Agreg interne partie III (suite)
J'ouvre une nouvelle discussion concernant le sujet d'Agreg interne 2023 (voir le lien ci-dessus).
Essentiellement, la raison de vouloir ouvrir un nouveau fil est que le précédent est anormalement long et on risque de s'y perdre. Ensuite j'ai quelques questions (bonnes ou fausses) dont j'aimerais avoir la réponse de ceux qui s'y connaissent bien mieux que moi en algèbre.
Je rappelle que le sujet concerne les entiers p-adiques.
Essentiellement, la raison de vouloir ouvrir un nouveau fil est que le précédent est anormalement long et on risque de s'y perdre. Ensuite j'ai quelques questions (bonnes ou fausses) dont j'aimerais avoir la réponse de ceux qui s'y connaissent bien mieux que moi en algèbre.
Je rappelle que le sujet concerne les entiers p-adiques.
Si on regarde la partie 3, qui concerne les termes nuls d'une suite récurrente linéaire, il n'y a rien de bien méchant à répondre aux questions.
J'ai voulu répondre à 55. mais sans admettre le résultat donné en italique. Je pense y arriver, ce n'est pas très facile,
puisqu'il faut des résultats intermédiaires qui ne sont pas donnés dans le sujet ($\theta(\N) $ est dense $\theta(\Z),$ $Z_p$ est compact... ).
Mais mon problème pour l'instant c'est ce qui est admis dans l'énoncé (en italique Q54). En effet, si j'admets cela et que je considère la suite de fonctions $f_j$ de $\Z$ vers $\Z$ définie par $f_j(2 n)=1, f_j(2 n+ 1)=0, \forall n \in \N $ (ou $n\in \Z,$ peu importe).
On pose $S(n)=\sum_{j\geq 0} \dfrac{p ^j f_j(n)}{j!}.$
C'est clair que $S(2 n+1)=0, \forall n\in \N$ et d'après ce qu'il est admis, $S$ s'annulant une infinité de fois, s'annule pour tout entier naturel $n: $ $S(n)= 0,\ \forall n\in \N.$
Par conséquent pour les entiers pairs, on obtient $S( 2n )= \sum_{j\geq 0} \dfrac{p^j }{j!}=0$ C'est-à-dire qu'on a $e^p=0.$ Il y a un bug quelque part ?
C'est clair que $S(2 n+1)=0, \forall n\in \N$ et d'après ce qu'il est admis, $S$ s'annulant une infinité de fois, s'annule pour tout entier naturel $n: $ $S(n)= 0,\ \forall n\in \N.$
Par conséquent pour les entiers pairs, on obtient $S( 2n )= \sum_{j\geq 0} \dfrac{p^j }{j!}=0$ C'est-à-dire qu'on a $e^p=0.$ Il y a un bug quelque part ?
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Réponses
$p$ est premier alors $a_0$ est inversible dans $\Z/p\Z$ et même $a_n$ est inversible dans $\Z/p^{n+1} \Z.$
(en effet $a_n=a_0 [p]$ donc $a_n$ est premier avec $p$ et donc avec $p^{n+1}.$ )
Alors pour tout $n\in \N$ on pose $b_n\in [[0, p^{n+1}-1]]$ tel que $a_n b_n=1 [p^{n+1}]$
$a_{n-1}$ dans $Z/p^{n}\Z$) ce qui donne bien $b_n=b_{n-1} [p^{n}] $ (et cette récurrence justifie l'appartenance de $b$ à $Z_p$ )
J'espère que tu es d'accord.
C'est bien $e^5=e_5(5)=e_5(1+1+1+1+1)=(e_5(1))^5$.
(Q57)
Sauf que $v_5(1)=0 \leq 1/4$, donc $e_5(1)$ n'est pas défini dans $\Q_5$, en fait il n'existe pas, car je suppose que la série diverge dans $\Q_5$ (à confirmer).
En fait, ce que j'ai écrit n'est pas une démonstration, c'est juste une constatation. Mais il faudrait définir ce que tu entends par "on n'a pas le droit".
Mais sur le fond, je suis d'accord, $e(1)^5$ est défini, mais pas $e(1)$, de la même façon que $i^2$ est défini dans $\R$, mais pas $i$ (même si la situation est un peu différente car la série $e(1)$ doit diverger), et cela n'est pas une démonstration que $-1 \not \in \R$ !
Dans tous les cas, ce n'est pas une démonstration que $e^5$ n'est pas entier.
Il vaut mieux rester avec l'écriture $e_5(5)$. Retour à la case départ pour savoir si ce nombre est entier, ou même seulement rationnel. Intéressant.
EDIT : On voit facilement que la série $e_p(1)$ diverge pour tout $p$.
Donc $e_5(5)$ est rationnel mais pas entier.
Et je pense que $e_p(p)$ est toujours rationnel (pour $p$ premier impair).