Application compacte, ensemble compact
Salut
Je cherche une définition exacte d'une application compacte. Je trouve cette définition.
Un opérateur compact est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques X et Y envoyant les parties bornées de X sur les parties relativement compactes de Y.
(Lorsque T est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus X est un espace vectoriel normé.)
question 1: Est-ce que la remarque entre parenthèse reste valide pour X un espace métrique ? topologique ?
question 2: Comment on montre que la deuxième condition implique que T est bornée ?
Ensemble compact.
Une partie A d'un espace topologique est compacte si et seulement si, de tout recouvrement de A par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Résultat.
Soit X,Y deux espaces topologiques et T une application de X dans Y.
T est une application compacte sur X ssi T(X) est un ensemble compact de Y.
question3 : Est-ce que ce résultat est toujours valide ou bien juste au sens direct ?
question4 : Est-ce que ce résultat est valide pour X,Y des espaces topologiques, métriques, vectoriels normés ? Pourquoi ?
Je cherche une définition exacte d'une application compacte. Je trouve cette définition.
Un opérateur compact est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques X et Y envoyant les parties bornées de X sur les parties relativement compactes de Y.
(Lorsque T est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus X est un espace vectoriel normé.)
question 1: Est-ce que la remarque entre parenthèse reste valide pour X un espace métrique ? topologique ?
question 2: Comment on montre que la deuxième condition implique que T est bornée ?
Ensemble compact.
Une partie A d'un espace topologique est compacte si et seulement si, de tout recouvrement de A par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Résultat.
Soit X,Y deux espaces topologiques et T une application de X dans Y.
T est une application compacte sur X ssi T(X) est un ensemble compact de Y.
question3 : Est-ce que ce résultat est toujours valide ou bien juste au sens direct ?
question4 : Est-ce que ce résultat est valide pour X,Y des espaces topologiques, métriques, vectoriels normés ? Pourquoi ?
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Réponses
Q1 D'après le lien que tu donnes, la notion d'opérateurs bornés n'est valide qu'entre evn. Donc X et Y devraient être des evn dans la parenthèse.
Q2 Utiliser que tout s.e.v. relativement compact d'un evn est borné.
Q3 Qu'est-ce que tu appelles une "application compacte" ? Si c'est un opérateur compact, alors X et Y devraient être des ev topologiques et pas juste des espaces topologiques.
On prend $X=Y=\mathbb{R}$ on les munit de la valeur absolue. On regarde l'application identité dans $\mathbb{R}$. alors $id$ est un opérateur compact. Mais $id(X)= \mathbb{R}$ n'est pas un compact de $(\mathbb{R},|.|)$