L'île des Purs et des Pires
Bonjour
Vous connaissez peut-être l'île des Purs et des Pires de Raymond Smullyan. Les habitants de cette île se partagent en deux groupes : les Purs, qui disent toujours la vérité, et les Pires, qui mentent toujours.
Pour distraire mon entourage, j'ai inventé l'énigme (facile) suivante : un logicien rencontre deux habitants, A et B. A déclare : "Au moins un de nous deux est un Pire". Il n'est pas difficile de voir que A est un Pur et B un Pire.
Ce que je trouve intéressant, c'est que B n'a pas besoin d'ouvrir la bouche pour qu'on puisse déterminer à quel groupe il appartient. Si A avait été un Pire et B un Pur, il aurait suffi que A affirme : "Nous sommes tous les deux des Pires" pour que le logicien puisse déterminer qui est A et qui est B.
Mais qu'en est-il si A et B sont tous deux des Purs ? Existe-t-il une affirmation que puisse prononcer l'un d'eux pour que le logicien détermine avec certitude qu'ils sont tous deux des Purs ? Même question avec A et B tous deux des Pires.
Une idée ?
Je vous souhaite une belle soirée !
Julien
Julien
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Réponses
L'habitant A peut dire : Je suis pire et B est pur.
À l'époque j'avais acheté un des bouquins de Raymond Smullyan avec les purs et le pires. Vraiment amusant comme livre.
Julien
PS. avec ta "logique" si A est un Pur et B un Pire alors A ne pourrait pas dire je suis Pur ou B est Pur...
Absolument pas. Mais je ne peux pas t'empêcher d'utiliser des arguments de mauvaise foi.
Formalisons : on considère la théorie $T$ dont le langage comprend un prédicat unaire $P$ (pour "pur"), deux constantes $a$ et $b$ et l'axiome $P(a) \Leftrightarrow \Phi$ où $\Phi$ est une combinaison booléenne de $P(a)$ et $P(b)$ (la phrase prononcée par $a$).
Si $\Phi$ est $\neg P(a)$, alors $T$ est inconsistante (n'a aucun modèle) et $P(a)$ et $\neg P(a)$ sont tous les deux des théorèmes de $T$.
Si $\Phi$ est $(\neg P(a))\vee(\neg P(b))$, alors $T$ est consistante et $P(a)$ et $\neg P(b)$ sont des théorèmes de $T$.
Si $\Phi$ est $(\neg P(a))\vee P(b)$, alors $T$ est consistante et $P(a)$ et $P(b)$ sont des théorèmes de $T$.Il les cherche un peu quand même les remarques acerbes...
Pour ma part j'aime bien les exercices de Smullyan, mais je n'aime pas les échanges avec les détenteurs de vérité.
Par ailleurs, je ne vois pas en quoi la sémantique impliquerait que "Je suis pire ou B est pire" est un mensonge. La sémantique a bon dos !
De ce que je comprends des détracteurs de cette histoire, c'est que pour un pur, la seule prononciation du morceau de phrase "je suis un pire" le mettrait dans des contradictions internes tellement fortes qu'il ne peut pas la prononcer.
De même pour un pire qui ne voudrait surtout pas dire la vérité. Du coup, il y a blocage sur le fait que cette phrase prise indépendamment ne peut pas être prononcée.
Mais je pense que la différence fondamentale, c'est que pour toi et les logiciens, partir de cette hypothèse donnerait juste une théorie inconsistance et puis c'est tout. Tandis que pour les non logiciens, la seule possibilité que la théorie puisse devenir inconsistante n'est pas entendable. Ce que tu considères comme clair est à mon avis un blocage psychologique important chez beaucoup : comment ça le monde peut devenir absurde ? C'est que les règles du jeu ne sont pas bonnes donc on les change en interdisant la situation qui peut rendre le monde absurde.
Je pense que c'est d'autant plus visible pour une situation pseudo concrète comme ici.
Cordialement.