Résolution d'un système de 8 équations non linéaires à 6 inconnus

crowsen

Je cherche à résoudre le système suivant.
$a = \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3$
$b = \alpha_1 \alpha_2 \beta_3$
$c = \alpha_1 \beta_2 \alpha_3$
$d = \alpha_1 \beta_2 \beta_3$
$e = \beta_1 \alpha_2 \alpha_3$
$f = \beta_1 \alpha_2 \beta_3$
$g = \beta_1 \beta_2 \alpha_3$
$h = \beta_1 \beta_2 \beta_3$.
Où $a, b, c, d, e, f, g, h$ sont des paramètres connus et $\alpha_{1,2,3}, \beta_{1,2,3}$ sont les 6 inconnus.

J'ai fait une première tentative brute en remplaçant étape par étape chaque variable, mais ça ne m'a mené à rien. Je me demande donc s'il n'y aurait pas des techniques plus simples ou une piste évidente que je pourrais suivre ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

9 équations pour 6 inconnues, il y a comme un problème !!!

Alain24

Premier cas $\alpha_{1,2}\neq 0$ et $\beta_{1,2}\neq 0$ : $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}=\frac{\alpha_3}{\beta_3}$ cela fait $4$ équations linéaires homogènes à $2$ inconnues. Pour que ce système admette une ou des solutions il faut que les paramètres $a,b,c,d,e,f,g,h$ vérifient les égalités  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}$. Il faut de plus supposer qu'inconnues et paramètres appartiennent à un corps !

Je reprend depuis le début

Premier cas : les paramètres ne vérifient pas $b,d,f,h\neq 0$ et $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{g}{h}$ alors il n'y a pas de solution .

Deuxième cas : $b=d=f=h=0$

Math Coss

Avec un coup de logarithme, on obtien(drai)t un brave système linéaire.

Alain24

@Math Coss oui mais on obtient "que" les solutions positives et non nulles.

Alain24

Voici un plan d’élimination algébrique.

Premier cas $b=d=f=h=0$ on a 4 produits de 3 facteurs nuls.
.....
Deuxième cas (en prenant les inverses des rapports) $a=c=e=g=0$ on 4 produits de 3 facteurs nuls.
.....
Troisième cas $a=b=c=d=e=f=g=h=0$ on a 8 produits de 3 facteurs nuls.
.....
Quatrième cas $a,b,c,d,f,g,h\neq 0$ alors il faut que $a/b=c/d=e/f=g/h$ et alors l'ensemble des $(\alpha_3,\beta_3)$ est une droite qui passe par
$(0,\dots,0)$ (relation de proportionnalité). On a éliminé deux variables.
.....

Alain24

@Math Coss Avec une bonne détermination du log complexe on a bien un système linéaire à 8 inconnues 6 équations : il faut aussi discuter de relations entre les paramètres!

Alain24

@Math Coss Pour les signes des variables solutions on peut commencer par résoudre un système  linéaire dans $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\times)$ : la classe de $1$ est le signe +,  la classe de $2$ est le signe $-$, la classe de $0$ est $0$ et une fois l'équation aux signes résolue prendre les logarithmes des produits!