Comportement asymptotique d'une suite

Boécien

En m'intéressant aux suites définies par récurrence d'ordre $2$, je suis tombé sur la suite $u(n)$ définie par
$$3n^{2}u(n)=\left(6n^{2}-9n+5\right)u(n-1)-\left(3n^{2}-9n+7\right)u(n-2)$$
Il est annoncé sans donner de détails que si $u(1)=x$ et $u(2)=y$ on a
$$u(n)\sim\left(K_{1}x+K_{2}y\right)n^{-\alpha},$$
où $K_{1}=-1.26...$ et $K_{2}=2.99..$ sont des constantes qui n'ont pas a priori de formule close et $\alpha=0.42..$ est la plus petite solution de $3x^2 - 6x +2=0$
Sans aller jusque là, peut-on simplement montrer que $u_n$ tend vers zéro quelque soient les valeurs initiales ?

Sinon en considérant l'opérateur $\triangle$ défini par  $\triangle f(n)=f(n)-f(n-1)$  j'ai réussi à réécrire la récurrence ainsi
$$ 2u(n)+9(n-1)\triangle u(n)+\left(3n^{2}-9n+7\right)\triangle^{2}u(n)=0$$
Cela donne envie de dire que $u(n)$ se comporte un peu comme la solution $y$ de l'équation différentielle
$$3x^2y"+9xy'+2y=0 $$
qui est de la forme Euler-Cauchy et bingo la solution $y$ est de la forme
$$y(x)=c_1 x^{-r_1}+c_2 x^{-r_2},$$
où $r_1,r_2$ sont les racines de $3x^2 - 6x +2$. Mais comment rendre ça rigoureux? Est-ce la bonne piste ?
Merci !

JLapin

Le pdf ci-joint parle un peu de ce genre de suite.
https://mathsrombaldi.pagesperso-orange.fr/AgregExterne/ThPoincare.pdf
Par curiosité, qui est l'annonceur ?

Boécien

Merci JLapin pour ce document. Dans le cas présent cela n'aide pas trop car le polynôme caractéristique c'est $(x-1)^2$ qui n'a pas deux racines distinctes. L'annonceur traite donc d'un cas indéterminé visiblement...

JLapin

Bien vu !
Je regrette que l'annonceur ne soit pas explicité mais tant pis

Boécien

Qui dois-je annoncer? 
Sa méthode à ce qu'il parait permet de connaître le comportement asymptotique de la famille de suites données par la paramétrisation suivante
$$u_{n}n^{2}-u_{n-1}\left(2n^{2}-(2+c_{1}+2c_{0})n+1+c_{1}+c_{0}\right)+u_{n-2}\left(n^{2}-\left(c_{1}+2c_{0}+2\right)n+c_{1}+1+3c_{0}\right)=0.$$
mais ça ne m'avance pas...

JLapin

Boécien a dit :
Il est annoncé sans donner de détails que si $u(1)=x$ et $u(2)=y$ on a

Celui qui fait l'observation sans donner de détails. Bouquin ? Article ? Discussion autour d'un café ?

Boécien

Discussion autour d'un grog.

Rescassol

Bonjour,

Le G.R.O.G. ? Le Groupe Régional d'Observation de la Grippe ? (Authentique).

Cordialement,
Rescassol

Boécien

Calli

Bonjour,
A-t-on déjà un moyen de montrer que la suite a un comportement polynômial : $\exists A>0, \; u(n) = O(n^A)$ ? Ou bien que les solutions de $(3x^2-9x+7)y''+9(x-1)y'+2y=0$ ont un comportement polynômial en l'infini : $\exists A>0, \; y(x) = O(x^A)$ ?
Si on savait ça, je pourrais donner une manière de calculer le développement asymptotique de $y$ en l'infini (ce qui s'adapte peut-être à $u$).

Boécien

Bonjour Calli. En rebondissant sur l'article de JLapin je suis tombé sur les termes "P-recursive sequences" et wiki donne ici des infos sur ta question sur la suite et si je comprends bien la réponse est oui.

Pour les solutions de l'équa diff Wolfy donne des choses compliquées mais à l'estime en l'infini il semble que la la solution est asymptotiquement du même ordre que celle pour la version Euler-Cauchy $3x^2y"+9xy'+2y=0$.

Calli

Mais ton article Wikipédia a l'air de déjà supposer que la suite est polynomiale.

Boécien

Effectivement....En cherchant d'autres références je suis tombé sur cet article intéressant qui mentionne le théorème de Poincaré de l'article de Jlapin mais les coefficients polynômes sont de degré 1 pas 2 et le cas "indéterminé" semble éludé.

Calli

En fait, c'est bon, je vois comment faire pour l'équa diff. Je vais procéder par analyse-synthèse.

