Groupe additif non commutatif

marc0075
Modifié (March 2023) dans Algèbre
Quelqu'un a-t-il un exemple de groupe où l'addition n'est pas commutative.
On sait facilement que la multiplication n'est pas toujours commutative notamment avec les matrices.
Quid de l'addition ???

Réponses

  • Tout est question de notation : selon que l'on note $+$ ou $\times$ la loi du groupe...
    En général par convention si un groupe abstrait $G$ est commutatif on note $+$ sa loi, tandis que s'il n'est pas supposé abélien on note sa loi multiplicativement.
    A nouveau c'est une question de convention et on pourrait très bien faire autrement.
  • marc0075
    Modifié (March 2023)
    prenons l'addition classique (celle de R). Y a-t-il alors des exemples de structure ou l'addition ne commute pas ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2023)
    Tu n’as pas compris le message de kalimoulox. 
    Je le dis autrement : Prenons un groupe non commutatif et notons sa loi $+$. Voilà.
    Remarque : que signifie « l’addition classique » ? Si c’est l’addition dans $\mathbb N$, c’est commutatif. Si ce n’est que le symbole $+$… il n’y a rien de « classique » tant qu’on ne sait pas sur quel ensemble on travaille.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Dans tous les cas où on définit une "addition" (nombres entiers, réels, complexes, vecteurs, fonctions et applications, et même sous-espaces vectoriels), c'est que l'opération généralisant l'addition des entiers apprise à l'école primaire était commutative. Mais c'est une habitude.
    Soit $(E, £, *)$ un espace vectoriel réel. $(E, £)$ ,est-il un groupe additif ? Non, car "groupe additif" veut simplement dire qu'on note la loi de groupe par +.
    Il sera commutatif si c'est un groupe commutatif, et non commutatif si c'est un groupe non commutatif. Et en général on ne saura pas.
    Cordialement.
  • La plupart du temps, si on parle d'addition, c'est qu'on est au moins dans un des deux cas suivants : on veut parler d'un groupe commutatif ou il y a une multiplication qui vient avec l'addition. Dans le deuxième cas, c'est en général qu'on parle d'un anneau et alors la commutativité de l'addition fait partie des axiomes, si bien qu'on est dans le premier cas...
    Bref, soit on a un simple groupe et alors on est libre d'appeler la lou addition même si elle n'est pas commutative mais ce n'est pas habituel. Soit on a deux lois qu'on appelle addition et multiplication et pour justifier ces noms, on suppose probablement un certain nombre de propriétés telles que la distributivité et... la commutativité.
    Le fait est qu'étudier un ensemble muni de deux lois qui ne satisfont à aucune relation de compatibilité, c'est un peu vain (il n'y a aucune propriété à attendre ! ). Appeler une loi "addition" suggère fortement la commutativité. 
  • kolotoko
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    on note, pure convention, + une loi de composition interne d'un monoïde commutatif et on note 0 l'élément neutre .
    Si le monoïde n'est pas commutatif , on note * la loi de composition interne et on note 1 l'élément neutre.
    Mais je me souviens avoir vu une loi de composition interne notée T du temps de mes études lointaines (un demi-siècle) .
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • Math Coss
    Modifié (March 2023)
    Il arrive très régulièrement que la loi soit notée $\cdot$, $\times$, voire sans symbole, ou encore $\cap$, $\cup$, $\triangle$, ou bien aussi $\otimes$, $\wedge$ (on n'a probablement pas d'associativité dans ce cas ; encore que si c'est le produit extérieur de formes différentielles et pas le produit vectoriel...), j'en passe et des meilleurs.
    Cela me fait penser que certains adages deviennent vite problématiques : « la loi, c'est la loi. » Mais laquelle ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (March 2023)
    J’ajoute celui-ci $\bot$. La prof le nommait « truc ». Ils sont souvent symétriques dans leurs graphies. Peut-être devrait-on à la genèse de ces notions là utiliser des symboles inusités, non symétriques dans leur graphie mais il faut tout de même que ledit symbole soit facile à écrire sinon c’est pénible. 
  • Mais si vraiment tu tiens à avoir un symbole + non commutatif, tu peux regarder l'addition sur les ordinaux : $\omega + 1 \neq 1 + \omega$. Attention, les ordinaux ne forment pas un groupe pour +. Et, comme l'ont dit tous les autres intervenants, le choix de noter cette loi $+$ est un choix, on aurait pu la noter $\sharp$ si on en avait eu l'envie.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Il y a peut-être une interprétation de la question de Marc0075 : Si (G,+) est un groupe commutatif, se peut-il qu'une partie F de G où + est définie (stable par +) soit telle que + n'y est pas commutatif. Mais pour deux élément a et b de F, a+b=b+a puisque ce sont des éléments de G. Donc ce n'est pas possible.
    Cordialement.
  • @Dom : bonjour. Il me semble que c'est le symbole $\top$ qui se nomme truc, et le symbole $\perp$ antitruc.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Ok Thierry. Au temps pour moi 👍 
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2023)
    Je suis parfaitement d'accord avec les interventions, sur le thème "le mot addition et le symbole $+$ sont arbitraires", néanmoins on peut noter que la commutativité de l'addition (et tout le monde l'appelle ainsi) est indécidable dans l'arithmétique de Robinson.

