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Comportement asymptotique d'une suite

Modifié (March 2023) dans Analyse
En m'intéressant aux suites définies par récurrence d'ordre $2$, je suis tombé sur la suite $u(n)$ définie par
$$3n^{2}u(n)=\left(6n^{2}-9n+5\right)u(n-1)-\left(3n^{2}-9n+7\right)u(n-2)$$
Il est annoncé sans donner de détails que si $u(1)=x$ et $u(2)=y$ on a
$$u(n)\sim\left(K_{1}x+K_{2}y\right)n^{-\alpha},$$
où $K_{1}=-1.26...$ et $K_{2}=2.99..$ sont des constantes qui n'ont pas a priori de formule close et $\alpha=0.42..$ est la plus petite solution de $3x^2 - 6x +2=0$
Sans aller jusque là, peut-on simplement montrer que $u_n$ tend vers zéro quelque soient les valeurs initiales ?
Sinon en considérant l'opérateur $\triangle$ défini par  $\triangle f(n)=f(n)-f(n-1)$  j'ai réussi à réécrire la récurrence ainsi
$$ 2u(n)+9(n-1)\triangle u(n)+\left(3n^{2}-9n+7\right)\triangle^{2}u(n)=0$$
Cela donne envie de dire que $u(n)$ se comporte un peu comme la solution $y$ de l'équation différentielle
$$3x^2y"+9xy'+2y=0 $$
qui est de la forme Euler-Cauchy et bingo la solution $y$ est de la forme
$$y(x)=c_1 x^{-r_1}+c_2 x^{-r_2},$$
où $r_1,r_2$ sont les racines de $3x^2 - 6x +2$. Mais comment rendre ça rigoureux? Est-ce la bonne piste ?
Merci !

Réponses

  • Modifié (March 2023)
    Le pdf ci-joint parle un peu de ce genre de suite.
    https://mathsrombaldi.pagesperso-orange.fr/AgregExterne/ThPoincare.pdf
    Par curiosité, qui est l'annonceur ?
  • Modifié (March 2023)
    Merci JLapin pour ce document. Dans le cas présent cela n'aide pas trop car le polynôme caractéristique c'est $(x-1)^2$ qui n'a pas deux racines distinctes. L'annonceur traite donc d'un cas indéterminé visiblement...
  • Modifié (March 2023)
    Bien vu !
    Je regrette que l'annonceur ne soit pas explicité mais tant pis :)
  • Modifié (March 2023)
    Qui dois-je annoncer?  :)
    Sa méthode à ce qu'il parait permet de connaître le comportement asymptotique de la famille de suites données par la paramétrisation suivante
    $$u_{n}n^{2}-u_{n-1}\left(2n^{2}-(2+c_{1}+2c_{0})n+1+c_{1}+c_{0}\right)+u_{n-2}\left(n^{2}-\left(c_{1}+2c_{0}+2\right)n+c_{1}+1+3c_{0}\right)=0.$$
    mais ça ne m'avance pas... :/
  • Modifié (March 2023)
    Boécien a dit :
    Il est annoncé sans donner de détails que si $u(1)=x$ et $u(2)=y$ on a
    Celui qui fait l'observation sans donner de détails. Bouquin ? Article ? Discussion autour d'un café ?
  • Discussion autour d'un grog.
  • Bonjour,

    Le G.R.O.G. ? Le Groupe Régional d'Observation de la Grippe ? (Authentique).