Analyse : Cherchons $y(x)$ sous la forme $\sum _{a\in \mathbb{R}} c_{a} x^{-a}$ où les $c_{a}$ sont tous nuls sauf un nombre dénombrable. En injectant cette somme dans \[(3x^2-9x+7)y''+9(x-1)y'+2y=0\] et en identifiant les puissances de $x$ on trouve formellement que $y$ est solution ssi \[\forall a\in \mathbb{R},\quad  (3a^2 -6a+2)c_{a} = 9(a-1)^2 c_{a-1} +7(a-1)(a-2)c_{a-2} \quad  (\bigstar)\] Supposons que : $\exists A\in\Bbb R, \forall a<A,\; c_a=0$. Soient $r_{1}$ et $r_{2}$ les racines de $3X^2 -6X+2$. Alors $c_{r_{1}}$ et $c_{r_{2}}$ sont libres, mais les autres coefs sont déterminés récursivement par ces deux là.

Synthèse : Construisons une base $(y_1,y_2)$ des solutions de l'équa diff telle que $y_i(x) \sim x^{-r_{i}}$ en l'infini. Soit $i\in \{1,2\}$. Soit $(c_{a} )_{a\in \mathbb{R}}$ l'unique élément de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ qui vérifie $(\bigstar)$, $(\exists A, \forall a<A,\; c_a=0)$, $c_{r_{i}} = 1$ et $c_{r_{i'}} =0$ avec $r_{i'}$ l'autre racine ($i'=3-i$). Les seuls coefs non nuls sont les $c_{r_{i} +n}$ avec $n\in \mathbb{N}$ et pour tout $n$ assez grand : $$\begin{align*}| c_{r_{i} +n} |&\leqslant \left| \frac{9(a_n-1)^2 }{3a_n^2 -6a_n+2} c_{r_{i} +n-1} \right|+\left|\frac{7(a_n-1)(a_n-2)}{3a_n^2 -6a_n+2} c_{r_{i} +n-2}\right| \ \ \text{ avec } a_n:= r_{i} +n\\[1mm] &\leqslant  4 |c_{r_{i} +n-1}| + 3|c_{r_{i} +n-2}| \end{align*}$$ Soit $\rho $ la plus grande racine de $X^2 -4X-3$. Alors $c_{r_{i} +n}=O(\rho ^{n} )$. Donc on peut poser $y_{i} (x) := \sum _{n\in \mathbb{N}} c_{r_{i} +n} x^{-r_{i} -n}$ pour tout $x>\rho $. Cette série converge normalement ainsi que ses dérivées, donc $y_{i}$ vérifie $(3x^2-9x+7)y_{i} ''+9(x-1)y_{i} '+2y_{i} =0$ et $y_{i} (x) \sim x^{-r_{i}}$ en l'infini. Et on peut prolonger $y_i$ jusqu'à 0 par Cauchy-Lipschitz. De plus $r_{1} \neq  r_{2}$, donc $y_{1}$ et $y_{2}$ sont non colinéaires. Donc toutes les solutions de l'équa diff sont combinaisons linéaires de $y_{1}$ et $y_{2}$.

Ensuite, tu peux essayer d'adapter ça au cas de la suite $u$ en la cherchant sous la forme $u(n) = \sum_{a\in \mathbb{R}} c_{a} n^{-a}$. Peut-être que ça fonctionne (je n'ai pas essayé).

Boécien

Merci Calli, très ingénieux pour l'équa diff d'utliser un peu d'algèbre linéaire. Je vais essayer d'appliquer à la suite $u_n$. Les équivalences suivantes suffisent peut-être

$n^{-a}-(n-1)^{-a}\sim-an^{-a-1}$
$n^{-a}-2(n-1)^{-a}+(n-2)^{-a}\sim-a(a+1)n^{-a-2}$

Ou alors introduire

$$v_{n}(a)=\prod_{k=1}^{n}1-\frac{a}{k}\sim\frac{n^{-a}}{\Gamma\left(1-a\right)}$$

qui donne
$$v_{n}(a)-v_{n-1}(a)=-\frac{a}{n}v_{n-1}(a)$$

Boécien

@Calli je pense que pour la suite $u$ il vaut mieux introduire les suites $v_n(a)=\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}}{(k-1)(k+a+1)}$ qui vérifient sauf erreur

$v_{n}(a)\sim\Gamma\left(a+3\right)n^{-a}$
$\triangle v_{n}(a)=-\frac{a}{n}v_{n}(a)$

$\triangle^{2}v_{n}(a)=\frac{a(a+1)}{n^{2}}v_{n}(a)$

De sorte que si on considère les solutions de la récurrence de la forme $\sum_{a\in\R}c_av_n(a)$ on retombe sur ton équation et on arrive au résultat avec un facteur Gamma en plus. Je me trompe ?

