Trois affirmations
Bonjour
Ci-dessous, trois affirmations.
Avec combien d'entre elles êtes-vous d'accord ?
1) Tout nombre ayant une écriture décimale est un nombre réel.
2) Toute écriture décimale d'un nombre est un nombre réel.
3) Toute écriture décimale est un nombre réel.
Merci d'avance.
Ci-dessous, trois affirmations.
Avec combien d'entre elles êtes-vous d'accord ?
1) Tout nombre ayant une écriture décimale est un nombre réel.
2) Toute écriture décimale d'un nombre est un nombre réel.
3) Toute écriture décimale est un nombre réel.
Merci d'avance.
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2) Oui, à condition de confondre "écriture" et "nombre représenté par l'écriture", et sinon, non.
3) Pareil.
Nous semblons d'accord sur le fait qu'il faut faire la différence entre "nombre" et "représentation d'un nombre".
Ma propre définition d'un nombre n'intéressera personne. Mieux vaut donc s'en tenir à la théorie, en vue - pour moi - de la comprendre. Dans ce but, si vous le voulez bien, prenons un exemple concret.
Soit "ceci" : $0,123456789101112131415...$, où l'on égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels. (Constante de Champernowne.)
En quoi est-ce un nombre réel ?
Merci d'avance.
Je ne vois pas en quoi 2,3-5i ne serait pas une écriture décimale, elle comporte d'ailleurs une décimale.
Mais évidemment, à question floue, multiplication d'interprétations.
Cordialement.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La question était "Tout nombre ayant une écriture décimale est un nombre réel.". Pourquoi rejeter le symbole i dans l'écriture des nombres. Tout le monde l'admet dans l'écriture des nombres complexes. Tu sembles parti sur du pinaillage absurde.
En fait, comme Sneg, à son habitude, ne définit pas les mots qu'elle emploie ("Ma propre définition d'un nombre n'intéressera personne") ni "la théorie" dont elle parle, on construit sur du sable.
Cordialement.
J'espère apporter un petit éclairage sur la question.Sneg a dit : L'écriture "$42$" représente le calcul "$4\times\text{dix}+ 2$".
Ainsi, quand on écrit à l'école élémentaire "$6\times7=42$", on transforme un calcul simple "$6\times7$" (une multiplication) en un calcul plus compliqué "$4\times\text{dix}+ 2$" (une multiplication et une addition).
Pourquoi demander aux élèves de transformer des calculs simples en calculs plus compliqués ? Parce que ces calculs plus compliqués sont plus standards : ils permettent de trouver, parmi une série de calculs, plus facilement le plus petit et/ou le plus grand résultat (Je pense que le but de l'enseignement des mathématiques à l'école était, à l'origine, d'apprendre aux élèves à comparer des prix ou des quantités).
De même, l'écriture "$53,46$" représente le calcul "$5\times 10 + 3 + \frac{4}{10} + \frac{6}{100}$".
L'écriture "$5,333\bar{3}$" représente un calcul beaucoup plus compliqué que les exemples précédents. Elle représente le calcul :
$$ \lim_{n\to+\infty}\quad 5+\sum_{i=0}^{n} \frac{3}{10^i}$$
L'écriture "$3,517804...$" est ambiguë. C'est une devinette :
"C'est un nombre plus grand que $3,517804$ et plus petit que $3,517805$, vous voyez de quel nombre je veux parler ?".
Bien sûr, ce genre de devinette est à éviter en mathématiques. On ne l'utilise normalement qu'accompagné d'une définition précise.
"Le nombre où l'on l'égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels" est une expression dont le sens (non ambigü cette fois) est le calcul :
Limite (pour n tendant vers l'infini) du résultat du calcul représenté par la concaténation de "0," et des n premiers nombres naturels non nuls.}
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
« Le calcul » ne signifie rien du tout.
b) définir "avoir une écriture décimale"
c) abandonner le mot nombre.
