Triangle hyperbolique (au cas où)

scd

Bonjour
Suite au sujet ouvert parlant de géométrie hyperbolique par un membre ici.
N'étant pas certain d'avoir compris son sujet car déjà le latex ne fonctionne pas.
J'ouvre ce sujet qui peut être sera en rapport avec le sujet de ce membre.
Si ce n'est pas le cas ce sujet évitera de polluer l'autre sujet



Ci-dessous une écriture en coordonnées barycentriques (formule de base utilisée)

Rescassol

Bonjour,
$u,v,w$ devraient être symétriques en $b$ et $c$.
Cordialement,
Rescassol

scd

Bonjour Rescassol
Si tu essayes la formule elle fonctionne
"devraient être" n'a aucun sens si ça fonctionne
ça fait des années que je l'utilise (je ne l'ai pas sorti cette nuit).

Évidemment on a aussi deux autres formules,
une formule donnant (u,v,w) avec c et a et cos (beta)
une formule donnant (u,v,w) avec a et b et cos (gamma).

scd

NB : Évidemment j'ai une démonstration mais je ne vais pas l'écrire ici.
Tu devrais l'essayer sur un logiciel de géométrie dynamique Rescassol et faire varier A,B,C et le rayon r à ta guise pour voir que la formule fonctionne

Rescassol

Bonjour
Oui, après correction, mais il est plus simple de prendre:

u = (b^2+c^2-2*r^2)*a^2 - a^4
v = (b^2+r^2)*a^2 - (b^2-c^2)*(b^2-r^2)
w = (c^2+r^2)*a^2 - (c^2-b^2)*(c^2-r^2)

Cordialement,
Rescassol

scd

Merci d'avoir vérifié Rescassol
Ma formule n'est pas jolie (ça c'est le moins qu'on puisse dire certes) mais je l'avais recopiée telle quelle à la fin de ma démonstration pour passer à autre chose sans plus tarder

pldx1

Bonjour, $\def\Sa{S_{a}}   \def\Sb{S_{b}}   \def\Sc{S_{c}}$

Il me semble que Rescassol et scd avaient tort tous les deux. Rescassol avait tort parce que l'expression de scd est symétrique. Elle vaut: \[ O_{A}=\left(\begin{array}{c} a^{2}\Sa\\ b^{2}\Sb\\ c^{2}\Sc \end{array}\right)+r^{2}\left(\begin{array}{c} -a^{2}\\ \Sc\\ \Sb \end{array}\right) \] et ne fait que signaler l'évidence: $O_{A}$ est sur la médiatrice de $\left[B,C\right]$. Et sdc avait tort. Doublement. Une première fois parce qu'il prétendait que son expression n'est pas symétrique alors qu'elle l'est. Une deuxième fois parce qu'il n'avait pas poussé le calcul jusqu'à obtenir une expression qui soit visiblement symétrique.

Cordialement, Pierre.

PS. Le lecteur avisé aura remarqué que la première colonne décrit le centre circonscrit, tandis que la deuxième colonne décrit un point à l'infini.

Rescassol

Bonjour,

Pierre, c'est bien ce que je voulais dire par "après correction".
Mes expressions sont symétriques en $b,c$ et obtenues à partir de celles de Scd, qui le sont donc aussi, après correction.

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,

Scd, j'ai encore un problème avec ta figure.
Je joins la mienne et le fichier Géogébra correspondant (.txt à renommer en .ggb).
Sur cette figure, on peut faire varier $r$ (en bougeant $R$ sur $Ox$) ou $O$ sur la médiatrice de $[BC]$ (en vert).
Le rayon $r$ et la position du point $O$ sur cette médiatrice sont donc indépendants.
Quelle est la donnée qui m'a échappée ?

Cordialement,
Rescassol

scd

Bonjour Rescassol
Les trois coordonnées barycentriques de O dépendent de uniquement A,B,C,r 
L'outil géogébra que j'ai donc fabriqué prend trois points A,B,C et le nombre positif r pour arguments et m'affiche O

Je suis au travail là, tu sais moi je n'ai jamais le temps pour rien alors certes ok je suis  [*** Modéré, hors du sujet de la discussion. AD]
 

Rescassol

Bonjour;

> Les trois coordonnées barycentriques de O dépendent de uniquement A,B,C,r 
> L'outil géogébra que j'ai donc fabriqué prend trois points A,B,C et le nombre positif r pour arguments et m'affiche O

Justement, mon problème est là.
Sur ma figure, avec $A,B,C,r$ fixés, je peux faire bouger $O$ sur la médiatrice de $[BC]$.
Il me manque donc une condition pour obtenir ton point $O$.