EDIT: je me trompe ce n'est pas si simple de trouver une famille de suites qui tombent pile. Il faudrait peut-être écrire la récurrence différemment.

Boécien

Je tente encore ma chance. Il faut une couche supplémentaire pour s'en tirer lorsqu'on injecte la solution de Calli dans l'équation aux différences.

Soit  $v_{n}(a)=\frac{\Gamma\left(n+a\right)}{\Gamma(n)}$ alors cette fois on a les quatre relations
•$ \triangle v_{n}(a)=av_{n}\left(a-1\right)$
•$ \triangle^{2}v_{n}(a)=a(a-1)v_{n}\left(a-2\right)$
• $nv_{n}(a)=v_{n}(a+1)-av_{n}(a)$
• $n^{2}v_{n}(a)=v_{n}(a+2)-\left(2a+1\right)v_{n}(a+1)+a^{2}v_{n}(a)$

Et on peut alors injecter la solution $\sum_{a\in\mathbb{R}}c_{a}v_{n}(a)$ et arriver à une récurrence sur les $c_a$.

Calli

Ah bonne idée de changer de base. 

Boécien

Merci @Calli. Juste une question. Si l'équa diff génèrait engendrait des racines $r_1$ et $r_2$ complexes on peut faire le même raisonnement ?  Avec $y(x)=\sum_{a\in\mathbb{C}}c_{a}x^{-a}$, où un nombre dénombrable de $c_{a}$ sont non nuls. Et un truc comme $:\exists A\in\mathbb{R},\ \forall\Re a<A,\ c_{a}=0$ ?

Calli

Je pense que oui. Je n'y vois pas d'obstacle.

gebrane

Bonjour  @Boécien , tu as sous la main un joli problème.
Pourquoi ne pas appliquer la synthèse de Calli sur une séquence dont on connaît de façon exacte le terme général ? Par exemple, si tu appliques la méthode à la récurrence : $$n^3a_n = 2(2n - 1)(3n^2 - 3n + 1)a_{n-1} + (4n - 3)(4n - 4)(4n - 5)a_{n-2}, \quad a_1=2,\quad  a_2=18.$$
Que trouves-tu ? Ensuite, je vais te donner l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

Boécien

Bonjour ami gebrane, la méthode de Calli sur l'equa diff ne marche pas dans cet exemple car le polynôme de Poincaré (voir l'article de Jlapin) a deux racines distinctes $-4$ et $16$ qui fait que la solution aura un comportement en $n^r (-4)^n$ ou $n^r 16^n$ pas en $n^r$.

Sinon ça m'a tout l'air d'être la somme partielle des binomiaux à la puissance $4$ ton truc qui a bien un comportement en $Cn^{-3/2}16^n$.

gebrane

Oui le terme général est la somme partielle des binomiaux à la puissance 4

YvesM

Bonjour,

@Béotien0 
J’ai utilisé toutes les méthodes (sauf une) que je connais en vain pour démontrer le comportement asymptotique avec le coefficient selon $x,y.$

Ne reste plus que la méthode des fonctions de Green qui permettent d’écrire explicitement la solutions de toutes relations de récurrence d'ordre $2$ non dégénérée (c’est ici le cas). 

Mais il me faut sans doute deux jours de travail pour trouver une source et faire l’exercice. Et comme le résultat sera donné sous forme de produit (dont une somme) je ne sais même pas si je saurai en déduire le comportement à l’infini. 

Boécien

Bonsoir,

Merci @YvesM . Tu parles de l'équation aux différences ou de l'équation différentielle? Pour l'équation différentielle de la méthode de Calli marche bien et donne le comportement asymptotique attendu non? Pour l'équation aux différences la base que je propose s'adapte à la méthode continue a priori même si je n'ai pas mené les calculs jusqu'au bout pour l'instant.

YvesM

Bonjour
Aucun message ne donne le comportement asymptotique avec le coefficient selon $x,y$, les valeurs initiales.
Je pense qu’il faut une solution exacte pour le démontrer.
Je ne parle que de l’équation aux différences.
Donc fonction de Green et étude du comportement à l’infini. Mais c’est trop long à écrire… 

Boécien

Je n'ai pas détaillé mais en notant $n^{\left(-a\right)}=\frac{\Gamma\left(n-a\right)}{\Gamma(n)}$ et en considérant une solution de la forme $\sum_{a\in\mathbb{R}}c_{a}n^{(-a)}$, en l'injectant dans l'équation aux différences j'obtiens grâce aux relations

