Hauteur d'un idéal

Question12

Bonjour
Soit $A$ un anneau commutatif. Pour un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, on définit sa hauteur comme étant le sup des $n$ entiers tels qu'il existe une suite d'inclusions strictes $\mathfrak{p}_{n} \subset \dots\subset \mathfrak{p}_{0}$, où $\mathfrak{p}_{0}$ est inclus dans $\mathfrak{p}$. Pour un idéal $I$ quelconque, on définit sa hauteur comme étant l'inf des hauteurs des idéaux premiers qui le contiennent.

Le problème : on suppose $A$ noethérien. Étant donné un idéal $I$ de hauteur $r$, je cherche à construire un idéal $J \subset I$ de hauteur $r$ tel que $I$ soit de hauteur nulle vu dans l'anneau quotient $A/J$.

Tentative. Puisque $I$ est de hauteur $r$, il existe $\mathfrak{p}$ de hauteur $r$ tel que $I \subset \mathfrak{p}$. On a donc une suite $\mathfrak{p}_{r} \subset \dots \subset \mathfrak{p}_{0} \subset \mathfrak{p}$, où toutes les inclusions sauf la dernière sont strictes. Puisque $I$ est de hauteur $r$, aucun des $\mathfrak{p}_{i}$ ne contient $I$. Soit donc $x_{i}^{\mathfrak{p}} \in I - \mathfrak{p}_{i}$. Notons $J \subset I$ l'idéal engendré par les $x_{i}^{\mathfrak{p}}$. Je ne sais pas quoi faire ensuite.

Une remarque : comme $A$ est noethérien, il n'y a qu'un nombre fini de $\mathfrak{p}$ comme ci-dessus (ce sont les idéaux premiers minimaux de $A/I$ qui est noethérien). Peut-être faut-il donc considérer $y_{i} := $ le produit des $x_{i}^{\mathfrak{p}}$ et prendre $J$ engendré par les $y_{i}$ ?
Par avance merci.

Foys

1°) A l'aide du lemme de Zorn on montre que dans tout anneau commutatif, tout idéal premier contient un idéal premier minimal pour l'inclusion (immédiat à l'aide du fait que toute intersection d'une famille non vide d'idéaux premiers décroissante pour l'inclusion est un idéal premier).

2°) Soit $I$ un idéal de $A$. Alors l'ensemble des idéaux premiers de $A/I$ est, en tant qu'ensemble ordonné, isomorphe à l'ensemble des idéaux premiers de $A$ contenant $I$ via l'application $\theta: \mathfrak q \mapsto \{x \in A \mid x+I \in \mathfrak q\}$.  Le 1°) se reformule alors de la façon suivante: tout idéal premier de $A$ contenant $I$ contient un idéal premier qui contient $I$ et qui est minimal pour l'inclusion.

Étant donné $I$ un idéal et $\frak p$ un idéal premier de $A$ contenant $I$ et de hauteur minimale $r$. Supposons qu'il existe un idéal premier $\mathfrak q$ strictement contenu dans $\mathfrak p$ et tel que $I\subseteq \mathfrak q$. à l'aide de 2°) on peut supposer que $\mathfrak q$ est minimal parmi les idéaux premiers de $A$ contenant $I$. Alors la hauteur de $\mathfrak q$ est strictement inférieure à celle de $\mathfrak p$. 

Mais cela contredit la minimalité de la hauteur de $\mathfrak p$ (et donc est impossible). Autrement dit, $\mathfrak p$ est minimal parmi les idéaux premiers contenant $I$ et donc dans $A/I$, $\theta^{-1} (\mathfrak p) = \mathfrak p/I$ est un idéal premier minimal et donc de hauteur $0$

Question12

Bonjour Foys
Merci de ta réponse. Je me rends compte que j'ai oublié le point suivant : j'aimerais choisir $J$ engendré par $r$ éléments. D'ailleurs je ne comprends pas : ton idéal premier, $\mathfrak{p}$ contient $I$ mais on cherche $J$ contenu dans $I$.

On cherche donc J⊂I de hauteur $r$ engendré par $r$ éléments tel que I soit de hauteur nulle vu dans l'anneau quotient $A/J$.

À côté, j'ai essayé de continuer mon bricolage mais en vain.
Encore pardon pour l'oubli.

Foys

AH j'avais mal lu.

Question12 a dit :

 Étant donné un idéal $I$ de hauteur $r$, je cherche à construire un idéal $J \subset I$ de hauteur $r$ tel que $I$ soit de hauteur nulle vu dans l'anneau quotient $A/J$.

Il suffit de prendre $J:=I$ (La hauteur nulle étant atteinte par des idéaux premiers minimaux dans $A/I$).

Question12

Salut Foys
Merci de ta réponse. Comme j'ai dit dans mon second message, j'ai oublié de rajouter qu'on cherche $J$ engendré par $r$ éléments (désolé encore de l'oubli). Est-ce possible pour le coup ?