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Intégrale inégalité mercredi 15 mars 2023

Modifié (15 Mar) dans Analyse
Bonjour
$f$ fonction de $]0;+\infty[$ dans $]0;+\infty[$ continue, $\int_{a}^{b} f(x)dx=5(b-a)$ pour $0<a\leq b$ 
Montrer que $$\int_{a}^{b} \Big( \frac{5f(x)+3}{f(x)+7} +\frac{6f(x)+4}{f(x)+9}+\frac{7f(x)+5}{f(x)+11} \Big) dx \leq 9(b-a).$$ Merci .

Réponses

  • Modifié (16 Mar)
    Bonjour
    @Etanche la constante $9(b-a)$  est-elle  optimale ? D'où vient cette constante ?
    Sauf erreur  $\dfrac{305}{42}(b-a) \approx 7.261(b-a)$ semble mieux convenir .  
     
  • P.2P.2
    Modifié (16 Mar)
    Bravo bd2017! Je trouve comme toi. La constante $305/42 $ est la meilleure. En effet soit $X$ une variable aléatoire positive de moyenne 5. Soit $h$ une homographie dont la courbe est concave sur la demi-droite positive. La tangente en $x_0$ est $y=h'(x_0)x+h(x_0)-x_0h'(x_0)$ et donc $$\mathbb{E}(h(X))\leq h'(x_0)5+h(x_0)-x_0h'(x_0)$$ et le minimum de $h'(x_0)5+h(x_0)-x_0h'(x_0)$ est atteint en $x_0=5$ et vaut $h(5).$ On applique cela aux trois homographies de l'exo et on trouve $305/42 $  On ne peut faire mieux car cette borne est atteinte quand la loi de $X$ est $\delta_5.$ Ce qui correspond à la fonction $f$ de l'exo égale à $5.$
  • Modifié (16 Mar)
    @ bd 2017 peux-tu poster ta solution?merci (sans variable aléatoire si possible) 
  • Modifié (17 Mar)
    Sous la contrainte, on cherche à maximiser $\int_a ^b  g_0(f(x)) dx$ où  $ g_0(x)=\dfrac{5 x+3}{x+7}+\dfrac{6 x+4}{x+9}+\dfrac{7 x+5}{x+11}=18 -\Big( \dfrac{50}{x+9}+\dfrac{72}{x+11}+\dfrac{32}{x+7}\Big)=18-g(x)$  où ce qui revient au même on doit minimiser $\phi(f) =\int_a ^b  g(f(x)) dx.$
    Cela ne sert pas beaucoup à faire ceci mais on voit mieux que $\phi(f)$ est minorée.
    Soit $f $ un minimum local de $\phi$ et une petite perturbation   de la forme  $f+\epsilon h$, où $h$ est une fonction continue de moyenne nulle.
    $0= [\partial_{\epsilon}( f+\epsilon h)]_{\epsilon=0} =\int_a^b g'(f(x)) h(x)  dx,\ \forall h,\  \int_a^b h=0 $  implique  $g'(f(x))$  est  une fonction constante et donc  $f$ est constante.   Finalement  la meilleure majoration est   $g_0(5)(b-a)=\dfrac{305}{42}(b-a)\approx7.2619 (b-a).$  
    @etanche Je suppose que le $9$  donné dans l'énoncé vient d'un autre raisonnement, sûrement moins précis. Mais on aimerait aussi avoir le retour.
     
  • Modifié (17 Mar)
    L’énoncé qui m’a été transmis c’est avec 9. Effectivement moins précis que 305/42,  je ne vois pas avec quel raisonnement moins précis on arrive à 9. 
    Les trois fonctions homographiques $(H_k)_{1\leq k \leq 3} $ sont concaves sur $]0;+\infty[$, avec Jensen 
    $H_k(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} H_k(f(x))dx$ 
    $ \int_{a}^{b} H_k(f(x)) dx \leq (b-a)H_k(5)$ comme $H_1(5)+H_2(5)+H_3(5)= \frac{305}{42}$ on a l’inégalité demandé. 
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