Une fois ces trois étapes faits, la première question aura une rédaction du premier ordre et ce sera une formule vraie.
Ainsi donc, pour moi (!), un nombre réel est un objet mathématique porteur d'une valeur précise qui peut être représentée au moyen d'une quantité finie de symboles dont la signification ne laisse place à aucune équivoque. Par exemple :
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{LA VALEUR PRECISE} & \text{LE(S) SYMBOLES(S)} \\
\hline
\text{l'unité} & 1 \\
\hline
\text{Deux unités} & 2 \\
\hline
\text{un quart d'unité} & 1/4 \\
\hline
\text{la moitié du nombre positif qui, multiplié par lui-même, est égal à 2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\hline
\text{Le cube de la base du logarithme naturel, augmenté de l'unité} & e^3 + 1 \\
\hline
\text{Le quart du rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre dans un plan euclidien} & \frac{\pi}{4} \\
\hline
\text{Etc.} & \text{Etc.} \\
\hline
\end{array}
J'ai conscience que cette façon d'écrire chaque nombre réel n'est pas unique puisque $1 = 2-1 = 3-2 = \cdots$, mais on connaît déjà cela avec les fractions.
Cela dit, pareils nombres peuvent faire l'objet d'une représentation sous la forme d'un développement décimal illimité.
J'appelle aussi "nombre réel" cette forme.
Maintenant, en sens inverse, tout ce qui ressemble à un développement décimal illimité - comme la constante de Champernowne - peut-il être associé à une valeur précise ?
Si oui, c'est parfait pour moi.
Sinon, pourquoi alors élever ce genre de "chose" au grade de "nombre réel" ?
Dans leur construction des nombres réels (dont Médiat_Suprème, que je remercie d'intervenir, évoque), les mathématiciens se préoccupent-ils de ce qui me préoccupe ? Ou bien, ce que j'ai écrit n'a pas le moindre rapport avec la théorie, ce qui, d'une certaine façon apporterait une réponse à mes questionnements ?
Merci d'avance.
Quant à la notion de "nombre" elle est beaucoup plus vaste (infiniment) et ne mérite pas une définition à la fois complète et générale
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Dans les maths actuelles, la construction des nombres réels n'a rien de commun avec la façon de les représenter. On définit les entiers, puis les rationnels, puis les réels sans que la base d'écriture (9+1 en général) ne soit concernée (*). Donc pour eux, "les réels existent" (**). Ensuite, on montre que chacun a une ou deux écritures décimale illimitée (***) et que toute écriture décimale illimitée définit un réel et un seul.
L'ensemble des réels est tellement grand que la plupart d'entre eux ne peut pas "être représenté au moyen d'une quantité finie de symboles".
Cordialement.
(**) en un sens très précis que j'éviterai de commenter.
(***) deux pour les décimaux.
Rassurez-moi. Ma vision des nombres réels a existé, à une époque, non ?
Ce que je dirais spontanément mais c'est personnel, c'est qu'il n'y a pas de réponses absolues à ces questions. Mais plutôt des vérités « relatives » mais potentiellement prolifiques. C'est le cadeau que sont les mathématiques.
Et pour moi, on fait des maths quand on arrive à écrire des formules qui soient des théorèmes, un théorème étant de la sémantique mais aussi vérifiable.
Cela revient à dire que toute nouvelle idée de formule, est invalide en math tant qu'on n'a pas établi le contraire. Ce que je pense est confirmée par les mathématiques modernes.
Pas vraiment. Du moins, c'est une façon de voir qui était vécue (mais pas expliquée) à l'époque où on parlait de nombres sans bien savoir de quoi on parlait, les mathématiques étant essentiellement géométriques. Donc on ne parlait pas de "nombres réels", tout au plus de "nombres longueurs", "nombres-surfaces", .... Puis on s'est mis à travailler fortement sur les nombres, les suites de nombres, les séries de nombres, et à utiliser des fonctions "non mécaniques" comme les logarithmes et l'exponentielle, et on s'est habitué à travailler avec des tas de nombres, pas très bien définis (ln 2, e,...) et au bout de 23 siècles, à penser à l'ensemble de tous ces nombres, qui s'est révélé extrêmement compliqué. Mais on en avait besoin pour éviter de faire sans arrêt des cas particuliers inutiles.
