Modèle de Poincaré

pappus

Bonjour à tous

Je me donne deux points A et B dans le disque de Poincaré.

Où doit se trouver le point C dans le disque pour qu'il existe un cercle hyperbolique circonscrit au triplet (A,B,C)?

Amicalement

pappus

biguine_equation

Bonjour Pappus,

si la droite euclidienne passant par A et B ne passe pas par le centre du disque, C doit être l’inverse de A par rapport au disque donc C est sur la droite passant A et le centre du disque. L’intersection du cercle contenant A, B, C avec le disque est une droite hyperbolique.

pappus

Mon cher Biguine_equation
J'avoue franchement n'avoir pas compris un traitre mot de ton raisonnement!
La région où doit se trouver le point C est une partie ouverte du disque de Poincaré dépendant des points A et B de façon symétrique.
Une figure exhibant cette région aurait été préférable!
Amicalement
pappus

scd

Bonjour

pappus

Merci scd
Pour le moment ta figure ne montre pas ce que je demande même si certains des objets qui y figurent peuvent participer à la définition de cette région.
Les figures sont certes importantes mais il est souvent nécessaire de les expliquer avec grand détail.

Personnellement c'est ce que je fais toujours avec les miennes!
Amicalement
pappus

pldx1

La différence symétrique des deux disques horicycles passant par $A$ et $B$.

pappus

Bonjour à tous.

C'est exact!

Ci-dessous la figure où l'arc rouge est la médiatrice de AB.
Amicalement
pappus

pappus

Bonjour à tous
Les points A et B étant donnés dans le disque de Poincaré, la région jaune est celle où doit se trouver le point C pour que l'orthocentre du triangle ABC existe.
Les hauteurs sont tracées en pointillé.
Cette figure ne me donne pas envie de faire le moindre calcul !
Amicalement
pappus

biguine_equation

Désolé pour mon premier message*. Je me remets péniblement à la géométrie hyperbolique. Si je traduis l’énoncé, on veut que le triplet (ABC) soit sur un même cercle hyperbolique, ce qui revient à placer le point  C de telle sorte que les médiatrices de [AB], [AC] et [BC] soient concourantes.

* qui fait honte à son auteur !

biguine_equation

Donc pour résumer : on a deux cercles intérieurs au disque et passant par A et B. Lorsque les centres hyperboliques de ces cercles tendent vers l’infini jusqu’à devenir tangents intérieurement au cercle-horizon, on a des horocycles. Ce ne sont plus des cercles au sens hyperbolique vu que leurs centres sont des points-limites donc extérieurs au disque. Mais ils ont encore l’apparence de braves cercles euclidiens.

Si le point C est à l’intérieur de l’intersection des deux horocycles passant par A et B, les médiatrices hyperboliques du triangle (ABC) sont parallèles. Elles sont concourantes si le point C est situé à l’extérieur de cette intersection…
Je ne connaissais pas cette notion d’horocycle. C’est vraiment un domaine fascinant !

pappus

Bonjour à tous

Bizarre, personne ne s'est inquiété de savoir comment j'ai tracé ma dernière figure sur le régionnement du disque de Poincaré pour l'existence de l'orthocentre!

Sans doute que ma figure se suffit à elle même!

Amicalement
pappus

scd

Bonjour Pappus
Je suis intervenu dans ce sujet mais les journées n'ont que 24 heures alors ok je suis immortel (ça on me bassine assez avec ça ) mais là je suis parti sur un autre trip mais n'empêche que j'ai laissé un lien sur ton sujet construction dans la rubrique "vie du forum et ses membres" et de ton astuce pour contourner le code latex ce qui incitera ceux qui ne viennent jamais sur tes sujets à venir car ils seront obligés de les lire pour voir ton astuce et donc aimer la géométrie