Cordialement,
Rescassol

scd

Bonjour Rescassol
Il faut juste taper les trois coordonnées u,v,v et en oubliant pas que la somme de ces coordonnées n'est pas l'unité mais la valeur du déterminant de la matrice de passage de la base orthogonale vers la base (vAB,vAC)
bref taper la formule donnée au dessus de la formule des trois coordonnées dans mon image où dans ces trois formules là il y a l'aire à écrire et le cosinus alpha
Où est le problème  ?

Rescassol

Bonjour,

J'ai déjà fait ça.
Le problème est que tu ne dis pas comment construire géométriquement ton point $O$.
Je voudrais refaire tes calculs et pour cela, il faut savoir d'où sort ce point $O$ une fois qu'on a $A,B,C,r$.
Dit autrement, qu'a ton point $O$ de plus que n'importe quel point de la médiatrice de $[BC]$ ?

Cordialement,
Rescassol

scd

Bonjour Rescassol
Qu'a-t-il de plus ?
Il existe sur cette médiatrice un point (unique) U  extérieur au cercle telle qu'en construisant les deux tangentes menées par ce point (voir construction d'une tangente à une conique menée par un point et construction du point de contact ) et tel que la perpendiculaire à cette tangente au point de contact W coupe cette médiatrice au point O
Il se trouve que la distance UW vaut le produit du rayon de notre cercle de centre O portant B par la tangente de l'angle en O du triangle OWU et que la distance UO vaut:
>>>>>>>>>>>>>> Le produit du rayon par l'inverse du cosinus de cet angle.

Rescassol

Bonjour,

Ce n'est toujours pas très clair.
Pourrais tu mettre le point $U$ ( et pourquoi pas $W$ tant qu'on y est) sur ta figure ?

Cordialement,
Rescassol

pappus

Bonjour à tous
Moi aussi je serais intéressé par ce sujet s'il était clairement énoncé dès le début.
Il y a un déluge de figures mais pratiquement aucun texte écrit dans la langue de Molière les accompagnant!
Amicalement
pappus

scd

Bonjour
Ma démonstration donnant les coordonnées barycentriques que j'ai écrit fait cinq pages format A4
disons 4 pages alors qu'un pro (donc vous )normalement ça vous prend trois lignes à tout casser
J'exagère peut être mais pas trop car je sais que Rescassol en une ligne fait tout le sujet "construction" à côté 
Ma démonstration est algébrique et pas du tout géométrique 
Je me vois mal la recopier ici et  ce que vous voulez non plus
Sans compter que je la commence avec des coordonnées cartésiennes en utilisant le principe trigo dont j'ai parlé précédemment
C'est vraiment une horreur ma démo  

scd

NB : dans la formule des coordonnées barycentriques que j'ai placé 
On voit l'écriture de S l'aire du triangle ABC
ah oui mais s'il je l'ai écrit c'est parce qu'en cherchant les coordonnées barycentriques de O, j'ai vu que l'écriture de S^2  à la toute fin
et pas du tout parce que j'ai vu géométriquement parlant avec mes yeux le carré d'une aire 
Vous voulez la démo?
Sachant que vous avez confirmé que l'écriture des coordonnées était correcte (Rescassol+PLdx1) 
ça vous tente de lire cette horreur? (très franchement ok si vous y tenez vraiment mais alors ce soir)
Là je dois aller chez ma frangine [*** Modéré, hors du sujet de la discussion. AD]

pappus

Mon cher scd
Je ne demande pas ta démo certainement très intéressante mais un énoncé clair en bon français de la question que tu nous proposes!
Amicalement
pappus

scd

Bonjour Pappus
C'est vrai que je n'ai pas placé d'énoncé vu que je ne pensais pas cela utile vu mon propos au premier post
J'ai jugé prudent d'ouvrir ce sujet au lieu d'aller polluer le sujet de PLDX1 

Énoncé
Soit ABC un triangle [non plat]
r le rayon d'un cercle (c) de centre A
Écrire les coordonnées barycentriques (par rapport à ABC) du centre du cercle portant B et C et orthogonal à (c)

Rescassol

Bonjour
C'est bien là le problème:

Théorème.

Soit ABC un triangle [non plat]$ABC$

$r$ le rayon d'un cercle $\Gamma$ de centre $A$

Alors, il existe une infinité de cercles portant $B$ et $C$ et orthogonaux à $\Gamma$.