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    A-t-on déjà un moyen de montrer que la suite a un comportement polynômial : $\exists A>0, \; u(n) = O(n^A)$ ? Ou bien que les solutions de $(3x^2-9x+7)y''+9(x-1)y'+2y=0$ ont un comportement polynômial en l'infini : $\exists A>0, \; y(x) = O(x^A)$ ?
    Si on savait ça, je pourrais donner une manière de calculer le développement asymptotique de $y$ en l'infini (ce qui s'adapte peut-être à $u$).
  • Bonjour Calli. En rebondissant sur l'article de JLapin je suis tombé sur les termes "P-recursive sequences" et wiki donne ici des infos sur ta question sur la suite et si je comprends bien la réponse est oui.
    Pour les solutions de l'équa diff Wolfy donne des choses compliquées mais à l'estime en l'infini il semble que la la solution est asymptotiquement du même ordre que celle pour la version Euler-Cauchy $3x^2y"+9xy'+2y=0$.
  • Mais ton article Wikipédia a l'air de déjà supposer que la suite est polynomiale.
  • Effectivement....En cherchant d'autres références je suis tombé sur cet article intéressant qui mentionne le théorème de Poincaré de l'article de Jlapin mais les coefficients polynômes sont de degré 1 pas 2 et le cas "indéterminé" semble éludé.
  • Modifié (March 2023)
    En fait, c'est bon, je vois comment faire pour l'équa diff. Je vais procéder par analyse-synthèse.

    Analyse : Cherchons $y(x)$ sous la forme $\sum _{a\in \mathbb{R}} c_{a} x^{-a}$ où les $c_{a}$ sont tous nuls sauf un nombre dénombrable. En injectant cette somme dans \[(3x^2-9x+7)y''+9(x-1)y'+2y=0\] et en identifiant les puissances de $x$ on trouve formellement que $y$ est solution ssi \[\forall a\in \mathbb{R},\quad  (3a^2 -6a+2)c_{a} = 9(a-1)^2 c_{a-1} +7(a-1)(a-2)c_{a-2} \quad  (\bigstar)\] Supposons que : $\exists A\in\Bbb R, \forall a<A,\; c_a=0$. Soient $r_{1}$ et $r_{2}$ les racines de $3X^2 -6X+2$. Alors $c_{r_{1}}$ et $c_{r_{2}}$ sont libres, mais les autres coefs sont déterminés récursivement par ces deux là.

    Synthèse : Construisons une base $(y_1,y_2)$ des solutions de l'équa diff telle que $y_i(x) \sim x^{-r_{i}}$ en l'infini. Soit $i\in \{1,2\}$. Soit $(c_{a} )_{a\in \mathbb{R}}$ l'unique élément de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ qui vérifie $(\bigstar)$, $(\exists A, \forall a<A,\; c_a=0)$, $c_{r_{i}} = 1$ et $c_{r_{i'}} =0$ avec $r_{i'}$ l'autre racine ($i'=3-i$). Les seuls coefs non nuls sont les $c_{r_{i} +n}$ avec $n\in \mathbb{N}$ et pour tout $n$ assez grand : $$\begin{align*}| c_{r_{i} +n} |&\leqslant \left| \frac{9(a_n-1)^2 }{3a_n^2 -6a_n+2} c_{r_{i} +n-1} \right|+\left|\frac{7(a_n-1)(a_n-2)}{3a_n^2 -6a_n+2} c_{r_{i} +n-2}\right| \ \ \text{ avec } a_n:= r_{i} +n\\[1mm] &\leqslant  4 |c_{r_{i} +n-1}| + 3|c_{r_{i} +n-2}| \end{align*}$$ Soit $\rho $ la plus grande racine de $X^2 -4X-3$. Alors $c_{r_{i} +n}=O(\rho ^{n} )$. Donc on peut poser $y_{i} (x) := \sum _{n\in \mathbb{N}} c_{r_{i} +n} x^{-r_{i} -n}$ pour tout $x>\rho $. Cette série converge normalement ainsi que ses dérivées, donc $y_{i}$ vérifie $(3x^2-9x+7)y_{i} ''+9(x-1)y_{i} '+2y_{i} =0$ et $y_{i} (x) \sim x^{-r_{i}}$ en l'infini. Et on peut prolonger $y_i$ jusqu'à 0 par Cauchy-Lipschitz. De plus $r_{1} \neq  r_{2}$, donc $y_{1}$ et $y_{2}$ sont non colinéaires. Donc toutes les solutions de l'équa diff sont combinaisons linéaires de $y_{1}$ et $y_{2}$.

