Une matrice diagonale commute-t-elle ?

Shadows Asgard

Bonjour, je me pose une question : de manière générale une matrice diagonale commute-t-elle avec toute matrice ? Car en effet dans mon cours j'ai un passage où si cela est vrai alors cela expliquerait comment on passe d'une ligne à l'autre car sinon je ne vois pas comment on fait pour passer d'une ligne à l'autre dans la pièce jointe que j'ai indiqué. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Pouvez-vous m'expliquer le passage de la première ligne à la deuxième ligne que j'ai indiqué sur mon brouillon s'il vous plaît ?
Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous

Cordialement

JLapin

Ce n'est pas le même $X$ d'une ligne à l'autre. Il y a un changement de variable en fait.

Et non, en général, une matrice diagonale ne commute pas avec une matrice quelconque.

Shadows Asgard

Ah ok merci JLapin !  En fait si je comprends bien, le professeur a posé X = P**(-1) X mais il ne l'a pas indiqué et c'est de là que venait mon incompréhension ?

JLapin

Oui, c'est à peu près ça. Par contre, si tu veux rédiger le changement de variable, il faut utiliser une autre lettre que $X$ pour ta nouvelle inconnue.

Shadows Asgard

D'accord, merci beaucoup JLapin !
Et j'ai une autre question car un peu plus loin je ne comprends pas l'équivalence que j'ai indiquée en pièce jointe.
Pouvez-vous m'expliquer comment obtient-on : 
$x(t)=x(0)\exp(\lambda_1)t$

$y(t)=y(0)\exp(\lambda_2)t$

Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous
Cordialement.

gerard0

C'est du cours de base sur les équations différentielles (équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants). La constante est obtenue en utilisant x(t)=x(0) lorsque t=0.
Cordialement.

Shadows Asgard

Pouvez-vous me montrer le lien de la propriété en question s'il vous plaît ? Car je ne la retrouve pas dans mon cours.

gerard0

Il suffit de taper équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sur un moteur de recherche, et tu tombes sur la page Wikipédia. La partie "équation différentielle linéaire homogène" répond à ton besoin.

Mais on trouve ça dans n'importe quel cours de BTS, d'IUT, de L1. Ça se voyait d'ailleurs en fin de lycée naguère.

Shadows Asgard

D'accord merci beaucoup Gérard0 ! Et juste autre petite question un peu plus loin on a un dénominateur avec lambda 1 mais seulement je me demandais: comment peut-on savoir qu'on peut avoir lambda 1 au dénominateur ? On ne connaît pas sa valeur ? Et donc on ne peut pas écrire cela dans la mesure où lambda 1 peu valoir 0 ? Comment sait-on que lambda 1 est différent de 0 ?

Héhéhé

Pas très compliqué de calculer explicitement le produit d'une matrice quelconque et d'une matrice diagonale et de constater qu'il n'y a aucune raison que ça commute.

Shadows Asgard

Oui pardon Héhéhé vous avez raison en effet je me suis rendu compte de mon erreur. Mais désormais j'ai une autre question :  un peu plus loin on a un dénominateur avec lambda 1 mais seulement je me demandais: comment peut-on savoir qu'on peut avoir lambda 1 au dénominateur ? On ne connaît pas sa valeur ? Et donc on ne peut pas écrire cela dans la mesure où lambda 1 peu valoir 0 ? Comment sait-on que lambda 1 est différent de 0 ?

gerard0

Difficile de dire, avec le fouillis de documents que tu nous présentes. Cependant, si $\lambda_1=0$, alors $x(t)$ est une constante et dont t n'en dépend plus.

Tu aurais un énoncé propre et complet, on pourrait chercher. mais tu peux chercher, toi aussi ...

marc0075

si les matrices diagonales commutaient on aurait alors avec les changements de base P matrice  de passage  PDP^-1= DPP^-1=D

Math Coss

C'est vrai que ça simplifierait la théorie de la réduction !

JLapin

Celle-ci est d'ailleurs assez simple lorsque les matrices sont carrées de taille 1