L'ensemble de leurs centres est la partie de la médiatrice de $[BC]$ hors de $\Gamma$

On les obtient en bougeant $O$ dans mon fichier Géogébra donné plus haut.

Le point $O$ donné par Scd est une des solutions.

Cordialement,

Rescassol

pappus

Bonjour à tous

A lire l'énoncé de scd, je ne vois pas en quoi ce serait le problème de géométrie hyperbolique annoncé par le titre de cette discussion: triangle hyperbolique!

Quant à ce que dit Rescassol, je reste un peu perplexe.

Etant donné un cercle (Γ) et deux points B et C, il n'existe en général qu'un seul cercle passant par B et C et orthogonal à (Γ), à savoir le cercle passant par les points B,C,B',C' où B' et C' sont les inverses respectifs des points B et C par rapport à (Γ)  sauf dans le cas particulier où les points B et C sont inverses par rapport à (Γ), i.e: B'=C et C'=B, auquel cas il y a une infinité de tels cercles.
Amicalement
pappus

Rescassol

Bonjour,

Bon, ça y est, j'ai trouvé. Il fallait me dire que sur ma figure plus haut, le cercle ne passait pas par $B$ et $C$.
Le problème est résolu, voilà le code en calcul barycentrique:

% Scd - 24 Février 2023 - Triangle hyperbolique (au cas où)

clc, clear all, close all

syms a b c S r real

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

%------------------------------------------------------------------------

syms u v w real

MedBC=MediatriceBary(B,C,a,b,c); % On trouve [c^2 - b^2, -a^2, a^2]
M=[a^2*(v-w); v*(c^2-b^2); w*(c^2-b^2)]; % Un point M de MedBC
NulBC=Factor(MedBC*M); % Vérification, on trouve 0

MB2=Factor(Distance2(M,B,a,b,c)); % Calcul de MB^2
MA2=Factor(Distance2(M,A,a,b,c)); % Calcul de MA^2
Eq=numden(Factor(MA2-MB2-r^2)); % Pythagore (pour Pappus)
Eq=collect(Eq,[v w]);
% On trouve:
Eq=(-a^2*c^2-a^2*r^2-b^2*c^2+b^2*r^2+c^4-c^2*r^2)*v + (a^2*b^2+a^2*r^2-b^4+b^2*c^2+b^2*r^2-c^2*r^2)*w;
% On peut donc prendre;
w=(-a^2*c^2-a^2*r^2-b^2*c^2+b^2*r^2+c^4-c^2*r^2);
v=-(a^2*b^2+a^2*r^2-b^4+b^2*c^2+b^2*r^2-c^2*r^2);

M=SimplifieBary([a^2*(v-w); v*(c^2-b^2); w*(c^2-b^2)]); 
% Ce qui est bien:
M=[-a^2*(a^2 - b^2 - c^2 + 2*r^2); a^2*b^2 + a^2*r^2 - b^4 + b^2*c^2 + b^2*r^2 - c^2*r^2; a^2*c^2 + a^2*r^2 + b^2*c^2 - b^2*r^2 - c^4 + c^2*r^2];
% On compare aux expressions trouvées avec les formules de Scd:
uu = (b^2+c^2-2*r^2)*a^2 - a^4;
vv = (b^2+r^2)*a^2 - (b^2-c^2)*(b^2-r^2);
ww = (c^2+r^2)*a^2 - (c^2-b^2)*(c^2-r^2);
Nul=FactorT(M-[uu; vv; ww]) % On trouve [0; 0; 0] donc c'est gagné.

Cordialement,
Rescassol

PS: Le point $M$ est le futur point $O$.

pappus

Mon cher Rescassol
Bon, tu as résolu le problème!
OK!
Mais quel problème?

Et ce problème a-t-il un quelconque rapport avec la géométrie hyperbolique?

Amitiés

pappus

Rescassol

Bonjour,

J'ai seulement démontré les formules de la deuxième figure de Scd dans ce fil.
Quant au rapport avec la géométrie hyperbolique, je n'en ai aucune idée.

Cordialement,
Rescassol

scd

Bonjour
Ok c'est bon je suis revenu [*** Modéré, hors du sujet de la discussion. AD]

Oui bon le titre n'a aucun rapport car comme je l'ai dit au début le triangle hyperbolique correspond a la première figure et non la figure de la question que m'a posé Rescassol

Ce sujet en fait est un sujet parallèle à un sujet de PLDX1 au cas où son sujet à lui serait en rapport avec le mien mais sans prendre le risque de faire un hors sujet

En clair en voulant bien faire ça c'est mal fait (la prochaine fois je ferai plus attention)