    Ensuite, tu peux essayer d'adapter ça au cas de la suite $u$ en la cherchant sous la forme $u(n) = \sum_{a\in \mathbb{R}} c_{a} n^{-a}$. Peut-être que ça fonctionne (je n'ai pas essayé).
  • Modifié (March 2023)
    Merci Calli, très ingénieux pour l'équa diff d'utliser un peu d'algèbre linéaire. Je vais essayer d'appliquer à la suite $u_n$. Les équivalences suivantes suffisent peut-être
    $n^{-a}-(n-1)^{-a}\sim-an^{-a-1}$
    $n^{-a}-2(n-1)^{-a}+(n-2)^{-a}\sim-a(a+1)n^{-a-2}$
    Ou alors introduire
    $$v_{n}(a)=\prod_{k=1}^{n}1-\frac{a}{k}\sim\frac{n^{-a}}{\Gamma\left(1-a\right)}$$
    qui donne
    $$v_{n}(a)-v_{n-1}(a)=-\frac{a}{n}v_{n-1}(a)$$
  • Modifié (March 2023)
    @Calli je pense que pour la suite $u$ il vaut mieux introduire les suites $v_n(a)=\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}}{(k-1)(k+a+1)}$ qui vérifient sauf erreur
    $v_{n}(a)\sim\Gamma\left(a+3\right)n^{-a}$
    $\triangle v_{n}(a)=-\frac{a}{n}v_{n}(a)$
    $\triangle^{2}v_{n}(a)=\frac{a(a+1)}{n^{2}}v_{n}(a)$
    De sorte que si on considère les solutions de la récurrence de la forme $\sum_{a\in\R}c_av_n(a)$ on retombe sur ton équation et on arrive au résultat avec un facteur Gamma en plus. Je me trompe ?
    EDIT: je me trompe ce n'est pas si simple de trouver une famille de suites qui tombent pile. Il faudrait peut-être écrire la récurrence différemment.
  • Modifié (March 2023)
    Je tente encore ma chance. Il faut une couche supplémentaire pour s'en tirer lorsqu'on injecte la solution de Calli dans l'équation aux différences.
    Soit  $v_{n}(a)=\frac{\Gamma\left(n+a\right)}{\Gamma(n)}$ alors cette fois on a les quatre relations
    •$ \triangle v_{n}(a)=av_{n}\left(a-1\right)$
    •$ \triangle^{2}v_{n}(a)=a(a-1)v_{n}\left(a-2\right)$
    • $nv_{n}(a)=v_{n}(a+1)-av_{n}(a)$
    • $n^{2}v_{n}(a)=v_{n}(a+2)-\left(2a+1\right)v_{n}(a+1)+a^{2}v_{n}(a)$
    Et on peut alors injecter la solution $\sum_{a\in\mathbb{R}}c_{a}v_{n}(a)$ et arriver à une récurrence sur les $c_a$.
  • Ah bonne idée de changer de base.  :)
  • Modifié (March 2023)
    Merci @Calli. Juste une question. Si l'équa diff génèrait engendrait des racines $r_1$ et $r_2$ complexes on peut faire le même raisonnement ?  Avec $y(x)=\sum_{a\in\mathbb{C}}c_{a}x^{-a}$, où un nombre dénombrable de $c_{a}$ sont non nuls. Et un truc comme $:\exists A\in\mathbb{R},\ \forall\Re a<A,\ c_{a}=0$ ?
  • Je pense que oui. Je n'y vois pas d'obstacle.
  • Modifié (March 2023)
    Bonjour  @Boécien , tu as sous la main un joli problème.
    Pourquoi ne pas appliquer la synthèse de Calli sur une séquence dont on connaît de façon exacte le terme général ? Par exemple, si tu appliques la méthode à la récurrence : $$n^3a_n = 2(2n - 1)(3n^2 - 3n + 1)a_{n-1} + (4n - 3)(4n - 4)(4n - 5)a_{n-2}, \quad a_1=2,\quad  a_2=18.$$
    Que trouves-tu ? Ensuite, je vais te donner l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (March 2023)
    Bonjour ami gebrane, la méthode de Calli sur l'equa diff ne marche pas dans cet exemple car le polynôme de Poincaré (voir l'article de Jlapin) a deux racines distinctes $-4$ et $16$ qui fait que la solution aura un comportement en $n^r (-4)^n$ ou $n^r 16^n$ pas en $n^r$.
    Sinon ça m'a tout l'air d'être la somme partielle des binomiaux à la puissance $4$ ton truc :D qui a bien un comportement en $Cn^{-3/2}16^n$.
  • Oui le terme général est la somme partielle des binomiaux à la puissance 4
    Le 😄 Farceur