    Et donc elle a des modèles non commutatifs.
    Ce ne sont pas vraiment des groupes, mais je suppose qu'on peut des Zédifier facilement.
    Parmi les autres structures notées additivement et non commutatives, il y a les ordinaux
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Si on laisse de côté la contrainte "groupe", une autre opération non commutative notée souvent + est la concaténation des suites finies ou des mots :  abc+rt=abcrt différent de rt+abc=rtabc. 

    Cordialement. 
  • Le phénomène est plus sociologique qu'autre chose: l'usage réserve massivement la notation "$+$" aux lois de composition commutatives lorsqu'on a affaire à des groupes.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • marc0075
    Modifié (March 2023)
    Je voulais surtout faire l'analogie avec la multiplication commutative dans R ou C et non commutative dans l'anneau des matrices carrées  ( sauf pour n = 1 )  puisqu'on retrouve R ou C
    y a-t-il un tel exemple pour l'addition  ?
    J'ai bien évidemment conscience que la 1ere loi d'un anneau est généralement notée + et la seconde notée multiplicativement
  • Dans la définition d'un anneau figure la commutativité de l'addition.
  • marc0075
    Modifié (March 2023)
    merci Math Coss   effectivement il y a la primauté de la 1ere loi par rapport à la seconde
    la 1ere loi est toujours commutative alors que la commutativité de la seconde est en option.
    En revanche,  si je considère (R*, x) groupe commutatif  et que je passe aux matrices réelles de taille n,  la commutativité est perdue
  • Math Coss
    Modifié (March 2023)
    De même que si on passe d'un éléphant à une chaise, la trompe est perdue. (Les matrices ne forment pas un groupe multiplicatif. )
  • Tant qu'à perdre quelque chose de façon plus naturelle (en passant de la chaise au tabouret par exemple pour reprendre l'excellente analogie de Math Coss), il suffit de passer de $\mathbb R$ à $\mathbb C$, puis à $\mathbb H$, puis à $\mathbb O$ etc., c'est-à-dire en regardant la suite infinie des transformés de Cayley-Dickson en partant de $\mathbb R$.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Bonjour,
    je reviens sur la reparque de gerardo sur la concaténation , opération effectivement non commutative. Elle agit sur des chaines de caractères et la notion de groupe n'y apparait pas. 
    Il semble que cela soit possible avec des chaines de caractères d'éléments de Z tellres que "5 3 -1 -8 13"
    On va partir de l'ensembles de chaines de Z à 1 chiffre "-2" "-1" "0" "1" "2" etc et par induction considérer les chaines obtenues
    par concaténation a + b ou a est à gauche et b à droite en appliquant certaines règles de simplification:
    a étant une chaine non vide "0" + a = a + "0" = "a".
    Si deux nombres opposés sont adjacents ils sont remplacés par la chaine "0" etc
    Et bien sur on ne simplifie pas des sous chaines comme "5 -4"  en "1" 
    Il me semble que "0" devient élément neutre pour cette opération.
    Que si on concatène une par sa chaine miroit avec chiffres opposés on aie le symétrique. Par exemple le symétrique de 
    "2 1 -4 -8" est "8 4 -1 -2" à gauche ou à droite.
    J'ai un doute pour l'associativité. 

  • Je n'ai pas tout lu, donc je répète peut-être ce qui a déjà été dit (en plus du côté conventionnelle) : l'addition des ordinaux n'est pas commutative (mais ce n'est pas un groupe)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Ma proposition d'addition de chaines est de style algoritmique et devrait pouvoir  être implantée
    sur ordinateur. En donnant la somme de deux chaines et en proposant l'inverse d'une chaine de nombres de Z.
    Y a t il un problème avec l'associativité?

  • On voit ici
    https://en.wikipedia.org/wiki/Near-ring
    qu'un groupe noté additivement est possiblement non abélien, dans une structure contenant
    un autre opérateur noté multiplicativement. 

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