Suite de Goodstein et infini

aspire99

Bonjour
J'ai découvert la suite de Goodstein qui pour les connaisseurs est une suite qui croit très vite vers l'infini, plus vite que n'importe quelle suite.
Sa définition est :
S = T(2,3) -1 + T(3,4) -1 +T(4,5) -1...
avec Tpq= fonction qui  remplace p par q dans l'écriture en base p iterée.

Cette suite a été étudiée et il existe 2 types de démonstrations, l'une avec l'infini et l'autre avec sans infini qui montre que cette suite converge vers 0 . Apparemment la démonstration avec les infinis se comprend bien. Mais j'ai dû rater une étape.
Cependant moi je n'arrive pas à comprendre comment le fait de retrancher 1 pourrait compenser l’impressionnante croissance de cette suite.

Médiat_Suprème

Dans le même message, vous dites que ces suites croissent très vite vers l'infini et qu'elles ont pour limite 0, c'est contradictoire (c'est la deuxième qui est correcte).

Je ne sais pas à quelles démonstrations vous faites allusion, le résultat est

1. dans AP, le résultat est indécidable
2. dans ZFC les suites convergent vers 0 (et effectivement la démonstration est assez simple)

Que vous ayez un petit souci avec l'intuition, c'est normal, vous pouvez approcher l'idée de la façon suivante (mais le mieux est de se familiariser avec les ordinaux) : essayez à la main avec de petites valeurs (3 ou 4)

Martial

Déjà avec 4 la durée de vol est de l'ordre de 2 puissance 300 millions et des cacahuètes.

Médiat_Suprème

  

aspire99

Pour les démonstrations il y en a dans la littérature début 20ème avec Cantor et plus récement 1982 (Kerby-Paris). Mais ça ne m'aide pas.

En quoi le fait d'utiliser la notion d'infini dans la démonstration permet de montrer la convergence vers 0 après un nombre fini d'étapes (mais tellement grand que l'on ne peut pas le calculer). 

JLapin

Dans au moins une preuve que je connais, c'est plutôt la notion d'ordinal qui est en jeu que la notion d'infini et le fait que toute suite strictement décroissante d'ordinaux finit par stationner à $0$.
Je crois qu'il n'existe pas de preuve qui ne manipule que des éléments de $\N$.

Sinon, n'hésite pas à poser des questions plus précises si tu es embarrassé par tel ou tel point de telle ou telle démo.

Médiat_Suprème

Pas de démonstration dans AP puisque c'est indécidable.
Pour comprendre (intuitivement) la remarque de JLapin, il suffit de prendre un ordinal du genre $13\omega^2 + 5 \omega + 5$, on peut facilement commencer une suite strictement décroissante : 
$13\omega^2 + 5 \omega + 4$, $13\omega^2 + 5 \omega + 3$, $13\omega^2 + 5 \omega + 2$, $13\omega^2 + 5 \omega + 1$, $13\omega^2 + 5 \omega $, mais après, il faut "casser" l'un des $\omega$ pour obtenir un truc du genre $13\omega^2 + 4 \omega + n$ où $n$ est un entier, il faudra donc un nombre fini d'éléments dans la suite pour qu'il disparaisse, une fois tous les $omega$ disparus (en un nombre fini d'étapes, le même processus s'applique à $\omega^2$