Équation de type $a^2-b^2=2n+1$
Bonjour, pour ce type d'équations au lycée on apprend à la résoudre en factorisant a^2-b^2 par (a-b)(a+b) pour trouver les solutions, j'ai une autre façon de trouver les solutions et je ne sais pas si elle est plus rapide la voici avec un exemple.
a^2-b^2=39- on sait que tout nombre impair est la différence de 2 carrés consécutifs, on remplace a par b+1 et on trouve 39=2b+1, b=19 et a=20 comme a et b sont mis au carré on n'oublie pas les solutions négatives.
Pour vérifier s'il y a d'autres couples (a,b) entiers on utilise cette formule : (a-b)(2b+(a-b)) comme 39 est impair il faut que (a-b) le soit aussi on a testé avec 1 on teste avec 3, on a 39=3(2b+3) on trouve b=5 et a=8. Pour (a-b)=5 les solutions ne sont pas entières on met donc fin à la recherche et on a trouvé toute les solutions. Après pour les équations de type a^2-b^2=2n, (a-b) doit être pair.
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Réponses
Je choisi que a-b=1/2
J'ai donc 1/2(2b+1/2) = 14/3
Je me retrouve avec b= 53/12 et a= 59/12
Puisque a=53/12+1/2
Ainsi en changeant la différence entre a et b je peux trouver une infinité de solutions à l'équation.
Je ne sais pas comment cela est enseigné pour trouver des solutions dans Z (car je n'ai jamais mis les pieds dans un lycée de ma vie et je ne pense pas que cela soit enseigné au collège) mais par contre un programme est très simple à écrire avec une boucle si on utilise les asymptotes de l'hyperbole car la boucle sera conditionnée par un maximum dépendant de l'une des asymptotes (notre hyperbole étant exprimée sous sa forme réduite, le programme est d'autant plus facile qu'aucune réduction vient se surajouter à l'écriture)
1 ère solution : 336=2(2b+2), b=83 et a=85
2 ème solution : 336= 4(2b+4), b =40 et a =44
3 ème solution : 336= 6(2b+6),b=25 et a = 31
4 ème solution : 336= 8(2b+8),b=17 et a = 25
5 ème solution : 336= 10(2b+10),b= 11,8 et a = 21,8.
b n'appartient plus à Z j'ai donc 4 couples de solutions (a,b) qui appartienent à Z pour l'équation a^2-b^2=336.
Solution : x = 19, y = 5
Solution : x = 20, y = 8
Solution : x = 25, y = 17
Solution : x = 31, y = 25
Solution : x = 44, y = 40
Solution : x = 85, y = 83
il existe $s \in \mathbb{Q}^*$, $\quad\left\{\begin{array}{l}x-y=\dfrac{r}{s} \\ x+y=s\end{array}\right.$
donc $\ \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{s^2+r}{2 s} \\ y=\dfrac{s^2-r}{2 s}\end{array}\right.$