Quatre fantômes se déplacent dans \(\mathbb{R}^3\)...

Antrcy

Bonjour à tou.te.s !
En vagabondant un peu sur le net je suis tombé sur un TD de géométrie affine qui présentait un problème intéressant. En voici l'énoncé :

Quatre fantômes se déplacent dans \(\mathbb{R}^3\) à des vitesses constantes en quatre directions différentes. Cinq rencontres entre ces fantômes ont déjà eu lieu à cinq endroits différents. Montrer que la sixième est inévitable.

J'ai essayé de réécrire l'énoncé en considérant des intersections de droites dans \(\mathbb{R}^4\), sans grand succès. J'ai aussi remarqué que 4 droites s'intersectent en 6 points différents si ces dernières sont coplanaires et non parallèles deux à deux, mais j'ai du mal à voir comment cette condition peut découler d'une dimension temporelle et de l'existence de 5 points d'intersection.
J'ai longtemps cherché mais aucune intuition ne me vient. J'apprécierais que quelqu'un me donne un petit coup de pouce dans la bonne direction. 

lourrran

Pour que tout le monde cherche dans la même direction, je vais introduire des notations.
On a 4 fantômes $A,B,C,D$ , et donc 4 droites $D_A, D_B, D_C, D_D$
Sur les $6$ rencontres possibles $AB, AC, AD, BC, BD, CD$, $5$ ont déjà eu lieu, supposons que la rencontre manquante soit $CD$ : $C$ et $D$ ne se sont pas (encore) rencontrés.
$A$ et $B$ se sont rencontrés, donc les droites $D_A$ et $D_B$ sont coplanaires.
$C$ a rencontré $A$ et $B$, en un point autre que le point d'intersection de $D_A$ et $D_B$ donc la droite $D_C$ est dans le plan défini par $D_A$ et $D_B$.
Et idem, la droite $D_D$ est dans ce plan.
Les $4$ droites sont coplanaires, c'est acquis.
On va considérer que dans ce plan, la direction $D_C$ est l'axe des abscisses, pour se fixer les idées et avoir un support concret.
On doit montrer que la droite $D_D$ n'est pas parallèle à cet axe. Du coup, ces 2 droites vont se croiser.
Et on doit montrer que les fantômes vont arriver au point d'intersection en même temps.
Pour l'instant, j'oublie le côté 'droites non parallèles', et on a envie de tout projeter sur cet axe $D_C$ : $x_A(t)$ , $x_B(t)$, $x_C(t)$ et $x_D(t)$ sont 4 fonctions affines, on sait qu'il y a 5 réels $t_{AB}$, $t_{AC}$ .. tels que $x_A(t_{AB})=x_B(t_{AB})$ etc

A mon avis, on n'est pas loin du but. Reste le cas où ces droites $D_C$ et $D_D$ seraient parallèles.