Probabilité - support ou image d'une variable aléatoire

Ch4rstz

Bonjour
J'ai, défini dans mon premier cours de proba, l'image d'une variable aléatoire X comme l'ensemble des X(w) où w parcourt l'ensemble Oméga l'univers de probabilité. Mais maintenant mon nouveau professeur semble avoir substitué cette notion à celle de support. J'ai d'abord cru que c'était la même chose mais il a spécifié support(X) = {w de oméga | P(X = w) > 0}. Ce qui me semble légèrement différent et un exemple très basique me le montre. Cependant, la seule référence qui me confirme cette distinction c'est ChatGPT c'est déjà bien mais je sais qu'il peut dire vraiment des bêtises notamment sur des sujets mathématiques.
Est-ce que quelqu'un peut me confirmer cela ? De plus, dans ce cas ce qui caractérise la loi d'une variable aléatoire discrète c'est son image et une fonction de poids ou son support et une fonction de poids ? La première est correcte et la seconde me semble aussi correcte. Les deux sont-elles correctes simultanément ? J'aurais dit que oui parce que le support est inclus dans l'image et que l'information du support nous suffit à savoir comment traiter l'image (ce sont les éléments du support plus des éléments de probas nulles éventuellement mais donc négligeables pour la loi dans tout les cas) et l'information de l'image donne bien sur celle du support. 
Merci d'avance !

guiguiche

Bonjour
L'univers-image est une notion ensembliste.
Le support est une notion probabiliste.
Il y a parfois des différences entre les deux.

JLapin

Tout est correct à mon avis et le plus sage est de bien lire l'énoncé qui te sera proposé pour éventuellement s'adapter.
Dans le doute, applique les formules et simplifie les $P(A)$ lorsque $A$ est un événement de probabilité nulle.

Ch4rstz

Merci pour vos réponses ! Effectivement, comme je viens de voir le support d'une variable à densité n'est pas du tout vide parce que la définition diffère donc la notion de support dépend déjà du type de variable aléatoire que je manipule. En plus, il semble que dans le cas à densité il ne soit pas unique  comme cela ne change rien que je ferme ou non l'intervalle sur lequel est défini l'indicatrice de la densité. Par exemple, pour une loi uniforme sur [0;1] si je ne me trompe pas cela peut-être [0;1] ou ]0;1[ ou [0;1[ ou ]0;1].

guiguiche

Si on appelle $X$ le rang du premier pile (s'il existe) lors du séquence infinie de lancers d'une pièce non truquée (et on considère que $X$ prend la valeur $0$ lorsque la suite de résultats ne donne que des côtés face) alors : $X(\Omega)=\N$ mais le support de $X$ est bien $\N^*$.

Héhéhé

Il y a un problème avec ta définition non ? C'est plutôt $\operatorname{supp} X = \{x \in X(\Omega) \mid \mathbb P(X=x) > 0\}$ non ?

En fait c'est très utile cette notion de support car il y a plein de situations où on veut dire que deux variables $X$ et $Y$ suivent la même loi même si $X(\Omega) \neq Y(\Omega)$. Par exemple, imaginons que $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $1/2$. On a alors $Y(\Omega) = \mathbb N^*$ et $\mathbb P(Y=n) = (1/2)^n$ pour tout $n \in \mathbb N^*$.

Maintenant considérons une série de lancers d'une pièce équilibrée indépendants, on s'intéresse au rang $X \in \mathbb N^*$ du premier lancer où on obtient Pile. Alors on a $\mathbb P(X=n) = (1/2)^n = \mathbb P(Y=n) $ pour tout $n \in \mathbb N^*$. Mais la situation où on ne ferait que des Faces est possible (ce n'est pas l'évènement impossible), posons alors $X=-1$ dans ce cas (valeur arbitraire, on pourrait aussi poser $X=+\infty$ par exemple).

Mais alors $X(\Omega) = \mathbb N^* \cup \{-1\} \neq Y(\Omega)$. Si on s'en tient strictement à l'idée (mauvaise) que la loi d'une variable aléatoire discrète $Z$ c'est la donnée de ses valeurs $Z(\Omega)$ et des probabilités $\mathbb P(Z=z)$ pour $z \in Z(\Omega)$,  on ne peut pas dire que $X$ a la même loi que $Y$...

Mais ici, on a $\mathbb P(X=-1) = 0$ donc le support de $X$ est bien $\mathbb N^*$. On a alors $\mathbb P(X=n) = (1/2)^n$ pour tout $n \in \operatorname{supp} X$ ce qui permet d'affirmer que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $1/2$ (même si $X(\Omega) \neq \mathbb N^*$).

aléa

Tant qu'on est dans un cadre de variables à valeurs dans un ensemble dénombrable, on est un peu dans de l'enc... de mouches, si vous me passez l'expression.

Plus généralement, on définit le support d'une variable à valeurs dans \(\mathbb{R}^d\) comme le plus petit fermé de mesure pleine (son existence est un théorème, pas complètement trivial).

john_john

L'ensemble-image d'un couple de v.a. discrètes n'est pas le produit cartésien des images des deux v.a., mais il est plus agréable de se placer dans le produit cartésien afin de démontrer la linéarité de l'espérance. Or, le fait de se placer dans le produit cartésien peut introduire des épreuves de probabilité nulle. Dans ce contexte, un support strictement inclus dans l'image retenue n'apporte que des bénéfices.

Positif

Salut l'auteur,

il faut comprendre que les dénominations en maths ne sont pas du tout mais pas du tout universelle. C'est l'auteur qui les définit, il y a des conventions, mais évidemment cela peut s'écarter d'un auteur à l'autre.

Par exemple : nous on parle de matrice strictement définie positive, mais en anglais on peut rencontrer "positive" en ommettant le "definite", la loi géométrique sur $\mathbf{N}$ et pas $\mathbf{N}^*$  ... C'est pour ça qu'il faut toujours lire l'introduction en étant bien réveillé.