Exercice d'analyse complexe

jean-éric

Bonjour
J'aurai besoin d'une aide concernant l'exercice 146 du document joint.

Il s'agit de la question 3 particulièrement. L'existence du $\rho$ donné me pose problème. J'arrive à montrer que le nombre de zéros et de pôles est fini dans une couronne compacte du type $\Omega_r$, mais le fait que la couronne $\Omega_\rho$ ne reste pas dans la couronne initiale me pose problème.
J'ai dû rater un truc mais quoi ???
Jean-éric

john_john

Bonjour, jean-éric,
comme $k\varrho$ doit être inférieur ou égal à $k^2r$, la couronne cherchée est de toute façon incluse dans un compact.

jean-éric

@john_john
Oui après réflexion j'ai écrit cela :

Soit $f\in\mathcal{G}$, Soit $Z$ l'ensemble des zéros de $f$ dans $\mathbb{C}^\star$. $Z$ est un ensemble fermé et discret de $\C^\star$, fermé car image réciproque de $0$ par $f$, et discret à cause du principe des zéros isolés.

Ainsi $Z\cap \Omega_r$ est un ensemble fini, car $Z\cap \Omega_r$ est un compact en tant que fermé dans un compact.

Alors l'ensemble des zéros et des pôles de $f$ dans $\Omega_r$ est fini. 

Considérons l'ensemble des couronnes $C= \bigcup\limits_{r\leq \rho\leq \left|k\right| r}\Omega_\rho$. Toutes ces couronnes sont incluses dans la couronne $\Omega_\rho\cup \Omega_{\left|k\right|r}$ qui possède elle aussi, un [nombre] fini de zéros et de pôles de $f$. 

Il existe donc une couronne au moins de $C$ qui ne possède ni pôle, ni zéro de $f$ sur son contour. Ce qui prouve que $\rho$ existe.

john_john

Oui ; ça marche (à noter une co(q)uille : au lieu de $\Omega_\rho\cup \Omega_{\left|k\right|r}$,  lire $\Omega_r\cup \Omega_{\left|k\right|r}$, me semble-t-il).

Considérons l'ensemble des couronnes $C= \bigcup\limits_{r\leq \rho\leq \left|k\right| r}\Omega_\rho$. Toutes ces couronnes sont incluses dans la couronne $\Omega_\rho\cup \Omega_{\left|k\right|r}$ qui possède elle aussi, un fini de zéros et de pôles de $f$. 

jean-éric

Oui, encore merci !

john_john

De rien, jean-éric !