Médiane et sa circumtrace : propriétés

gipsyc

Bonjour
Ci-dessous une propriété que j'ignorais, qui m'est apparue au décours de deux exercices dont je reprends ci-après.
Une simple homothétie (ratio -2) de centre G entre le triangle médial (et son cercle d'Euler) et le Δ ABC (et son cercle circonscrit) ?

Les deux exercices en question (sous forme de solution)

Une propriété plus profonde associée ?
Cordialement,
Jean-Pol Coulon

Annexe :
quelques propriétés algébriques liées à la A-médiane AMa = d

d² = ½ (b² + c² - a²/2) = p(p-a) - (p-b)(p-c) + a²/2
d = ¼ √(b² + c² - a²/2)
AMbc = (b²+c²-a²)/4d
MbcG = (a² + b² + c²)/12d
AMbc + MbcG  = ⅔︎ d
GMa = ⅓︎ d
Ma'Ma = a²/4d
MaG/GMbc = 4 d² / (a² + b² + c²) = 2 - 3a² / (a² + b² + c²)
Ma'Ma/GMbc = 3a²/(a² + b² + c²)