions, les espaces vectoriels quotients tu maitrises ? 

Je ne sais pas mais en lisant quelques trucs (sans entrer dans les détails), j'ai l'impression de voir pas mal de questions abordables à chaque exo et à chaque partie... Et oui, pas besoin de tout faire ou d'aller jusqu'aux espaces vectoriels quotients.

quasicercle

Bonjour,

Voilà le scan du sujet de l'épreuve d'analyse et probabilités.

Les deux premières parties peuvent paraître extrêmement faciles, mais il peut y avoir des pièges que l'on ne voit pas forcément avant de commencer à rédiger rigoureusement ses réponses. Du moins, avec mon modeste niveau, c'est ce que j'ai ressenti. Du coup, j'imagine que le démarquage des candidats se fera dans la capacité à remarquer et à contourner ces pièges.

Ensuite, je n'ai pas vraiment eu le temps de m'attaquer à la partie III, mais ne vous fiez pas à ma performance : je suis plutôt lent.

Sato

J’ai compté 69 questions. 

OShine

@Barry
Ok merci pour ton avis. 

Barry

@LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus 

Barjovrille

Bonjour, @Barry pour la question 4, tu écris le $cos^n$ comme $exp(ln(cos^n))$ et tu utilises l'inégalité de la 1.b multipliée par $-1$ pour majorer par une bonne fonction qui te permettra d'utiliser la convergence dominée. (J'ai n'ai pas vérifié les détails mais je pense que ça marche)

Barjovrille

Pour la question 5 première équivalence tu étudies le quotient, à un moment il faut penser à faire le changement de variable $y=n^{1/2}x$ et tu peux conclure avec ce que tu as trouvé à la question 4. 

gai requin

Les sujets sont déjà à https://agreg.org/index.php?id=archives

Azermaths

Barry a dit :

@LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus 

Barry a dit :

@LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus 

Juste question 2 et convergence dominee

Barry

Oui, j'avais testé la convergence dominée mais la domination me posait problème. J'avais pensé à ça @Barjovrille mais je ne suis pas allé plus loin que le bout de mon nez pour cette piste, et ça m'a visiblement desservi dommage !

Barjovrille

Pour la deuxième équivalence grâce à la première équivalence  il suffit d'étudier le quotient $\frac{I(0)}{n^{1/2}W_n}$, tu fais un changement de variable similaire à la première équivalence et tu fais une convergence dominée similaire à la question 4 puis tu conclus par la formule de produit des équivalent.
Bon Si t'étais bloqué sur la 4 c'est pas évident de faire la 5. 

Magnéthorax

@Barjovrille : pour le 2ème équivalent de la 5 : le premier équivalent donne un équivalent de $W_n$ (cas où $\alpha=0$).

jean-louis972

OShine a dit :

gai requin a dit :

Tu exagères @pldx1.

Vu au bac pour @OShine.
Il existe deux fonctions numériques $u,v$ dérivables et non constantes sur un intervalle $I$, où $(uv)’=u’v’$.
Vrai ou faux ?

Pour l'instant je ne vois pas. Le plus proche que j'ai trouvé c'est $u(x)=e^x$, $v(x)=e^x$ donc $(uv)'(x)=2e^{2x}$ et $u'(x)v'(x)=e^{2x}$

$u(x)=e^{2x}$, $v(x)=e^{2x}$

$u(x)=ce^{ax}$, $v(x)=de^{bx}$ avec a+b=ab 

Quelqu'un connait l'ensemble des solutions possibles ?
Je sèche.

Sinon pour revenir au sujet : avec un petit niveau spé j'ai rédigé durant 6h arrivant vers la question 15 à la première épreuve et 19 à la seconde. sans doute plein de manque de rigueur je n'ai pas vu les pièges dont vous parlez. Je pense frôler l'admissibilité, ça ferait du bien à mon ego 😁.

JLT

Si $w$ est une fonction dérivable dont la dérivée ne s'annule pas, et si $u(x)=w(x)e^x$ et $v=Ce^x\exp\int\frac{w}{w'}\,dx$ alors $(uv)'=u'v'$.

gai requin

De manière générale, soit $u$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle $I$, où $u'-u$ ne s'annule pas.

On sait résoudre l'équation différentielle $uv'+u'v=u'v'$ d'inconnue $v$ sur $I$.
Par exemple, avec $u(x)=x$, on obtient $v(x)=\dfrac{C}{1-x}$ sur $]1,+\infty[$.

OShine

@jean-louis972
Tu n'as pas étudié les fonctions holomorphes et la théorie des distributions ? 

@gai requin
Je n'ai jamais vu un cours qui explique ce genre d'équation différentielle où le $x$ est une fonction. Je sais résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ où $x$ est défini sur un intervalle $I$ de $\R$. 
Ici je ne comprends pas comment résoudre cette équation différentielle.

@JLT
Je ne comprends pas comment tu trouves la solution. 
Rien que la vérification m'a pris 2 pages. 

