Gronwall à deux variables

Fulgrim

Bonjour,

J'ai l'égalité, pour $\phi$ une fonction continue à deux variables (pas nécessairement positive)

$$ I(t) :=\phi(t,t) + \int_0^t \phi(s,t)ds + \int_0^t \phi(t,s)ds + \int_0^t \int_0^t \phi(s,r)dr ds =0, $$ et j'aimerais en déduire que $\phi(t,t)=0$.

Si je fais l'analogie avec le cas d'une seule variable, ça donne $$\phi(t) = - \int_0^t \phi(s)ds,$$ ce qui implique bien que $\phi(t)=0$ car on peut résoudre cette équation différentielle.

Quelqu'un saurait-il comment attaquer ?

PS. Ce n'est pas vraiment un Grönwall car on a le signe $-$, mais la situation m'y a fait penser, il y a peut-être quelque chose à en tirer.

Fulgrim

Je viens de penser à cette idée :

Si je passe l'égalité du cas d'une seule variable à la valeur absolue, j'obtiens $$|\phi(t)| \leq \int_0^t |\phi(s)|ds,$$ ce qui permet bien de conclure avec Gronwall.

Si je fais de même avec le cas de deux variables j'obtiens $$ |\phi(t,t)| \leq \int_0^t |\phi(s,t)|ds + \int_0^t |\phi(t,s)|ds + \int_0^t \int_0^t |\phi(s,r)| dr ds. $$

Du coup ma question devient : existe-t-il des lemmes de Gronwall pour fonctions à plusieurs variables ?

EDIT. Oui, ici : https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-011-3562-7_13

Vu que je me suis répondu à moi-même, si les admins le veulent ils peuvent supprimer le fil. Sinon je le laisse au cas où un jour quelqu'un se poserait aussi la question !

Bibix

Cela me paraît faux. En effet, si on définit $F \in C^{\infty}$ tel que $F(0) = 0$, $F(1) \neq 0$ et $F'(x) + F(x) = 0$ pour tout $x \in ]1, +\infty[$, et on définit $G \in C^{\infty}$ tel que $G(x) = 0$ pour tout $x \in ]-\infty, 2]$ et $G'(x) \neq 0$ pour tout $x \in ]2, +\infty[$, alors $\phi(s,t) := F'(s) G'(t)$ est continue, $\phi(t,t) \neq 0$ pour $t \in ]2, +\infty[$ et :

$$\phi(t,t) + \int_0^t \phi(s,t) ds + \int_0^t \phi(t,s)ds + \int_0^t \int_0^t \phi(s,r) dr ds = (F'(t) + F(t))(G'(t) + G(t)) = 0$$

Fulgrim

C'est vrai ça ne marche pas, ma condition n'est pas suffisante pour appliquer Gronwall. Je vais continuer d'y réfléchir, merci !