$\triangle n^{\left(-a\right)}=-an^{\left(-a-1\right)} $
$\triangle^{2}n^{\left(-a\right)}=a(a+1)n^{\left(-a-2\right)}$
$nn^{\left(-a\right)}=n^{\left(-a+1\right)}+an^{\left(-a\right)} $
$n^{2}n^{\left(-a\right)}=n^{\left(-a+2\right)}+\left(2a-1\right)n^{\left(-a+1\right)}+a^{2}n^{\left(-a\right)} $

une récurrence exacte $p(a)c_a=q(a)c_{a-1}+r(a)c_{a-2}$ avec $p,q,r$ des polynômes de degré 2 et miracle $p(x)=3x^2-6x+2$ le polynôme qui apparait dans l'équation différentielle. Le raisonnement de Calli amène alors au résultat.

YvesM

Bonjour
Je ne suis pas d’accord. Peux-tu finir les calculs et trouver le coefficient asymptotique en $x,y$ ? La loi en puissance est claire. C’est le coefficient qui est difficile à justifier. 

Tes calculs permettent-ils de trouver ce coefficient ? 

Calli

@Boécien : Je crois qu'Yves cherche les constantes $K_1$ et $K_2$ de ton premier message.

Soient, comme d'hab', $r_1<r_2$ les racines de $3X^2 -6X+2$. Soit, pour tout $i\in\{1,2\}$, $u_i (n) := \sum_a c_{i,a} n^{(-a)}$ où $(c_{i,a})_a$ vérifie la formule de récurrence donnée par Boécien dans son dernier message, ainsi que $c_{i,r_i}=1$ et $c_{i,r_{i'}}=0$ avec $r_{i'}$ l'autre racine ($i'=3-i$).
Ces séries ne convergent pas forcément pour tout $n$, mais il existe $n_0 \in\Bbb N$ tel qu'elles convergent pour tout $n\geqslant n_0$. On peut donc calculer $u_i(n_0)$ et $u_i(n_0+1)$ pour tout $i\in\{1,2\}$. En inversant la relation de récurrence, on en déduit $u_i(1)$ et $u_i(2)$. Alors $K_1$ et $K_2$ sont solutions du système $$\left\{\begin{array}{r} K_1 u_1(1)+K_2 u_1(2) =1\\ K_1 u_2(1)+K_2 u_2(2) =0\end{array}\right.$$

Boécien

Oui c'est ça Yves voulait boucler la boucle, merci "Terence @Calli Tao" pour la clarification

gebrane

J’espère que Terence @Calli Tao va un jour, nous proposer une preuve à discuter  sur la conjecture  de Goldbach .

Calli

N'exagérons rien 

YvesM

Bonjour
J'ai repris les calculs. Je ne trouve rien de bon. J'abandonne. 

Boécien

Merci en tout cas d'avoir essayé.

Boécien

Calli a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2414026/#Comment_2414026

 Soient $r_{1}$ et $r_{2}$ les racines de $3X^2 -6X+2$. Alors $c_{r_{1}}$ et $c_{r_{2}}$ sont libres, mais les autres coefs sont déterminés

récursivement par ces deux là.

Si les racines ne sont pas été distinctes, comment construire une base des solutions ?

Calli

Dans ce cas, je pense que tu peux chercher $y(x) $ sous la forme $\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n+b_n\ln(x)) x^{-r-n} $, avec $r$ l'unique racine. Mais je n'ai pas les moyens de le vérifier pour l'instant (je vais en manif...). 

Boécien

Merci @Calli. Vu que l'équa diff $$x^{2}y''+dxy'+\left(\frac{d-1}{2}\right)^{2}y=0$$ a pour solution
$$y=c_{1}x^{-\frac{d-1}{2}}+c_{2}\left(\log x\right)x^{-\frac{d-1}{2}}$$ ta base doit marcher pour toute équation de la forme
$$\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+\left(\frac{d-1}{2}\right)^{2}y=0$$

Calli

Oui. J'ai pu vérifier que ça fonctionne bien. Et la forme $\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+\big(\frac{d-1}{2}\big)^{2}y=0$ couvre tous les cas où il y a une racine double.

gebrane

Bonjour. Très surprenant.

 Soit l'équation $$\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+\big(\frac{d-1}{2}\big)^{2}y=0.$$
Je considère pour tester $a=b=0,\ d=e=-1$. on tombe sur l’équation  $$x^2y" - (1 + x)y' + y = 0 $$
Wolfram donne une base de solutions très [plus] compliquée que la votre.

Calli

Mais ça m'a l'air d'être de la même forme que ce qu'on dit quand on remplace $e^{-1/x}$ et $\rm Ei$ par leur développement en puissances de $x$ et $\ln x$.