NicoLeProf

OShine, cette équation s'écrit : $v'(u-u')+u'v=0$ soit encore en supposant que $u-u'$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ considéré : $v'=\left (\dfrac{u'}{u'-u} \right )v$ . On sait résoudre cette équation différentielle sur $I$ et on a : $v(x)=Ce^{\int_{a}^x \frac{u'(t)}{u'(t)-u(t)} \, \mathrm{d}t}$ (je prends $a$ dans $I$, $0$ par exemple si $0$ est dans $I$) .

En posant $u(t)=w(t)e^t$ comme fait JLT (et c'est ça la question à se poser en fait : comment JLT a eu l'idée de faire cela? Je ne sais pas pour le moment, quoique : $u$ est solution d'une équation différentielle très ressemblante donc on peut se dire qu'il y a du exp derrière...), on retrouve l'expression de $v$ donnée par JLT.

C'est cohérent avec l'exemple donné par gai requin aussi !

gai requin

@OShine : Toujours le même problème du statut des variables qui t'empêche d'utiliser ton cours qui devient donc inutile.
En tout cas, l'élève de Terminale qui a l'intuition que la proposition est vraie peut très bien trouver mon exemple avec $u(x)=x$ (fonction non constante pas trop compliquée) puis calculer $v$ à partir de $v'/v$. C'est au programme !

OShine

Merci beaucoup @NicoLeProf .
J'avoue que je suis un peu rouillé en équation différentielle, j'ai fait trop d'algèbre. 

OShine

gai requin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415674/#Comment_2415674

[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Oui je vois, j'aurais du prendre $u(x)=x$ et continuer pour voir ce qui se passe.

Barjovrille

Merci @Magnéthorax.

OShine

Pour l'épreuve d'AP je suis curieux de savoir comment on trouve cette limite dans la question $2$. J'ai lu que les deux premières parties étaient extrêmement faciles, mais je vois rien d'évident dans cette limite. 
Un DL suffit ? En écrivant $\cos^n ( y / \sqrt{n} )= \exp (n \ln (\cos ( y / \sqrt{n} ) )$ ? 

Amédé

OShine a dit :

Pour l'épreuve d'AP je suis curieux de savoir comment on trouve cette limite dans la question $2$.
J'ai réfléchi 15 min je ne trouve rien.

Tu fais un développement asymptotique.

OShine

@Amédé
Merci en effet c'est facile. 
On a $\cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} ) =1- \dfrac{y^2}{2n}+ o( \dfrac{y^2}{2n})$ et $\ln(1-u)=-u +o(u)$
Donc $\ln ( \cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} )  ) = - \dfrac{y^2}{2n}+ o( \dfrac{y^2}{2n})$
Donc $n \ln ( \cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} )  ) =  -\dfrac{y^2}{2}+ o(1)$ car $o( y^2 /2)= o(1)$. 
Finalement $\cos^n ( \dfrac{y}{\sqrt{n}}) = \exp (  -\dfrac{y^2}{2}+ o(1) )= \exp( - y^2 /2) \exp ( o(1)) \longrightarrow e^{-y^2 /2}$

OShine

AP 1.b c'est la formule de Taylor Lagrange ? A quel ordre ? Je ne vois pas trop comment utiliser cette méthode.
La deuxième indication est étrange, la première inégalité est simple à montrer avec le inf, la limite en 0 est facile à obtenir avec un DL, et je crois qu'il suffit d'utiliser le théorème de Heine. Mais je ne comprends pas pourquoi ils prennent $]0,1]$ et non pas $[0,\pi/2[$. Pourquoi changer d'intervalle ? 

NicoLeProf

Pour ta première question : formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$ appliquée pour $a=0$ et $b=t$ je dirais.

Ce qui donne l'existence d'un $c \in ]0;\frac{\pi}{2}[$ tel que : $f(t)=tf'(0)+\dfrac{t^2f''(0)}{2}+\dfrac{t^3f^{(3)}(c)}{3!}$ . Ce qui permet de conclure car $f'(0)=0$, $f''(0)=1$ et  pour tout $t \in [0;\frac{\pi}{2}[$ et comme $c \in ]0;\frac{\pi}{2}[$, $\dfrac{t^3f^{(3)}(c)}{3!} \geq 0$. (Si je ne suis pas allé trop vite ^^)

Pour la deuxième, je n'y ai pas suffisamment réfléchi pour y apporter une réponse.

bisam

La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 donne la réponse immédiatement puisque la dérivée seconde de $f$ est supérieure à 1.

Quant à la deuxième méthode, elle utilise une minoration grossière sur $[1,\pi/2[$ et la continuité sur un segment pour l'autre morceau... mais il faut d'abord prolonger $t\mapsto f(t)/t^2$ en une fonction continue sur un segment pour l'appliquer... et ça n'aurait pas été possible sur l'intervalle de départ tout entier.