  • Bonjour,

    @Béotien0 
    J’ai utilisé toutes les méthodes (sauf une) que je connais en vain pour démontrer le comportement asymptotique avec le coefficient selon $x,y.$
    Ne reste plus que la méthode des fonctions de Green qui permettent d’écrire explicitement la solutions de toutes relations de récurrence d'ordre $2$ non dégénérée (c’est ici le cas). 
    Mais il me faut sans doute deux jours de travail pour trouver une source et faire l’exercice. Et comme le résultat sera donné sous forme de produit (dont une somme) je ne sais même pas si je saurai en déduire le comportement à l’infini. 
  • Bonsoir,
    Merci @YvesM . Tu parles de l'équation aux différences ou de l'équation différentielle? Pour l'équation différentielle de la méthode de Calli marche bien et donne le comportement asymptotique attendu non? Pour l'équation aux différences la base que je propose s'adapte à la méthode continue a priori même si je n'ai pas mené les calculs jusqu'au bout pour l'instant.
  • Modifié (March 2023)
    Bonjour
    Aucun message ne donne le comportement asymptotique avec le coefficient selon $x,y$, les valeurs initiales.
    Je pense qu’il faut une solution exacte pour le démontrer.
    Je ne parle que de l’équation aux différences.
    Donc fonction de Green et étude du comportement à l’infini. Mais c’est trop long à écrire… 
  • Je n'ai pas détaillé mais en notant $n^{\left(-a\right)}=\frac{\Gamma\left(n-a\right)}{\Gamma(n)}$ et en considérant une solution de la forme $\sum_{a\in\mathbb{R}}c_{a}n^{(-a)}$, en l'injectant dans l'équation aux différences j'obtiens grâce aux relations
    $\triangle n^{\left(-a\right)}=-an^{\left(-a-1\right)} $
    $\triangle^{2}n^{\left(-a\right)}=a(a+1)n^{\left(-a-2\right)}$
    $nn^{\left(-a\right)}=n^{\left(-a+1\right)}+an^{\left(-a\right)} $
    $n^{2}n^{\left(-a\right)}=n^{\left(-a+2\right)}+\left(2a-1\right)n^{\left(-a+1\right)}+a^{2}n^{\left(-a\right)} $
    une récurrence exacte $p(a)c_a=q(a)c_{a-1}+r(a)c_{a-2}$ avec $p,q,r$ des polynômes de degré 2 et miracle $p(x)=3x^2-6x+2$ le polynôme qui apparait dans l'équation différentielle. Le raisonnement de Calli amène alors au résultat.



  • Modifié (March 2023)
    Bonjour
    Je ne suis pas d’accord. Peux-tu finir les calculs et trouver le coefficient asymptotique en $x,y$ ? La loi en puissance est claire. C’est le coefficient qui est difficile à justifier. 
    Tes calculs permettent-ils de trouver ce coefficient ? 
  • Modifié (March 2023)
    @Boécien : Je crois qu'Yves cherche les constantes $K_1$ et $K_2$ de ton premier message.

    Soient, comme d'hab', $r_1<r_2$ les racines de $3X^2 -6X+2$. Soit, pour tout $i\in\{1,2\}$, $u_i (n) := \sum_a c_{i,a} n^{(-a)}$ où $(c_{i,a})_a$ vérifie la formule de récurrence donnée par Boécien dans son dernier message, ainsi que $c_{i,r_i}=1$ et $c_{i,r_{i'}}=0$ avec $r_{i'}$ l'autre racine ($i'=3-i$).
    Ces séries ne convergent pas forcément pour tout $n$, mais il existe $n_0 \in\Bbb N$ tel qu'elles convergent pour tout $n\geqslant n_0$. On peut donc calculer $u_i(n_0)$ et $u_i(n_0+1)$ pour tout $i\in\{1,2\}$. En inversant la relation de récurrence, on en déduit $u_i(1)$ et $u_i(2)$. Alors $K_1$ et $K_2$ sont solutions du système $$\left\{\begin{array}{r} K_1 u_1(1)+K_2 u_1(2) =1\\ K_1 u_2(1)+K_2 u_2(2) =0\end{array}\right.$$
  • Oui c'est ça Yves voulait boucler la boucle, merci "Terence @Calli Tao" pour la clarification :)
  • J’espère que Terence @Calli Tao va un jour, nous proposer une preuve à discuter  sur la conjecture  de Goldbach .
    Le 😄 Farceur


