Domaines liés à RH

Azoth

J'avais posté récemment une question sur ce forum, qui était en gros "quel livre pourrait mettre quelqu'un a jour sur les avancées concernant l'hypothèse de Riemann".

Et on m'avait fourni un livre résumant des approches qui relevaient purement de la théorie analytique des nombres. Et je dois dire que j'ai été relativement déçu, car je trouvais que c'était des approches vraiment limitée (dans le cadre de la théorie analytique des nombres).
Connaissant les fonctions L de Dirichlet, etc. je me suis naturellement demandé si il n'y avait pas d'autres approches qui concernent des généralisations de RH qui seraient peut-être plus simples. Et j'ai naturellement pensé que le programme de Langlands et donc des approches pouvant relever de l'analyse harmonique, ou de la théorie des représentations, donc des approches beaucoup plus algébriques existaient. C'est en cela que j'ai été déçu, car je m'attendais à un éventail d'approches relevant de plusieurs domaines, mais au final, cela se cantonnait à la théorie analytique des nombres.

N'étant pas expert du domaine, et n'ayant pas d'expert sous la main, je demande donc ici, si quelqu'un sait s'il est pertinent d'aborder RH via le programme de Langlands, ou via des tentatives plus algébriques, ou si il n'y a rien de pertinent à ce sujet. Et plus généralement, je demande si quelqu'un connait des connexions de manière générale (avec RH ou des généralisations) en lien avec des domaines des mathématiques en dehors du simple cadre de la théorie analytique (et probabiliste) des nombres.

Merci, de vos réponses et de vos indications.

Bibix

Je connais cette généralisation qui tente d'exploiter des fonctions L automorphes. Mais in fine, il y aura toujours un lien avec la TAN et les nombres premiers. Quand à estimer si une approche est pertinente ou non, tant qu'il n'y a pas de preuve de RH... .

Poirot

Je ne vois pas trop en quoi Langlands ou la théorie des représentations permettraient de s'approcher de RH. Ce genre de méthode sert plutôt à établir des symétries, c'est-à-dire des équations fonctionnelles de fonctions $L$. Je peux quand même te donner quelques mots-clés qui te permettront de chercher des approches différentes de RH que l'approche "brute" de la théorie analytique des nombres.

Tout d'abord, il existe des caractérisations de RH en termes d'analyse fonctionnelle, l'archétype étant le critère de Beurling-Nyman (voir aussi celui de Báez-Duarte) qui dit que RH est équivalente à la densité d'une certaine famille de fonctions dans $L^2$.

Il y a également un lien inattendu, découvert par Montgomery, entre les propriétés statistiques des zéros de la fonction $\zeta$ et la distribution des valeurs propres de matrices aléatoires. Il y a eu des travaux importants là-dessus par beaucoup d'auteurs, notamment Keating et Snaith.

Ensuite, on sait que l'analogue de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis est vrai, grâce aux travaux profonds de Deligne qui a résolu les conjectures de Weil. Il existe une piste pour RH dont l'idée sous-jacente est de réussir à définir un "corps à un élément" $\mathbb F_1$ tel que la fonction $\zeta$ de Riemann soit presque la fonction zêta de la droite projective (ou d'une autre variété) sur $\mathbb F_1$. Je ne sais pas qui est le premier à avoir considéré sérieusement cette idée, mais je sais au moins qu'Alain Connes a travaillé dessus.

Enfin, je sais qu'il existe également une approche cherchant à interpréter les zéros de $z \mapsto \zeta\left(\frac{1}{2} + iz\right)$ comme les valeurs propres d'un opérateur symétrique sur un espace de Hilbert remontant au moins à... Hilbert. Cela donnerait que lesdits zéros sont réels, ce qui est exactement RH.

Boécien

Il y a aussi des recherches comme celles de Michel Lapidus.

Poirot

Il me semble que ça se rapproche du dernier point que je cite.

noix de totos

Comme le souligne Poirot, il y a énormément d'interconnexion entre l'hypothèse de Riemann et d'autres problèmes dans diverses branches des mathématiques.

En voici deux, parmi d'autres : 

(i) Dans https://zbmath.org/1190.15024, les auteurs établissent une condition suffisante pour HR, en terme d'une estimation de la plus petite valeur singulière d'une certaine matrice triangulaire. Plus précisément, toute minoration $\sigma_n \gg n^{-1/2-\varepsilon}$ de cette plus petite valeur singulière entraîne HR. L'intérêt de cette estimation est qu'heuristiquement, il est démontré dans https://zbmath.org/1152.60042 et https://zbmath.org/1139.15015 qu'une matrice aléatoire de taille $n$ a une forte probabilité de vérifier $\sigma_n \asymp n^{-1/2}$. 

(ii) Une curiosité : HR est équivalente à
$$\int_0^\infty \int_{1/2}^\infty \frac{1-12y^2}{(1+4y^2)^3} \log \left| \zeta(x+iy) \right| \, \textrm{d}x \, \textrm{d}y = \frac{\pi(3 - \gamma)}{32}.$$

Math Coss

Formidable ! C'est donc @Fin de partie qui va démontrer l'hypothèse de Riemann !

Boécien

Il faut trouver le bon changement de variable.

raoul.S

Et enchaîner avec 36 IPP...

noix de totos

Bon courage à lui !