L'île des Purs et des Pires

PetitLutinMalicieux

Ici, c'est un forum, pas un tchat. GaBuZoMeu utilise la méthode napoléonienne d'occuper le terrain pour faire croire qu'il n'a pas perdu. Pourtant c'est le cas.

GaBuZoMeu "Bah, on voit bien que le seul argument est que "ça le dérange"."
Rien ne te dérange. Pas même d'avoir tort.

gerard0 "Faut-il que A ait un sens pour que A ou "1=1" soit vraie ?"
Si la deuxième proposition du "OU" est vraie, la première n'a pas d'importance. Mais si la deuxième proposition du "OU" est fausse, alors on se tourne vers la première proposition, qui est indécidable. J'aurais préféré que tu dises "A ou 0==1". Là, on met les pieds dans le plat.

La réponse, du tac au tac, de raoul.S, un habitué du forum, aboutit à un cas indécidable. On peut émettre un bémol, non ?

JLapin

Si Jacques est un pur, il ne dira jamais la phrase "Je suis pire ou 0=1" puisqu'il ne peut dire que des phrases vraies.

En revanche, il a le droit selon les règles de prononcer la phrase "Je suis pire ou 0=0", de même que je peux dire que "Je suis anglais ou 0=0" sans avoir l'impression de mentir.

biguine_equation

C’est la table de vérité de la disjonction: ( $A$ ou $ B$ ) est vraie si $A$ est vraie ou $B$ est vraie ou les deux sont vraies.

biguine_equation

Smullyan avait compliqué le problème en ajoutant, en plus des purs et des pires, les versatiles qui mentent au gré de leurs humeurs.
Que penser alors de quelqu’un qui dirait: « Je suis un pire » ? 

Et si $A$ dit: « Je suis pur si et seulement si $X$ » (où $X$ est une phrase quelconque).
Que peut-on dire de $X$ ?

Si $A$ dit: «Je suis un pire et j’ai la médaille Fields». Est-ce que $A$ a la médaille Fields ?

biguine_equation

Il y a aussi chez Smullyan, des purs malades: si je me souviens bien, ils mentent en croyant dire la vérité. Les pires malades, eux, disent la vérité en croyant mentir. Bien sûr, ils se mélangent aux pires et purs en bonne santé !

biguine_equation

Une dernière avec des implications:
$A$ dit: « Si $B$ est un pur alors je suis un pire. »
$B$ dit: «Si je suis un pire alors j’aime la gelée d’orange »
Est-ce que $B$ aime la gelée d’orange ?

GaBuZoMeu

@PetitLutinMalicieux a trouvé un nouveau mot : indécidable.

Il n'a rien à dire sur la formalisation que j'ai proposé ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2414065/#Comment_2414065 . Faisons donc des mathématiques (élémentaires) en l'utilisant.

Si $\Phi$ (la phrase prononcée par A) est $\neg P(a)$, la théorie $T$ qui a pour axiome $P(a)\Leftrightarrow \Phi$ n'est pas consistante : $\neg P(a)$ est un théorème de $T$, ainsi que $P(a)$.

Si $\Phi$ est $\neg P(a) \vee P(b)$, alors $\neg P(a)$ n'est pas indécidable non plus, car $P(a)$ est un théorème de $T$.

(Rappel de vocabulaire mathématique : une proposition $\Phi$ est indécidable dans une théorie $T$ quand ni $\Phi $ ni $\neg \Phi$ ne sont des théorèmes de $T$. Exemple : l'hypothèse du continu est indécidable dans ZFC).

Le joker "indécidable" de @PetitLutinMalicieux fait long feu.

@PetitLutinMalicieux a aussi oublié de dire ce qu'il pense de "Si je suis un Pur, alors B est un Pur" ($P(a)\Rightarrow P(b)$), logiquement équivalente à "Je suis un Pire ou B est un Pur" ($\neg P(a) \vee P(b)$).

Médiat_Suprème

Comme ce fil est bien parti (on ne sait où), je rajoute un exo : 
Que conclure si A dit "Je crois que B est Pur" et B dit "Je crois que A est Pire" ?

Que ceux pour qui c'est trop facile (GaBuZoMeu, Foys, ...) ne répondent pas tout de suite.

PetitLutinMalicieux

Mon pauvre GaBuZoMeu, tu discutes le langage alors que le problème est dans l'auto-référence.

raoul.S

Amen

GaBuZoMeu

Un nouveau joker après l'indécidabilité : l'auto-référence. Mais toujours aucune mathématique.