Éléments nilpotents de $M_n(A)$

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Bonjour tout le monde. Besoin de clarification SVP ! Merci beaucoup.

Pour un anneau commutatif $R$, l'ensemble des éléments nilpotents forment un idéal appelé nilradical de $R$.

Pour un anneau non commutatif, est-ce qu'on a la même chose ? Est-ce que l'ensemble des éléments nilpotents forment un idéal ?

Par exemple pour $R=M_n(A)$, $A$ un anneau quelconque. Est-ce que l'ensemble des éléments nilpotents de $R$ n'est jamais un idéal. (Si oui, pourquoi ?)

Héhéhé

Ce n'est pas stable par addition.

Georges Abitbol

Ah oui, tiens ! On peut même fabriquer des racines de l'unité qui sont sommes de nilpotents.