Intégrale et constante de Catalan
Comment feriez-vous pour prouver que :
\begin{align}\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-xy)\sqrt{x}\sqrt{1-y}}dxdy=8\text{G}\quad?\end{align}
(j'ai une preuve mais il y a peut-être plus simple)\begin{align}\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(1-xy)\sqrt{x}\sqrt{1-y}}dxdy=8\text{G}\quad?\end{align}
PS:
Je ne sais pas pourquoi le code $\LaTeX$ n'est pas correctement interprété.
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Réponses
Je me suis lancé avec l'espoir de trouver
J'ai posé u égal à xy,
Et v égal à la racine de u,
Mais je me suis retrouvé face à un mur,
$4\int_0^1 \frac{\arccos v}{1-v^2}\, dv $
Une intégrale complexe, mystérieuse,
Qui me semble bien obscure,
Et que je ne sais comment rendre harmonieuse.
A moitié endormi, Je ne trouve pas la bonne voie.
Et pourtant, il est naturel de poser,
De tels changements pour avancer,
En acceptant de ne pas tout savoir,
Je savoure la beauté de l'instant présent,
Avec la certitude que G se cache dans l'intégrale de FDP.
&\overset{u=\sqrt{x},v=\sqrt{1-y}}=4\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1-u^2(1-v^2)}dudv\\
&=4\int_0^1 \left[\frac{\text{arctanh}\left(u\sqrt{1-v^2}\right)}{\sqrt{1-v^2}}\right]_{u=0}^{u=1}dv=4\int_0^1 \frac{\text{arctanh}\left(\sqrt{1-v^2}\right)}{\sqrt{1-v^2}}dv\\
&\overset{z=\frac{1-\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}}{1+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}}}=-8\int_0^1 \frac{\ln z}{1+z^2}dz=\boxed{8\text{G}}
\end{align}