Un rapport d'aires
Bonjour à tous
Une parabole est entièrement déterminée par deux tangentes sécantes et leurs points de contact.
Je rappelle pour mémoire ici ce fil https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/1681042#Comment_1681042, où pappus a fait le lien entre la géométrie affine et les éléments euclidiens de la figure.
Une propriété de la parabole : en toute circonstance, les aires des domaines déterminés par la parabole dans le triangle $OAB$ sont dans le rapport 2. Ce n'est pas très difficile à montrer.
Une propriété de la parabole : en toute circonstance, les aires des domaines déterminés par la parabole dans le triangle $OAB$ sont dans le rapport 2. Ce n'est pas très difficile à montrer.
Une question venue d'"ailleurs" se pose : existe-t-il d'autres courbes ayant la même propriété (un rapport d'aires constant) ?
J'ai l'intime conviction que seules, les paraboles conviennent.
J'ai l'intime conviction que seules, les paraboles conviennent.
Encore faut-il le prouver (via des équations différentielles ?). J'en suis incapable.
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Réponses
Je vais y réfléchir mais je pense aussi comme toi.
Amitiés
pappus
Elle est due à Archimède qui visiblement s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose, du moins dans notre beau pays.
Pour nous consoler, il nous reste, peut-être, celles de l'Evangile!
Amicalement
pappus
Je ne suis pas un spécialiste des équations différentielles ni dans leur formation ni dans leur résolution mais ta question m'a intéressé et je me suis décarcassé un peu.
La figure ci-dessous montre le graphe d'une fonction f qui répond à tes desiderata.
La tangente en M a pour équation:
où F est une primitive de f.
Je te laisse le plaisir de l'écrire et éventuellement de la résoudre.
pappus
Et merci pour ta réponse. Je suis tombé sur :
Les fonctions $F$ de la forme $F(x)=kx^3$ vérifient bien cette équation différentielle.
Pour la résoudre, hum, j'ai des doutes.
Merci encore !
Amitiés.