Qu’il n’y a aucun nombres absurdes, irrationnels, irréguliers, inexplicables ou sourds.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si c'est ça la formalisation, il n'y a aucune équivoque : pas de discussion possible !
Rationnel - écriture décimale périodique à partir d’un certain rang - fraction
Édit : merci Math Coss
On peut en effet, par exemple, se faire la même remarque avec la distinction entre coordonnées de vecteurs dans un espace de vecteurs, et le vecteur lui-même.
Ensuite, on « passe » des coordonnées du vecteur au vecteur, et du vecteur au tenseur.
Le vecteur prenant la place des coordonnées et le tenseur prenant la place du vecteur.
Le tenseur étant une propriété géométrique entre vecteurs d'ordre n ($n \ge 2$ ?).
Et pourtant un tenseur, ce n'est pas compliqué en soi, toute personne étant allé jusqu'en première, en connait au moins un (d'ordre 2), le produit scalaire. Voir cette vidéo
En fait, la ou les variables ne sont plus les coordonnées des objets mathématiques solutions de certaines équations, mais on utilise à leur tour ces fonctions comme des variables, et les « inconnues » deviennent les équations reliant ces fonctions.
Dans le petit tableau que j'ai fait un peu plus haut, tu pourras voir que la fraction $\frac{1}{4}$ est dans la catégorie "SYMBOLE(S)" : Elle représente le nombre dont la valeur précise est "un quart d'unité". La fraction $\frac{1}{4}$, qui est clairement un symbole, n'y est donc un nombre que par raccourci de langage.
Cela dit et malgré que "toute discussion soit impossible" (comme l'a plus ou moins écrit Math Coss), j'entrevois à propos des nombres réels un lien entre @votre discours et le mien :
$\bullet$ Dans mon discours, le nombre (que j'identifie à une valeur précise) existe avant même que n'existe sa représentation.
Cela dit, au moyen des symboles que je crée pour représenter des nombres, je peux représenter (en premier) d'autres nombres (dont l'existence n'arrive alors qu'en second).
$\bullet$ On dirait que c'est ce qui se passe dans les mathématiques actuelles : On représente en premier des "choses" (avec une infinité de chiffres et une virgule) et en second on en détermine la valeur. Ce sont des nombres.
À supposer que ce que je viens d'écrire ait un sens, il me reste à découvrir comment on détermine la valeur de ces "choses".
Bonne journée.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La rupture bête et brutale.
Médiat_Suprème m’a parlé de nombres non définissables ou non calculables. Je n’ai aucune raison de ne pas le croire, vu qu’il s’y connaît infiniment plus que moi et que je subodorais l’existence de ces nombres. Mais l’info ne tombait pas, en tout cas pas aussi clairement que cela. Maintenant que l’info est tombée, tout est clair.
Merci à tous.
S’il existe bel et bien des nombres réels non définissables et non calculables, alors ce fil a enfin obtenu une réponse.
Encore une fois, merci à tous et pardon pour l’irritation que je peux susciter.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cordialement.
Mais si la discussion ne peut pas être prolongée à cause de cet argument, en effet, c'était sans doute une « fausse » question, inutile. Et elle pourrait être close en effet, sans conséquence négative.
1) oui tout nombre réel a une écriture décimale.
2) et 3) Non l'écriture d'un nombre n'est pas un nombre c'est sa représentation. De la même manière ornithorynque n'est pas un ornithorynque.
Merci d’avance aux administrateurs.
Je reviens dès que possible.