  • N'exagérons rien  :)
  • Modifié (March 2023)
    Bonjour
    J'ai repris les calculs. Je ne trouve rien de bon. J'abandonne. 
  • Modifié (March 2023)
    Merci en tout cas d'avoir essayé.
  • Modifié (October 2023)
     Soient $r_{1}$ et $r_{2}$ les racines de $3X^2 -6X+2$. Alors $c_{r_{1}}$ et $c_{r_{2}}$ sont libres, mais les autres coefs sont déterminés
    récursivement par ces deux là.
    Si les racines ne sont pas distinctes, comment construire une base des solutions ?
  • Dans ce cas, je pense que tu peux chercher $y(x) $ sous la forme $\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n+b_n\ln(x)) x^{-r-n} $, avec $r$ l'unique racine. Mais je n'ai pas les moyens de le vérifier pour l'instant (je vais en manif...). 
  • Modifié (March 2023)
    Merci @Calli. Vu que l'équa diff $$x^{2}y''+dxy'+\left(\frac{d-1}{2}\right)^{2}y=0$$ a pour solution
    $$y=c_{1}x^{-\frac{d-1}{2}}+c_{2}\left(\log x\right)x^{-\frac{d-1}{2}}$$ ta base doit marcher pour toute équation de la forme
    $$\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+\left(\frac{d-1}{2}\right)^{2}y=0$$
  • Oui. J'ai pu vérifier que ça fonctionne bien. Et la forme $\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+\big(\frac{d-1}{2}\big)^{2}y=0$ couvre tous les cas où il y a une racine double.
  • Modifié (March 2023)
    Bonjour. Très surprenant.
     Soit l'équation $$\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+\big(\frac{d-1}{2}\big)^{2}y=0.$$
    Je considère pour tester $a=b=0,\ d=e=-1$. on tombe sur l’équation  $$x^2y" - (1 + x)y' + y = 0 $$
    Wolfram donne une base de solutions très [plus] compliquée que la votre.

    Le 😄 Farceur


  • Mais ça m'a l'air d'être de la même forme que ce qu'on dit quand on remplace $e^{-1/x}$ et $\rm Ei$ par leur développement en puissances de $x$ et $\ln x$.
  • Oui c'est ça. Wolfram ne dit pas autre chose. Voir la formule asymptotique pour x=oo
  • Modifié (March 2023)
    Est-ce que vous avez réussi à donner une base de solution pour les équations de la forme $$\left(x^{2}+ax+b\right)y''+\left(dx+e\right)y'+dy=0\quad?$$
    Cela peut intéresser les physiciens.
    Le 😄 Farceur


  • Pas sûr car on connait depuis longtemps une base de solutions développable en séries entières qui est celle des fonctions de la forme $\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k x^k$ avec $$\forall k \in \mathbb{N},\quad c (k+1)(k+2) a_{k + 2} + (b k (k + 1) + e)a_{k+1} + (ak (k-1) + d k + f) a_k = 0.$$
    Pour ce qui est de l'espoir de trouver des fonctions simples, il y a quand même la primitive de Gauss dans le tas qui vérifie $y''(x) + 2 x y'(x) = 0$.
  • Modifié (April 2023)
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. AD]
    C'est comme plus haut avec ici $r_{i}=\dfrac{d-1\pm\sqrt{d^{2}-6d+1}}{2}$ et une autre récurrence d'ordre 2 sur les $c_n$.
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