Absurdité, absurdité, absurdité

Lolo36

Bonjour,

Quand on suppose $A\vee B$ et qu'on veut aboutir à une absurdité (dans un raisonnement par l'absurde par exemple), faut-il montrer qu'on arrive à une absurdité en supposant soit $A$, soit $B$ et c'est suffisant ; ou faut-il aboutir à une absurdité dans les deux cas : c'est à dire que je montre que quand je suppose $A$ alors j'arrive à une absurdité, et quand je suppose $B$ j'arrive à une absurdité, et quand je suppose $A\wedge B$ j'arrive à une absurdité (car les deux peuvent être vrais en même temps) ? Merci.

JLapin

Démontrer $A\vee B$ implique le faux revient à démontrer Non($A\vee B$) soit Non(A) et Non(B) ou encore $A$ implique le faux ET $B$ implique le faux.

Coquille corrigée : désolé

Lolo36

Ok je vais alors montrer que A implique le faux et que B implique le faux. Donc on aura automatiquement (A et B ) implique le faux.

JLapin

Tu auras $A$ ou $B$ implique le faux.

Si tu veux montrer que $A\wedge B$ implique le faux, il te suffit de montrer que $A$ implique le faux ou que $B$ implique le faux.

Lolo36

ok ca marche merci

Foys

NB. Soient $A,B,X$ deux [trois ? <-- réponse de Foys: attendez que je recompte] énoncés. À quelles conditions, pour tout énoncé $C$, $X \Rightarrow C$ est équivalent à $(A \Rightarrow C) \wedge (B \Rightarrow C)$ ?

Réponse : cela arrive si et seulement si $X$ équivaut à $A \vee B$. Ceci est vrai en logique classique comme dans des logiques plus faibles comme l'intuitionniste, au point où il est possible en théorie des types simples de définir $A \vee B$ comme $\forall P ((A \Rightarrow P) \Rightarrow (B \Rightarrow P)\Rightarrow P)$ (la quantification portant sur des énoncés).

Voir aussi la règle d'élimination de la disjonction "$\vee$" en déduction naturelle.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Remettons dans l'ordre, Lolo36. Dans la première phrase de ton premier message, tu supposes "A ou B". C'est fini. Il suffit d'arriver à la moindre "absurdité", autrement dit "contradiction", pour que tu aies le contraire de "A ou B". Tu n'as pas de supposition à faire. Ni de A, ni de B. Si tu fais cette sur-supposition, c'est-à-dire que A est vraie, alors tu devras trouver une contradiction et trouver ce qui se passe si A est faux. Sinon, ton raisonnement n'est plus un raisonnement par l'absurde, mais un raisonnement absurde.

@JLapin : De Morgan ne cautionne pas ton premier message."Non Et", ce n'est pas "non et non". Et démontrer Que "A ou B" aboutit à une contradiction, ce n'est pas démontrer "non(A et B )".

Lolo36

Ok je voisPetitLutinMalicieux

Oui je crois que ce n'est pas démontrer "non (A et B )" mais plutôt démontrer "non(A ou B ) implique le vrai" ie $\neg (A \vee B ) \implies \neg\perp$.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

GaBuZoMeu

Bonjour,

Bon,  @JLapin a fait une coquille et écrit $\neg(A\wedge B )$ au lieu de $\neg(A\vee B )$. À part cela, je ne vois pas le sens du message de @PetitLutinMalicieux.

Une démonstration (classique ou intuitionniste) de $(A\vee B )\to C$, c'est bien la même chose qu'une démonstration de $A\to C$ et une démonstration de $B\to C$.

Le passage dans un sens, c'est les règles d'introduction du $\vee$ en déduction naturelle :  $$ \frac{A}{A\vee B}\qquad \dfrac{B}{A\vee B}\;,$$ et dans l'autre sens c'est la règle d'élimination du $\vee$ : $$\begin{array}{ccccc}&&\not A&&\not B\\ &&\vdots&&\vdots\\A\vee B&&C&&C\\\hline&&C&&\end{array}\;.$$

C'est à peu près ce qu'a déjà écrit Foys. Une version topologique : si $A, B, C$ sont des ouverts d'un espace topologique, alors le plus grand ouvert dont l'intersection avec $A\cup B$ est contenue dans $C$ est égal à l'intersection du plus grand ouvert dont l'intersection avec $A$ est contenue dans $C$ avec le plus grand ouvert dont l'intersection avec $B$ est contenue dans $C$.

Lolo36

Je ne vois pas pourquoi vous dites que cela revient à démontrer Non(A ou B ) si l'on doit démontrer $A \vee B \implies \perp$. Avec des équivalences, tables de vérités, ça donne quoi ?

Math Coss

Plaît-il ? L'implication $P\implies Q$ serait équivalente à l'implication $\neg P\implies \neg Q$ ? C'est une découverte récente ?

Lolo36

Oui désolé @Math Coss je suis allé trop vite en besogne (ça va c'est juste une interversion de deux lignes)

Math Coss

Pour répondre à ce message dans sa formulation corrigée, voici une table de vérité. \[\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|c|}\hline A&B&A\cup B&\neg(A\vee B )&\neg A&\neg B&\neg A\wedge\neg B\\\hline V&V&V&F&F&F&F\\\hline V&F&V&F&F&V&F\\\hline F&V&V&F&V&F&F\\\hline F&F&F&V&V&V&V\\\hline\end{array}\]

GaBuZoMeu

Oui, $\neg P$ et $P\to \bot$, c'est kif-kif.

Lolo36

Ok j'ai compris